矩陣的逆

另外一種重要的矩陣運(yùn)算是矩陣的求逆，這個(gè)運(yùn)算只能用于方陣。

運(yùn)算法則

方陣M的逆，記作M-1，也是一個(gè)矩陣。當(dāng)M與M-1相乘時(shí)，結(jié)果是單位矩陣。表示為公式9.6的形式：

并非所有的矩陣都有逆。一個(gè)明顯的例子是若矩陣的某一行或列上的元素都為0，用任何矩陣乘以該矩陣，結(jié)果都是一個(gè)零矩陣。如果一個(gè)矩陣有逆矩陣，那么稱(chēng)它為可逆的或非奇異的。如果一個(gè)矩陣沒(méi)有逆矩陣，則稱(chēng)它為不可逆的或奇異矩陣。奇異矩陣的行列式為0，非奇異矩陣的行列式不為0，所以檢測(cè)行列式的值是判斷矩陣是否可逆的有效方法。此外，對(duì)于任意可逆矩陣M，當(dāng)且僅當(dāng)v=0時(shí)，vM=0。

M的”標(biāo)準(zhǔn)伴隨矩陣“記作”adjM“，定義為M的代數(shù)余子式矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。下面是一個(gè)例子，考慮前面給出的3x3階矩陣M：

計(jì)算M的代數(shù)余子式矩陣：

M的標(biāo)準(zhǔn)伴隨矩陣是代數(shù)余子式矩陣的轉(zhuǎn)置：

一旦有了標(biāo)準(zhǔn)伴隨矩陣，通過(guò)除以M的行列式，就能計(jì)算矩陣的逆。

其表示如公式9.7所示：

例如為了求得上面矩陣的逆，有：

當(dāng)然還有其他方法可以用來(lái)計(jì)算矩陣的逆，比如高斯消元法。很多線性代數(shù)書(shū)都斷定該方法更適合在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，因?yàn)樗褂玫拇鷶?shù)運(yùn)算較少，這種說(shuō)法其實(shí)是不正確的。對(duì)于大矩陣或某些特殊矩陣來(lái)說(shuō)，這也許是對(duì)的。然而，對(duì)于低階矩陣，比如幾何應(yīng)用中常見(jiàn)的那些低階矩陣，標(biāo)準(zhǔn)伴隨矩陣可能更快一些。因?yàn)榭梢詾闃?biāo)準(zhǔn)伴隨矩陣提供無(wú)分支（branchless）實(shí)現(xiàn)，這種實(shí)現(xiàn)方法在當(dāng)今的超標(biāo)量體系結(jié)構(gòu)和專(zhuān)用向量處理器上會(huì)更快一些。

矩陣的逆的重要性質(zhì)：

幾何解釋

矩陣的逆在幾何上非常有用，因?yàn)樗沟梦覀兛梢杂?jì)算變換的”反向“或”相反“變換 ---- 能”撤銷(xiāo)“原變換的變換。所以，如果向量v用矩陣M來(lái)進(jìn)行變換，接著用M的逆M-1進(jìn)行變換，將會(huì)得到原向量。這很容易通過(guò)代數(shù)方法驗(yàn)證：