矩陣的行列式

在任意方陣中都存在一個標量，稱作該方陣的行列式。

線性運算法則

方陣M的行列式記作|M|或“det M”，非方陣矩陣的行列式是未定義的。n x n階矩陣的行列式定義非常復雜，讓我們先從2 x 2，3 x 3矩陣開始。

公式9.1給出了2 x 2階矩陣行列式的定義：

注意，在書寫行列式時，兩邊用豎線將數字塊圍起來，省略方括號。

下面的示意圖能幫助記憶公式9.1，將主對角線和反對角線上的元素各自相乘，然后用主對角線元素的積減去反對角線元素的積。

3 x 3 階矩陣的行列式定義如公式9.2所示：

可以用類似的示意圖來幫助記憶。把矩陣M連寫兩遍，將主對角線上的元素和反對角線上的元素各自相乘，然后用各主對角線上元素積的和減去各反對角線上元素積的和。

如果將3 x 3階矩陣的行解釋為3個向量，那么矩陣的行列式等于這些向量的所謂“三元組積”。

假設矩陣M有r行c列，記法M{ij}表示從M中除去第i行和第j列后剩下的矩陣。顯然，該矩陣有r-1行，c-1列，矩陣M{ij}稱作M的余子式。

對方陣M，給定行、列元素的代數余子式等于相應余子式的有符號行列式，見公式9.3：

如上，用記法cij表示M的第i行，第j列元素的代數余子式。注意余子式是一個矩陣，而代數余子式是一個標量。代數余子式計算式中的項(–1)(i+j)有以棋盤形式使矩陣的代數余子式每隔一個為負的效果：

n維方陣的行列式存在著多個相等的定義，我們可以用代數余子式來定義矩陣的行列式（這種定義是遞歸的，因為代數余子式本身的定義就用到了矩陣的行列式）。

首先，從矩陣中任意選擇一行或一列，對該行或列中的每個元素，都乘以對應的代數余子式。這些乘積的和就是矩陣的行列式。例如，任意選擇一行，如行i，行列式的計算過程如公式9.4所示：

下面舉一個例子，重寫3x3矩陣的行列式：

綜上，可導出4x4矩陣的行列式：

高階行列式計算的復雜性是呈指數遞增的。幸運的是，有一種稱作”主元選擇“的計算方法，它不影響行列式的值，但它能使特定的行或列中除了一個元素（主元）外其他元素全為0，這樣僅一個代數余子式需要計算。

行列式的一些重要性質：

（1）矩陣積的行列式等于矩陣行列式的積：|AB| = |A||B|
        這可以擴展到多個矩陣：  |M1 M2 ... Mn| = |M1| |M2| ... |Mn-1| |Mn|

（2）矩陣轉置的行列式等于原矩陣的行列式：|MT| = |M|

（3）如果矩陣的任意行或列全為0，那么它的行列式等于0.

（4）交換矩陣的任意兩行或兩列，行列式變負。

（5）任意行或列的非零積加到另一行或列上不會改變行列式的積。

幾何解釋

矩陣的行列式有著非常有趣的幾何解釋。2D中，行列式等于以基向量為兩邊的平行四邊形的有符號面積（如圖9.1所示）。有符號面積是指如果平行四邊形相對于原來的方位”翻轉“，那么面積變負。

3D中，行列式等于以變換后的基向量為三邊的平行六面體的有符號的體積。3D中，如果變換使得平行六面體”有里向外“翻轉，則行列式變負。

行列式與矩陣變換導致的尺寸改變相關，其中行列式的絕對值與面積（2D）、體積（3D）的改變相關，行列式的符號說明了變換矩陣是否包含鏡像或投影。

矩陣的行列式還能對矩陣所代表的變換進行分類。如果矩陣的行列式為0，那么該矩陣包含投影。如果矩陣的行列式為負，那么該矩陣包含鏡像。