三角形

三角形在建模和圖形學中有著極其重要的位置。復雜3D物體的表面，如車或人體，都是用三角形模擬的，像這樣一組相連的三角形稱作三角網格。

基本性質

三角形是通過列出它的三個頂點來定義的。這些點的順序是非常重要的，在左手坐標系中，當從三角形"正面"看時，經常以順時針方向列出這些點，設這三個頂點為v₁、v₂、v₃。三角形位于一個平面中，這個平面的方程（法向量n和到原點的距離d）在很多應用中非常重要。

讓我們標出圖12.16中的三角形內角、順時針邊向量、邊長。

設L_i為e_i的長度，注意e_i、L_i和v_i的對應關系，v_i為相應下標的頂點，它們的關系如下：

面積

最經典的計算方法是用底和高計算面積，觀察圖12.17中的平行四邊形及其包含的三角形。

由經典幾何可知，平行四邊形面積等于底和高的乘積。因為三角形恰好占了這個面積的一半，所以由底和高給出的三角形面積公式為（公式12.18）：

A = bh/2

公式12.18   三角形面積是平行四邊形面積的一半

如果不知道高，可以使用海倫公式計算面積，它只需要提供三邊的長度即可。設s為周長的一半（也稱作半周長），如公式12.19所示：

海倫公式非常有用，因為它在3D中使用非常方便。

有時候，高和周長都沒有直接提供，所知道的只有頂點的笛卡爾坐標。（當然，總是可以從坐標中算出邊長，但在某些情況下，我們想要避免這種代價相對較高的計算。）讓我們看看能否從頂點坐標直接計算面積。

先在2D中解決這個問題。基本思想是，對三角形三邊中的每一邊，計算上由該邊，下由x軸所圍成的梯形的有符號面積（如圖12.18 所示）。

"有符號面積"是指：如果邊的端點是從左向右的，則面積為正；如果邊的端點是從右向左的，則面積為負。注意不管三角形的方向如何變化，都存在至少一個正邊和一個負，一個豎直邊的面積為0。各邊下面區域的面積分別為：

即使一部分（或整個）三角形擴展到了x軸下邊，上面的公式依然正確。

這三個梯形的有符號面積相加，就得到了三角形本身的面積。事實上，能用同樣的思想計算任意多邊形的面積。

這里，假設頂點是按順指針列出的，如果頂點以相反的順序列出，面積的符號將變負。將這三個梯形的面積相加，計算三角形的有符號面積：

實際上，還能進一步簡化。基本思想是，平移三角形不會改變三角形的面積。因此，我們可以在豎直方向上平移三角形，從每個y坐標中減去y₃，如公式12.20所示。（用代數變換也能得到這個簡化形式。）

在3D中，可以通過叉乘來計算三角形的面積。兩向量a、b叉乘的大小等于以a、b為兩邊的平行四邊形的面積。因為三角形面積等于包圍它的平行四邊形的一半，所以我們有了一種簡便方法。給出三角形的兩個邊向量，e₁和e₂，則三角形面積為：

A = || e₁ x e₂ || / 2