相交性測試的目的是檢測兩個幾何圖元是否相交，在某些情況下還要求出相交部分，這些基本測試構(gòu)成了碰撞檢測系統(tǒng)的基礎(chǔ)。碰撞檢測用來防止物體互相穿越，或者使物體看起來好像互相被彈開。

我們將討論兩種不同類型的相交性測試：

（1）靜態(tài)測試檢測兩個靜止圖元是否相交。它是一種布爾型測試----也就是說，測試結(jié)果只有真（相交時）或假（不相交時）。如果兩個圖元相交，則可以獲取更多的信息。但一般來說，這種測試的目的只是返回一個布爾值。

（2）動態(tài)測試針對的是兩個運動圖元，檢測它們是否相交，及相交的時間點，運動值通常以參數(shù)形式來表達(dá)。因此，這種測試返回的結(jié)果不僅僅是一個布爾型的真/假值，還會返回一個指明相交時間點的值（參數(shù)t的值）。對于這里我們要討論的測試，運動值是一個簡單的線性位移---當(dāng)t從0變化到1時原向量的偏移值。每個圖元都可以有自己的運動值，然而，從單個圖元的角度來考慮問題會比較簡單。也就是說，一個圖元被認(rèn)為是靜止的，同時另一個圖元做了所有的運動。很容易做到這一點，只要將兩個位移向量組合成一個相對位移向量，它描述了兩個圖元間的相對移動關(guān)系。因此，所有動態(tài)測試總是涉及一個靜態(tài)圖元和一個動態(tài)圖元。

注意，包含射線在內(nèi)的許多重要的測試實際上都是動態(tài)測試，因為射線能被看作一個運動的圖元。

在2D中兩條隱式直線的相交性檢測

在2D中，要檢測用隱式定義的兩條直線是否相交是非常簡單的，通過解線性方程組就能解決問題。

我們有兩個方程（兩條直線的隱式方程）和兩個未知數(shù)（交點的x、y坐標(biāo)）。兩個方程分別為：

a₁x + b₁y = d₁

a₂x + b₂y = d₂

解此方程組得公式13.5：

x = (b₂d₁ - b₁d₂) / (a₁b₂ - a₂b₁)

y = (a₁d₂ - a₂d₁) / (a₁b₂ - a₂b₁)

公式13.5   計算2D中兩直線的交點

和其他方程組一樣，存在3中可能性（如圖13.4所示）：

（1）只有一個解，這種情況下，公式13.5中的分母為非0值。

（2）無解，意味著直線是平行的，永遠(yuǎn)不會相交，分母為0。

（3）無窮多解，意味著兩條直線重合，分母為0。

在3D中兩條射線的相交性檢測

考慮3D中兩條以參數(shù)形式定義的射線:

r₁(t₁) = p₁ + t₁d₁

r₂(t₂) = p₂ + t₂d₂

我們能夠解得它們的交點。暫時先不考慮t₁、t₂的取值范圍。因此我們考慮的是無限長的射線，同樣向量d₁、d₂也不必是單位向量。如果這兩條射線在一個平面中，那么也存在三種可能性：

（1）兩條射線交于一點。

（2）兩條射線平行，沒有交點。

（3）兩條射線重合，有無限多交點。

在3D中，還有第四種可能性，兩條射線不在一個平面中，如圖13.5所示：

下面演示如何解得交點處的t₁、t₂：

如果兩條射線平行或重合，d₁、d₂的叉乘為0，所以上面兩個等式的分母為0。如果兩條射線不在一個平面內(nèi)，那么p₁(t₁)和p₂(t₂)是相距最近的點。通過檢查p₁(t₁)和p₂(t₂)間的距離即可確定兩條射線相交的情況。當(dāng)然在實踐中因為浮點數(shù)的精度問題，精確的相交很少出現(xiàn)，這時就需要用到一個偏差值。

上面的討論假設(shè)沒有限定t₁、t₂的取值范圍，如果射線的長度有限（或只沿一個方向延伸），在計算出t₁、t₂后還應(yīng)做適當(dāng)?shù)倪吔鐧z測。

射線和平面的相交性檢測

在3D中射線與平面相交于一點，射線的參數(shù)定義為：

p(t) = p₀ + td

平面以標(biāo)準(zhǔn)方式來定義，即對于平面上的所有點p，都滿足：

p . n = d

盡管n和d都被限制為單位向量，但這里是沒有必要加上這些限制條件的（如圖13.6）：

解得相交點的t值，暫時假設(shè)射線的長度是無限的（公式13.6）：

如果射線和平面互相平行，分母d . n 為0，則它們之間沒有交點。（我們僅討論與平面的正面相交的情況，在這種情況下，僅當(dāng)射線的方向和平面的法向量相反時才有交點，此時d . n < 0）。如果t超出了取值范圍，說明射線和平面不相交。