4D向量和4x4矩陣不過是對3D運算的一種方便的記憶而已。

4D齊次空間

4D向量有4個分量，前3個是標準的x，y和z分量，第4個是w，有時稱作齊次坐標。

為了理解標準3D坐標是怎樣擴展到4D坐標的，讓我們先看一下2D中的齊次坐標，它的形式為（x, y, w）。想象在3D中w=1處的標準2D平面，實際的2D點(x, y)用齊次坐標表示為(x, y, 1)，對于那些不在w=1平面上的點，則將它們投影到w=1平面上。所以齊次坐標(x, y, w) 映射的實際2D點為（x/w, y/w）。如圖9.2所示：

因此，給定一個2D點（x, y），齊次空間中有無數多個點與之對應。所有點的形式都為(kx, ky, k)，k≠0。這些點構成一條穿過齊次原點的直線。

當w=0時，除法未定義，因此不存在實際的2D點。然而，可以將2D齊次點(x, y, 0)解釋為"位于無窮遠的點"，它描述了一個方向而不是一個位置。

4D坐標的基本思想相同，實際的3D點被認為是在4D中w=1"平面"上。4D點的形式為(x, y, z, w)，將4D點投影到這個"平面"上得到相應的實際3D點（x/w, y/w, z/w）。w=0時4D點表示"無限遠點"，它描述了一個方向而不是一個位置。

4 X 4 平移矩陣

3x3變換矩陣表示的是線性變換，不包括平移。因為矩陣乘法的性質，零向量總是變換成零向量。因此，任何能用矩陣乘法表達的變換都不包含平移。這很不幸，因為矩陣乘法和它的逆是一種非常方便的工具，不僅可以用來將復雜的變換組合成簡單的單一變換，還可以操縱嵌入式坐標系間的關系。如果能找到一種方法將3x3變換矩陣進行擴展，使它能處理平移，這將是一件多么美妙的事情啊。4x4矩陣恰好提供了一種數學上的"技巧"，使我們能夠做到這一點。

暫時假設w總是等于1。那么，標準3D向量[x, y, z]對應的4D向量為[x, y, z, 1]。任意3x3變換矩陣在4D中表示為：

任意一個形如[x, y, z, 1]的向量乘以上面形式的矩陣，其結果和標準的3x3情況相同，只是結果是用w=1的4D向量表示的：

現在，到了最有趣的部分。在4D中，仍然可以用矩陣乘法來表達平移，如公式9.10所示，而在3D中是不可能的：

記住，即使是在4D中，矩陣乘法仍然是線性變換。矩陣乘法不能表達4D中的"平移"，4D零向量也將總是被變換成零向量。這個技巧之所以能在3D中平移點是因為我們實際上是在切變4D空間。與實際3D空間相對應的4D中的"平面"并沒有穿過4D中的原點。因此，我們能通過切變4D空間來實現3D中的平移。

設想沒有平移的變換后接一個有平移的變換會發生什么情況呢？設R為旋轉矩陣（實際上，R還能包含其他的3D線性變換，但現在假設R只包含旋轉），T為形如公式9.10的變換矩陣：

將向量v先旋轉再平移，新的向量v'計算如下：

v' = vRT

注意，變換的順序是非常重要的。因為我們使用的是行向量，變換的順序必須和矩陣乘法的順序相吻合（從左到右），先旋轉后平移。

和3x3矩陣一樣，能將兩個矩陣連接成單個矩陣，記作矩陣M，如下：

Ｍ = RT

v' = vRT = v(RT) = vM

觀察M的內容：

注意到，M的上邊3x3部分是旋轉部分，最下一行是平移部分。最右一列為[0, 0, 0, 1]T。逆向利用這些信息，能將任意4x4矩陣分解為線性變換部分和平移部分。將平移向量[△x, △y, △z]記作t，則M可簡寫為：

接下來看w=0所表示的 "無窮遠點"。它乘以一個由"標準"3x3變換矩陣擴展成的4x4矩陣（不包含平移），得到：

換句話說，當一個形如[x, y, z, 0]的無窮遠點乘以一個包含旋轉、縮放等的變換矩陣，將會發生預期的變換。結果仍是一個無窮遠點，形式為[x, y, z, 0]。

一個無窮遠點經過包含平移的變換可得到：

注意到結果是一樣的（和沒有平移的情況相比）。換句話說，4D向量中的w分量能夠"開關"  4x4 矩陣的平移部分。這個現象是非常有用的，因為有些向量代表“位置”，應當平移，而有些向量代表“方向”，如表面的法向量，不應該平移。從幾何意義上說，能將第一類數據當作"點"，第二類數據當作"向量".

使用4x4矩陣的一個原因是4x4變換矩陣能包含平移。當我們僅為這個目的使用4x4矩陣時，矩陣的最后一列總是[0, 0, 0, 1]T。既然是這樣，為什么不去掉最后一列而改用4x3矩陣呢？根據線性代數法則，由于多種原因，4x3矩陣不符合我們的需求，如下：

（1）不能用一個4x3矩陣乘以另一個4x3矩陣。

（2）4x3矩陣沒有逆矩陣，因為它不是一個方陣。

（3）一個4D向量乘以4x3矩陣時，結果是一個3D向量。

為了嚴格遵守線性代數法則，我們加上了第4列。當然在代碼中，可以不受代數法則的約束。