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數論(2)-------擴展歐幾里得算法

擴展歐幾里得算法------求解線性方程ax+by=c

1.應用：
      線性方程ax+by=c ,已知a,b,c，求解x,y.

2.基本思路：

      ax+by=c有解 => c=k*gcd(a,b)=kd（因為d=gcd(a,b)=>d|(ax+by))

      我們先考慮求解 ax+by=d
        由歐幾里得算法,d=bx'+(a mod b)y'=bx'+(a-[a/b]b)y'=ay'+b(x'-[a/b])y'
        則由上述兩式子，我們可以得出 x=y' ,y=x'-[a/b]y'
        這樣子，在歐幾里得算法添加x,y變量，最后得到解。（可結合下面代碼源代碼進行理解）

      接下來我們來看看ax'+by'=d和ax+by=c之間的關系

        （c/d)ax'+(c/d)by'=(c/d)d 即可以得到 x=(c/d)x',y=(c/d)y'

         所以可以得到ax+by的一組解
         那么ax+by=c所有解的形式是什么呢？
             a(x+qb)+b(y-qa)=c; q為任意整數
(注意，當要求y-qa的最小正整數min時,由y-qa>=0， q取[y/a]最小，min=y-[y/a]y,但是,[y/a]可能為0，如果y是負數，min此時也為負數，不好，此時令min+=a就可以取得最小正整數值了（[y/a]=0所以|y|<a),這段可以自己找個例子好好理解下啊）

3.源代碼模板

int Extended_Euclid(int a,int b,int& x,int &y)
2

{
3

if(b==0){
4

x=1;
5

y=0;
6

return a;
7

}
8

int d=Extended_Euclid(b,a%b,x,y);
9

int temp=x;x=y;y=temp-a/b*y;
10

return d;
11

}
12

//用擴展歐幾里得算法解線性方程ax+by=c;
13

bool linearEquation(int a,int b,int c,int& x,int &y)
14

{
15

int d=Extended_Euclid(a,b,x,y);
16

if(c%d) return false;
17

int k=c/d;
19

x*=k;y*=k;//求的只是其中一個解
20

return true;
21

}

四.學習心得
擴展歐幾里得算法的妙用，值得好好體會，對整個過程自己可以找個例子好好印證一下，肯定印象深刻。去Google一下POJ上的這方面的題目好好實踐一下吧！！！

posted on 2009-09-05 16:51 原語餓狼閱讀(4237) 評論(4) 編輯收藏引用所屬分類: 數論

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# re: 數論(2)-------擴展歐幾里得算法 2011-02-02 09:34 ding

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