矩陣的行列式
在任意方陣中都存在一個(gè)標(biāo)量，稱作該方陣的行列式。
線性運(yùn)算法則
方陣M的行列式記作|M|或“det
M”，非方陣矩陣的行列式是未定義的。n x n階矩陣的行列式定義非常復(fù)雜，讓我們先從2
x 2，3 x 3矩陣開始。
公式9.1給出了2 x 2階矩陣行列式的定義：
注意，在書寫行列式時(shí)，兩邊用豎線將數(shù)字塊圍起來，省略方括號(hào)。
下面的示意圖能幫助記憶公式9.1，將主對(duì)角線和反對(duì)角線上的元素各自相乘，然后用主對(duì)角線元素的積減去反對(duì)角線元素的積。
3 x 3 階矩陣的行列式定義如公式9.2所示：
可以用類似的示意圖來幫助記憶。把矩陣M連寫兩遍，將主對(duì)角線上的元素和反對(duì)角線上的元素各自相乘，然后用各主對(duì)角線上元素積的和減去各反對(duì)角線上元素積的和。
如果將3 x 3階矩陣的行解釋為3個(gè)向量，那么矩陣的行列式等于這些向量的所謂“三元組積”。
假設(shè)矩陣M有r行c列，記法M{ij}表示從M中除去第i行和第j列后剩下的矩陣。顯然，該矩陣有r-1行，c-1列，矩陣M{ij}稱作M的余子式。
對(duì)方陣M，給定行、列元素的代數(shù)余子式等于相應(yīng)余子式的有符號(hào)行列式，見公式9.3：
如上，用記法cij表示M的第i行，第j列元素的代數(shù)余子式。注意余子式是一個(gè)矩陣，而代數(shù)余子式是一個(gè)標(biāo)量。代數(shù)余子式計(jì)算式中的項(xiàng)(–1)(i+j)有以棋盤形式使矩陣的代數(shù)余子式每隔一個(gè)為負(fù)的效果：
n維方陣的行列式存在著多個(gè)相等的定義，我們可以用代數(shù)余子式來定義矩陣的行列式（這種定義是遞歸的，因?yàn)榇鷶?shù)余子式本身的定義就用到了矩陣的行列式）。
首先，從矩陣中任意選擇一行或一列，對(duì)該行或列中的每個(gè)元素，都乘以對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式。這些乘積的和就是矩陣的行列式。例如，任意選擇一行，如行i，行列式的計(jì)算過程如公式9.4所示：
下面舉一個(gè)例子，重寫3x3矩陣的行列式：
綜上，可導(dǎo)出4x4矩陣的行列式：
高階行列式計(jì)算的復(fù)雜性是呈指數(shù)遞增的。幸運(yùn)的是，有一種稱作”主元選擇“的計(jì)算方法，它不影響行列式的值，但它能使特定的行或列中除了一個(gè)元素（主元）外其他元素全為0，這樣僅一個(gè)代數(shù)余子式需要計(jì)算。
行列式的一些重要性質(zhì)：
（1）矩陣積的行列式等于矩陣行列式的積：|AB| = |A||B|
這可以擴(kuò)展到多個(gè)矩陣：
|M1 M2 ... Mn| = |M1| |M2| ... |Mn-1| |Mn|
（2）矩陣轉(zhuǎn)置的行列式等于原矩陣的行列式：|MT| = |M|
（3）如果矩陣的任意行或列全為0，那么它的行列式等于0.
（4）交換矩陣的任意兩行或兩列，行列式變負(fù)。
（5）任意行或列的非零積加到另一行或列上不會(huì)改變行列式的積。
幾何解釋
矩陣的行列式有著非常有趣的幾何解釋。2D中，行列式等于以基向量為兩邊的平行四邊形的有符號(hào)面積（如圖9.1所示）。有符號(hào)面積是指如果平行四邊形相對(duì)于原來的方位”翻轉(zhuǎn)“，那么面積變負(fù)。
3D中，行列式等于以變換后的基向量為三邊的平行六面體的有符號(hào)的體積。3D中，如果變換使得平行六面體”有里向外“翻轉(zhuǎn)，則行列式變負(fù)。
行列式與矩陣變換導(dǎo)致的尺寸改變相關(guān)，其中行列式的絕對(duì)值與面積（2D）、體積（3D）的改變相關(guān)，行列式的符號(hào)說明了變換矩陣是否包含鏡像或投影。
矩陣的行列式還能對(duì)矩陣所代表的變換進(jìn)行分類。如果矩陣的行列式為0，那么該矩陣包含投影。如果矩陣的行列式為負(fù)，那么該矩陣包含鏡像。