模型與世界空間

物體最開始由物體空間（和物體相連的坐標空間）來描述，其中常見的信息包括頂點位置和表面法向量。物體空間又稱作模型空間或局部空間。

可將坐標從模型空間中轉換到世界空間中，此過程稱作模型變換。通常，光照計算使用世界空間，但其實使用什么坐標空間無所謂，只要確保幾何體與光線在同一空間即可。

攝像機空間

通過視變換，頂點從世界空間變換到攝像機空間，此空間也稱作眼睛空間。攝像機空間是原點在投影中心的3D坐標系統，一個軸平行于攝像機拍攝方向且垂直于投影平面，另一個軸由上、下裁剪面相交得到，還有一軸由左、右裁剪面相交得到。如果我們考慮的是透視投影，那么一個軸可視為水平，另一個則可視為垂直的。

左手坐標系中，常約定攝像機朝向+z，而+x和+y指向右和上方向（透視投影情況下）。這是非常直觀的，如圖15.5所示。右手坐標則指定-z為攝像機朝向。

裁剪空間

從攝像機空間，頂點接著又被變換到裁剪空間，又名標準視體空間（the canonicalview volume space），該變換對應的矩陣稱為裁剪矩陣。

目前為止，頂點還是"純粹"的3D向量，即它們只有三個坐標值，或者加上第四個分量w，并且w總為1。裁剪矩陣改變了這個現狀，它將有用信息放入w中，它主要做兩件事：

（1）為透視投影準備向量，由除以w來實現。

（2）規格化x，y，z，使它們可以w比較，用于裁剪。

裁剪矩陣的第一個目的是為透視投影準備向量而將坐標值除以w，4D齊次向量由除以w而對應到3D向量：

裁剪矩陣的一個目的就是計算正確的w值，以得到正確的投影，我們已經知道如何投影到垂直于z軸且距原點為d的平面（形如z=d的平面）。投影平面在視錐內的矩形部分將映射到屏幕，如果改變d，投影平面將前后移動；在一個真正的攝像機中，這樣變化焦距將產生放大、縮小的效果。但對計算機內的投影平面不會如此，增大焦距，像也會變大，但是"底片"（就是投影平面在視錐內的部分）也變大了。因為它們變化的比例一致，所以渲染出的圖像不變。因此，計算機圖形學中，縮放完全由視錐的形狀空間，d值并不重要。所以，我們可以任意選擇一個d值并一直使用它，對我們來說最方便的值是d=1。

如果這是裁剪矩陣唯一的目的，即計算正確的w值，那么它可簡化如下：

將它乘以形如[x, y, z, 1]的向量再進行透視除法，得到：

現在已經知道如何用矩陣求得w的值。這里，你也許發現似乎只要除以z就可完成上述工作。沒錯，的確可以只用z而不涉及w，但4D坐標可以表達更多的攝像機要求，包括一些"奇異"的形式，比如投影面不垂直于攝像機指向；另一個原因是它使得z裁剪（近面和遠面裁剪）和x、y裁剪形式一致，從而更好地使用硬件。一般來說，使用齊次坐標4 x 4矩陣更緊湊和優雅。無論如何，多數API都使用它，這才是最重要的。

裁剪矩陣的另一個目的是規格化x、y、z分量，使得6個裁剪面有一致的簡單形式。符合下列簡單不等式的點在視錐外：

bottom     y < -w

top           y > w

left           x < -w

right         x > w

near        z < -w

far          z > w

公式15.3   裁剪空間中的視錐

反之，視錐內的定滿足下列不等式：

-w ≤ x ≤ w

-w ≤ y ≤ w

-w ≤ z ≤ w

任何不滿足這些不等式的點都要被裁減掉。

我們用攝像機的縮放值對x、y進行縮放，從而使上、左、右、下4個剪切面處于正確位置。對于近、遠兩個剪切面，使得對近剪切面z/w = -1，遠剪切面z/w = 1。

設zoom_x、zoom_y分別為水平、垂直縮放值，設n、f分別為近、遠兩個剪切面的距離。下面的矩陣可完成上述計算：

所謂"openGL 風格"，是指近裁剪面到遠裁剪面的z值在[-w, +w]之間，其他API（如DirextX）調整z值到區間[0, w]。換言之，如果滿足下式，那么點在裁剪面外：

near       z < 0

far         z > w

而在視錐以內的點則滿足：

0  ≤ z ≤ w

此時剪切矩陣稍有不同（公式15.5）：

屏幕空間

一旦用視錐完成了幾何體裁剪，即可向屏幕空間投影，從而對應于真正的屏幕像素。注意輸出窗口不一定占有整個屏幕，只不過，通常情況下希望屏幕坐標系和渲染設備坐標系一致。

顯然，屏幕空間是2D的，于是要進行一次3D到2D的映射以得到正確的2D坐標。下列公式概括這一過程：除以w，并調整x、y以映射到如圖15.6所示的輸出窗口：

注意y前面的負號，因為裁剪空間中+y向上，而屏幕空間的+y向下。

z_screen和w_screen呢？因為屏幕是2D的，它們并無意義。但也不能簡單地丟棄它們，在z緩沖和透視校正中，它們還會有用。