四元數記法

一個四元數包含一個標量和一個3D向量分量，經常記標量分量為w，記向量分量為單一的 v 或分開的x、y、z。兩種記法分別如下:

[w v ]

[w, (x, y, z)]

在某些情況下，用 v 這樣的短記法更方便，但在另一些情況下，"擴展"的記法會更清楚。

也可以將四元數豎著寫，有時這會使等式的格式一目了然，"行"或"列"四元數沒有明顯的區別。

四元數和復數

復數對(a, b)定義了數a+bi，i是所謂的虛數，滿足i² = -1：a稱作實部，b稱作虛部。任意實數k都能表示為復數(k, 0)=k + 0i。

復數能夠相加、相減、相乘，如公式10.1所示:

通過使虛部變負，還能夠計算復數的共軛，記法如公式10.2：

還能夠計算復數的模。這個運算的記法和解釋與實數的絕對值類似，實際上，如果將實數表示成復數，它們將產生相同的結果。公式10.3是計算復數大小的公式：

復數集存在于一個2D平面上，可以認為這個平面有兩個軸：實軸和虛軸。這樣，就能將復數（x, y）解釋為2D向量。用這種方法解釋復數時，它們能用來表達平面中的旋轉。看看復數p繞原點旋轉角度θ的情況，如圖10.9所示：

為進行這個旋轉，引入第二個復數 q = (cosθ, sinθ)。現在，旋轉后的復數p'能用復數乘法計算出來：

p = x + yi

q = cosθ + i sinθ

p' = pq = (x + yi)(cosθ + i sinθ) = (xcosθ - ysinθ) + (xsinθ + ycosθ)i

引入復數q和用2x2旋轉矩陣達到的效果是一樣的，但復數提供了另一種有趣的記法。

四元數擴展了復數系統，它使用三個虛部i, j, k。它們的關系如下：

一個四元數[w, (x, y, z)]定義了復數 w+xi+yj+zk，很多標準復數的性質都能應用到四元數上。更重要的是，和復數能用來旋轉2D中的向量類似，四元數也能用來旋轉3D中的向量。

四元數和軸-角對

歐拉證明了一個旋轉序列等價于單個旋轉。因此，3D中的任意角位移都能表示為繞單一軸的單一旋轉（這里的軸是一般意義上的旋轉軸，不要和笛卡爾坐標軸混淆。顯然，旋轉軸的方向是任意的）。當一個方位用這種形式來描述時稱作軸-角描述法（實際上，能將軸-角形式作為描述方位的第四種表達方式。但是，軸-角對很少用到，經常被歐拉角或四元數替代）。

設 n 為旋轉軸，對于旋轉軸來說長度并不重要，將 n 定義為單位長度會比較方便。根據左手或右手法則， n 的方向定義了哪邊將被認為是旋轉"正"方向。設θ為繞軸旋轉的量，因此，軸-角對（ n , θ）定義了一個角位移：繞 n 指定的軸旋轉θ角。

四元數能被解釋為角位移的軸-角對方式。然而， n 和θ不是直接存儲在四元數的四個數中，它們的確在四元數里，但不是那么直接。公式10.4列出了四元數中的數和 n ，θ的關系，兩種四元數加法都被使用了。

記住， q 的w分量和θ有關系，但它們不是一回事。同樣， v 和 n 也有關系但不完全相同。

負四元數

四元數能求負，做法很直接，將每個分量對變負，見公式10.5：

- q = -[w  (x  y  z)] = [-w  (-x  -y  -z)] = -[w v ] = [-w  - v ]      

公式10.5  四元數求負

q 和- q 代表的實際角位移是相同的，很奇怪吧！如果我們將θ加上360度的倍數，不會改變 q 代表的角位移，但它使 q 的四個分量都變負了。因此，3D中的任意角位移都有兩種不同的四元數表示方法，它們互相為負。

單位四元數

幾何上，存在兩個"單位"四元數，它們代表沒有角位移，[1, 0 ]和[-1, 0 ]（注意粗體 0 ，它們代表零向量）。當θ是360度的偶數倍時，有第一種形式，cos(θ/2)=1；θ是360度的奇數倍時，cos( θ /2)=-1。在兩種情況下，都有sin(θ/2)=0，所以 n 的值無關緊要。它的意義在于：

當旋轉角θ是360度的整數倍時，方位并沒有改變，并且旋轉軸也是無關緊要的。

數學上，實際只有一個單位四元數：[1, 0 ]。用任意四元數 q 乘以單位四元數[1, 0 ]，結果仍是 q 。任意四元數 q 乘以另一個"幾何單位"[-1, 0 ]時得到- q 。幾何上，因為 q 和- q 代表的角位移相同，可認為結果是相同的。但在數學上， q 和- q 不相等，所以[-1, 0 ]并不是"真正"的單位四元數。

四元數的模

和復數一樣，四元數也有模。記法和公式都和向量類似，如公式10.6所示：

讓我們看看它的幾何意義，代入 θ 和 n ，可得到：

n 為單位向量，所以：

應用三角公式sin²x + cos²x = 1，得到：

如果為了用四元數來表示方位，我們僅使用符合這個規則的單位四元數。

四元數共軛和逆

四元數的共軛記作 q *，可通過讓四元數的向量部分變負來獲得，見公式10.7：

四元數的逆記作 q ^-1，定義為四元數的共軛除以它的模，見公式10.8：

四元數的逆和實數的倒數有著有趣的對應關系。對于實數a，它的逆a^-1為1/a，從另一方面說，aa^-1 = a^-1a = 1。四元數的逆也有著同樣的性質，一個四元數 q 乘以它的逆 q ^-1，即可得到單位四元數[1, 0 ]。

公式10.8是四元數逆的正式定義，但我們只使用單位四元數，所以四元數的逆和共軛是相等的。

共軛非常有趣，因為 q 和 q *代表相反的角位移。很容易驗證這種說法，使 v 變負，也就是使旋轉軸反向，它顛倒了我們所認為的旋轉正方向。因此， q 繞軸旋轉θ角，而 q *沿相反的方向旋轉相同的角度。