給定n個數(shù)求這n個數(shù)劃分成互不相交的m段的最大m子段和。
經(jīng)典的動態(tài)規(guī)劃優(yōu)化的問題。設f(i, j)表示前i個數(shù)劃分成j段，且包括第i個數(shù)的最大m子段和，那么有dp方程：
f(i, j) = max { f(i - 1, j) + v[i], max {f(k, j - 1) + v[i]}(k = j - 1 ... i - 1) }
也就是說第i個數(shù)要么自己劃到第j段，要么和前一個數(shù)一起劃到第j段里面，轉移是O(n)的，總復雜度O(n * n * m)。
可以引入一個輔助數(shù)組來優(yōu)化轉移。設g(i, j)表示前i個數(shù)劃分成j段的最大子段和（注意第i個數(shù)未必在j段里面），那么遞推關系如下：
g(i, j) = max{g(i - 1, j), f(i, j)}，分是否加入第i個數(shù)來轉移
這樣f的遞推關系就變成：
f(i, j) = max{f(i - 1, j), g(i - 1, j - 1)} + v[i]，轉移變成了O(1)
這樣最后的結果就是g[n][m]，通過引入輔助數(shù)組巧妙的優(yōu)化了轉移。實現(xiàn)的時候可以用一維數(shù)組，速度很快。
附HDU 1024題目代碼：
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1000010, INF = 0x3fffffff;
int f[N], g[N], a[N];
int max_sum(int m, int n)
{
int i, j, t;
for (i = 1; i <= n; i++)
{
t = min(i, m);
for (j = 1; j <= t; j++)
{
f[j] = max(f[j], g[j-1]) + a[i];
g[j-1] >?= f[j-1];
}
g[j-1] >?= f[j-1];
}
return g[m];
}
int main()
{
int m, n;
while (scanf("%d %d", &m, &n) == 2 && m && n)
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
f[i] = g[i] = -INF;
scanf("%d", &a[i]);
}
printf("%d\n", max_sum(m, n));
}
return 0;
}