天行健 君子當(dāng)自強(qiáng)而不息

從四元數(shù)轉(zhuǎn)換到矩陣

為了將角位移從四元數(shù)轉(zhuǎn)換到矩陣形式，可以利用旋轉(zhuǎn)矩陣，它能計(jì)算繞任意軸的旋轉(zhuǎn)：

這個(gè)矩陣是用n和θ表示的，但四元數(shù)的分量是：

w = cos(θ/2)

x = n_x sin(θ/2)

y = n_y sin(θ/2)

z = n_z sin(θ/2)

讓我們看看能否將矩陣變形以代入w、x、y、z，矩陣的9個(gè)元素都必須這樣做。幸運(yùn)的是，這個(gè)矩陣的結(jié)構(gòu)非常好，一旦解出對(duì)角線上的一個(gè)元素，其他元素就能用同樣的方法求出。同樣，非對(duì)角線元素之間也是彼此類似的。

考慮矩陣對(duì)角線上的元素，我們將完整地解出m₁₁，m₂₂和m₃₃解法與之類似：

m₁₁ = n_x²(1 - cosθ) + cosθ

我們將從上式的變形開始，變形方法看起來像是在繞圈子，但你馬上就能理解這樣做的目的：

現(xiàn)在需要消去cosθ項(xiàng)，而代之以包含cosθ/2或sinθ/2的項(xiàng)，因?yàn)樗脑獢?shù)的元素都是用它們表示的，像以前那樣，設(shè)α=θ/2，先用α寫出cos的倍角公式，再代入θ:

上式是正確的，但它和其他的標(biāo)準(zhǔn)形式不同，即:

m₁₁ = 1 - 2y² - 2z²

實(shí)際上，還有其他的形式存在。最著名的一個(gè)形式是m₁₁ = w² + x² - y²- z²，因?yàn)?/span>w² + x² + y² + z² = 1，所以這三種形式是等價(jià)的。現(xiàn)在回過頭來看看能不能直接導(dǎo)出其他標(biāo)準(zhǔn)形式，第一步，n是單位向量，n_x²+n_y^{2 +} n_z² = 1，則1 - n_x² = n_y^{2 +} n_z²。

m₁₁ = 1 - (1 - n_x²)(2sin²(θ/2))

       = 1 - (n_y^{2 +}n_z²)(2sin²(θ/2))

       = 1 - 2n_y²sin²(θ/2) - 2n_z²sin²(θ/2)

       = 1 - 2y² - 2z²

元素m₂₂和m₃₃可以用同樣的方法求得。

讓我們來看看非對(duì)角線元素，它們比對(duì)角線元素簡(jiǎn)單一些，以m₁₂為例子：

m₁₂ = n_xn_y(1 - cosθ) + n_zsinθ

其他非對(duì)角線元素可用同樣的方法導(dǎo)出。

最后，給出從四元素構(gòu)造的完整旋轉(zhuǎn)矩陣，如公式10.23所示：

從矩陣轉(zhuǎn)換到四元數(shù)

為了從旋轉(zhuǎn)矩陣中抽出相應(yīng)的四元數(shù)，可以直接利用公式 10.23，檢查對(duì)角線元素的和（也稱作矩陣的軌跡）得到：

通過使軌跡中三個(gè)元素中的兩個(gè)為負(fù)，可以用類似的方法求得其他三個(gè)元素:

不幸的是，這種方法并不總是能正確工作，因?yàn)槠椒礁慕Y(jié)果總是正值。（更加準(zhǔn)確地說，沒有選擇正根還是負(fù)根的依據(jù)。）但是，q和-q代表相同的方位，我們能任意選擇用非負(fù)根作為4個(gè)分量中的一個(gè)并仍能得到正確的四元數(shù)，只是不能對(duì)四元數(shù)的所有4個(gè)數(shù)都用這種方法。

另一個(gè)技巧是檢查相對(duì)于對(duì)角線的對(duì)稱位置上元素的和與差：

那么應(yīng)選用四種方法中的哪個(gè)呢？似乎最簡(jiǎn)單的策略是總是先計(jì)算同一個(gè)分量，如w，然后再計(jì)算x、y、z。這伴隨著問題，如果w=0，除法就沒有定義；如果w非常小，將會(huì)出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定。Shoemake建議先判斷w、x、y、z中哪個(gè)最大（不用做平方根運(yùn)算），根據(jù)上面的表，用矩陣對(duì)角線計(jì)算該元素，再用它計(jì)算其他三個(gè)。

下面的代碼用一種非常直接的方式實(shí)現(xiàn)了這個(gè)方法。