變換的組合

設(shè)想世界中有一個任意方向、任意位置的物體，我們要把它渲染到任意方向、任意位置的攝像機中。為了做到這一點，必須將物體的所有頂點從物體坐標(biāo)系變換到世界坐標(biāo)系，接著再從世界坐標(biāo)系變換到攝像機坐標(biāo)系。其中的數(shù)學(xué)變換總結(jié)如下：

矩陣乘法滿足結(jié)合律，所以我們能用一個矩陣直接從物體坐標(biāo)系變換到攝像機坐標(biāo)系：

這樣就能在渲染的循環(huán)外先將所有矩陣組合起來，使循環(huán)內(nèi)作矩陣乘法的時候只需要和一個矩陣相乘即可（物體有很多頂點，省一次矩陣乘法就會提高不少效率），如下:

所以矩陣組合從代數(shù)角度看是利用了矩陣乘法的結(jié)合律。矩陣的行向量就是變換后的基向量，這在多個變換的情況下也是成立的。考慮矩陣乘法AB，結(jié)果中的每一行都是A中相應(yīng)的行與矩陣B相乘的結(jié)果。換言之，設(shè)a1, a2, a3為A的行，矩陣乘法能夠?qū)憺椋?/p>

這使得結(jié)論更加清晰，AB結(jié)果中的行向量確實是對A的基向量進(jìn)行B變換的結(jié)果。

變換分類

變換的類別并不是互斥的，也不存在一定的“次序”或“層次”使得某一類比另一類多或少一些限制。

當(dāng)討論一般意義上的變換時，我們將使用類似的術(shù)語：映射或函數(shù)。在最一般的意義上，映射就是一種簡單的規(guī)則，接受輸入，產(chǎn)生輸出。我們把從a到b的F映射記作F(a) = b。

線性變換

在數(shù)學(xué)上，如果滿足下式，那么映射F(a)就是線性的：

F(a + b) = F(a) + F(b)   以及  F(ka) = kF(a)

如果映射F保持了基本運算：加法和數(shù)量乘，那么就可以稱該映射為線性的。在這種情況下，將兩個向量相加然后再進(jìn)行變換得到的結(jié)果和先分別進(jìn)行變換再將變換后的向量相加得到的結(jié)果相同。同樣，將一個向量數(shù)量乘再進(jìn)行變換和先進(jìn)行變換再數(shù)量乘的結(jié)果也是一樣的。

這個線性變換的定義有兩條重要的引理：

(1) 映射F(a) = aM，當(dāng)M為任意方陣時，說映射是一個線性變換，這是因為：

F(a + b) = (a + b)M = aM + bM = F(a) + F(b)

和

F(ka) = (ka)M = k(aM) = kF(a)

(2) 零向量的任意線性變換的結(jié)果仍然是零向量。（如果F(0) = a，a ≠ 0。那么F不可能是線性變換。因為F(k0) = a，但F(k0) ≠ kF(0)），因此線性變換不會導(dǎo)致平移（原點位置上不會變化）。

在某些文獻(xiàn)中，線性變換的定義是平行線變換后仍然是平行線。大多數(shù)情況下它是對的，但有一個小小的例外：投影（當(dāng)一條直線投影后變成一個點，能認(rèn)為這個點平行于什么？）除了這點理論上的例外，這種定義是正確的。線性變換可能造成“拉伸”，但直線不會”彎折“，所以平行線仍然保持平行。

仿射變換

仿射變換是指線性變換后接著平移。因此仿射變換的集合是線性變換的超集，任何線性變換都是仿射變換，但不是所有仿射變換都是線性變換。

任何具有形式 v' = vM + b 的變換都是仿射變換。

可逆變換

如果存在一個逆變換可以”撤銷“原變換，那么該變換是可逆的。換句話說，如果存在逆變換G，使得G(F(a)) = a，對于任意a，映射F(a)是可逆的。

存在非仿射變換的可逆變換，但暫不考慮它們。現(xiàn)在，我們集中精力于檢測一個仿射變換是否可逆。一個仿射變換就是一個線性變換加上平移，顯然，可以用相反的量”撤銷“平移部分，所以問題變?yōu)橐粋€線性變換是否可逆。

顯然，除了投影以外，其他變換都能”撤銷“。當(dāng)物體被投影時，某一維有用的信息被拋棄了，而這些信息時不可能恢復(fù)的。因此，所有基本變換除了投影都是可逆的。

因為任意線性變換都能表達(dá)為矩陣，所以求逆變換等價于求矩陣的逆。如果矩陣是奇異的，則變換不可逆；可逆矩陣的行列式不為0。

等角變換

如果變換前后兩向量夾角的大小和方向都不改變，該變換是等角的。只有平移，旋轉(zhuǎn)和均勻縮放是等角變換。等角變換將會保持比例不變，鏡像并不是等角變換，因為盡管兩向量夾角的大小不變，但夾角的方向改變了。所有等角變換都是仿射和可逆的。

正交變換

術(shù)語“正交”用來描述具有某種性質(zhì)的矩陣。正交變換的基本思想是軸保持互相垂直，而且不進(jìn)行縮放變換。

平移、旋轉(zhuǎn)和鏡像是僅有的正交變換。長度、角度、面積和體積都保持不變。（盡管如此，但因為鏡像變換被認(rèn)為是正交變換，所以一定要密切注意角度、面積和體積的準(zhǔn)確定義）。

正交矩陣的行列式為1或者負(fù)1，所有正交矩陣都是仿射和可逆的。

剛體變換

剛體變換只改變物體的位置和方向，不包括形狀。所有長度、角度、面積和體積都不變。平移和旋轉(zhuǎn)是僅有的剛體變換，鏡像并不被認(rèn)為是剛體變換。剛體變換也被稱作正規(guī)變換，所有剛體變換都是正交、等角、可逆和仿射的，某些剛體變換旋轉(zhuǎn)矩陣的行列式為1。