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在3D中，平面是到兩個(gè)點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的集合。平面完全是平的，沒(méi)有厚度，且無(wú)限延伸。
平面方程 ---- 隱式定義
可以用類(lèi)似于定義直線的方法來(lái)定義平面，平面的隱式定義由所有滿足平面方程的點(diǎn)p=(x, y, z)給出，平面方程的兩種記法如公式12.11所示:
ax + by + cz = d
p . n = d
公式12.11 平面方程
注意第二種形式中，n = [a, b, c]。一旦知道n，就能用任意已知的平面上的點(diǎn)來(lái)計(jì)算d。
向量n也稱作平面的法向量，因?yàn)樗怪庇谄矫妗Ｗ屛覀儊?lái)驗(yàn)證它，設(shè)p和q都在平面上，滿足平面方程。將p、q代入式12.11，即有：
最后一行點(diǎn)乘的幾何意義就是n垂直于從q到p的向量，這對(duì)于平面上的任意p、q點(diǎn)都是成立的，因此n垂直于平面上的任意向量。
我們還假設(shè)平面有"正面"和"反面"。一般來(lái)說(shuō)，n指向的方向是平面的正面（front side）。即從n的頭向尾看，我們看見(jiàn)的是正面，如圖12.13所示：
將n限制為單位長(zhǎng)度并不會(huì)失去一般性，而且通常會(huì)給計(jì)算帶來(lái)方便。
用三個(gè)點(diǎn)定義
另一種定義平面的方法是給出平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，也就是說(shuō)，這三個(gè)點(diǎn)不在一條直線上。（如果三個(gè)點(diǎn)在一條直線上，就存在無(wú)數(shù)多個(gè)平面包含這條直線，這樣也就無(wú)法說(shuō)明我們指的是哪個(gè)平面了。）
讓我們通過(guò)平面上的三個(gè)點(diǎn)p1、p2和p3來(lái)計(jì)算n和d。先計(jì)算n，n指向什么方向呢？左手坐標(biāo)系中的慣例是：當(dāng)從平面的正面看時(shí)，p1、p2和p3以順時(shí)針?lè)较蛄谐觥＃ㄓ沂肿鴺?biāo)系中，經(jīng)常假設(shè)這些點(diǎn)以逆時(shí)針?lè)较蛄谐觯@樣不管使用哪種坐標(biāo)系公式，結(jié)果都是相同的。）
圖12.14展示了使用平面上的三個(gè)點(diǎn)計(jì)算平面的法線向量的情況。
我們按順時(shí)針?lè)较驑?gòu)造兩個(gè)向量（如圖12.14所示），"e"代表"邊（edge）"向量，因?yàn)檫@個(gè)公式經(jīng)常用來(lái)計(jì)算三角形代表的平面。這兩個(gè)向量叉乘的結(jié)果就是n，但可能不是單位向量，但我們可以單位化n，以上所有過(guò)程用公式12.12來(lái)簡(jiǎn)介地概括：
注意，如果這些點(diǎn)共線，則e3與e1平行。這樣叉乘為0，不能單位化。這個(gè)數(shù)學(xué)上的特例與物理特例相吻合：共線點(diǎn)不能唯一地定義一個(gè)平面。
現(xiàn)在知道了n，剩下的就是求d，可以由某個(gè)點(diǎn)與n點(diǎn)乘獲得。
多于三個(gè)點(diǎn)的"最佳"平面
有時(shí)，我們希望從一組三個(gè)以上的點(diǎn)集求出平面方程，這種點(diǎn)集最常見(jiàn)的例子就是多邊形頂點(diǎn)。在這種情況下，這些頂點(diǎn)繞多邊形順指針地列出。（順序很重要，因?yàn)橐罁?jù)它決定哪邊是"正面"哪邊是"反面"。）
一種糟糕的方式是任選三個(gè)連續(xù)的點(diǎn)并用這三個(gè)點(diǎn)計(jì)算平面方程。畢竟所選的三個(gè)點(diǎn)可能共線，或接近共線。因?yàn)閿?shù)值精度的問(wèn)題，這將非常糟糕。或者，多邊形可能是凹的，所選的點(diǎn)恰好在凹處，從而構(gòu)成了逆時(shí)針（將導(dǎo)致法向量方向錯(cuò)誤）。又或者，多邊形上的頂點(diǎn)可能不是共面的，這可能是由數(shù)值上的不精確，或錯(cuò)誤的生成多邊形的方法所引起的。我們真正想要的是從點(diǎn)集中求出"最佳"平面的方法，該平面綜合考慮了所有的點(diǎn)。設(shè)給定n個(gè)點(diǎn)：
如果我們限制n必須為單位向量，則這個(gè)向量必須單位化。
求和符號(hào)能使公式12.13更簡(jiǎn)潔些，設(shè)pn+1 = p1，則有：
如下代碼展示了怎樣從點(diǎn)集中求出最佳法向量：
Listing 12.2: Computing the best-fit plane normal for a set of points
Vector3 computeBestFitNormal(const Vector3 v[], int n)
{
// Zero out sum
Vector3 result = kZeroVector;
// Start with the "previous" vertex as the last one.
// This avoids an if-statement in the loop
const Vector3 *p = &v[n–1];
// Iterate through the vertices
for (int i = 0 ; i < n ; ++i)
{
// Get shortcut to the "current" vertex
const Vector3 *c = &v[i];
// Add in edge vector products appropriately
result.x += (p–>z + c–>z) * (p–>y – c–>y);
result.y += (p–>x + c–>x) * (p–>z – c–>z);
result.z += (p–>y + c–>y) * (p–>x – c–>x);
// Next vertex, please
p = c;
}
// Normalize the result and return it
result.normalize();
return result;
}
最佳d值為每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的d的平均值：
點(diǎn)到平面的距離
設(shè)想一個(gè)平面和一個(gè)不在平面上的點(diǎn)q，平面上存在一個(gè)點(diǎn)p，它到q的距離最短。很明顯，從p到q的向量垂直于平面，且形式為an。如圖12.15所示：
假設(shè)n為單位向量，那么p到q的距離（也就是q到平面的距離）就是a了。（如果q在平面的反面，這個(gè)距離為負(fù)。）令人驚奇的是，不用知道p的位置就能計(jì)算出a。讓我們回顧q的原定義，并做一些向量計(jì)算以消掉p，如公式12.14所示：
