為什么要加寬算子？
因?yàn)楫?dāng)格的偏序集合L不滿足升鏈條件，從最小元迭代計(jì)算最小不動點(diǎn)的過程是不收斂的，即迭代序列(fⁿ(⊥))ₙ不保證最終穩(wěn)定，且其最小上界不保證等于最小不動點(diǎn)，因此需要一種近似lfp(f)的方法。引入加寬算子fw:L×L—>L, fw(x)=x▽f(x)，可以將L上的一個(gè)序列轉(zhuǎn)為收斂的升鏈，從L的最小元開始迭代不斷上升，直至lfp(f)的一個(gè)上近似即fw的最小不動點(diǎn)lfp(fw)，關(guān)系式為lfp(f)<=f(lfp(fw))<=fw(lfp(fw))=lfp(fw)。對上式反復(fù)應(yīng)用f單調(diào)得到：lfp(f)<=fⁿ⁺¹(lfp(fw))<=fⁿ(lfp(fw))<=…<=f(lfp(fw))<=lfp(fw)，這表明對lfp(fw)使用f迭代可獲得更精確的上近似，其過程可看成沿一個(gè)遞降鏈進(jìn)一步逼近lfp(f)，但L不一定滿足降鏈條件而導(dǎo)致上述過程不收斂，故需要引入變窄算子fn:L×L—>L, fn(x)=x△f(x)，將L的一個(gè)序列轉(zhuǎn)為收斂的降鏈，從lfp(fw)開始迭代，不斷下降直至fn的一個(gè)不動點(diǎn)fp(fn)，則有關(guān)系式：lfp(f)<=fp(fn)<=lfp(fw)。注意，這里根據(jù)加寬算子的定義可知fw是單調(diào)的，但根據(jù)變窄算子的定義不確定fn是否單調(diào)，故從lfp(fw)迭代求得的fp(fn)，不確定是最小還是最大不動點(diǎn)，只能說是一個(gè)不動點(diǎn)，這也反映了變窄算子不需要滿足單調(diào)性，就可以更加逼近lfp(f)
posted on 2023-09-06 22:45
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