以前還在學校時，有過強烈的目睹高維物體的愿望，也想自己實現一個4維立方體試試，于是先在網絡上到處找n維立方體有關的展示視頻，在youtobe上發現了不少，一看就是一整天，結果第二天有別的事情，干別的事去了，當時連規律都沒有找，想法就此結束。

今天突然又有了興致，于是決定好好分析一番。


從最基本開始，點，我們容易推出，0維到n維，超立方體的點數是2的n次方。

另外還容易推出：每增加一維，就會誕生新的空間概念，例如，0維只有點的空間概念，1維誕生了線，2維誕生了面，3維誕生了體，4維誕生了4維體.......
并且新空間概念的定義都是由上一個概念往新的維度拉伸產生的。

而比較難推出的關鍵一點就是：往新的維度拉伸的時侯，已有的某個概念增加的數量=原來的數量*2+低一級的概念的數量。例如，2維往3維拉伸正方形時，面數量即立方體的面數=正方形的面數*2+正方形線的數量；立方體線數=正方形線數*2+正方形點的數量

證明方法，比較嚴密的方法還想不出，不過很容易想到：往新的維度拉伸時，拉伸的起點和終點使某空間概念的數量拷貝了一份，另外拉伸時，比該空間概念底一級的空間概念拉伸產生了該空間概念。

這個說得比較抽象，具體公式可以由下面的圖表示出：

有了這些概念后，可以編程出一些內容了~~~
由于在OpenGL中體是用面包裝起來表示的，因此我們必須找出n維立方體中點、線、面之間的規律，至于更高一層概念的規律可以暫時不理了。先給出一個還不完整類聲明：

 1#pragma once
 2#include "mainWindowStyle.h"
 3
 4class CSuperCube:public CY_Screen
 5{
 6    //-----------------------------------------------------------
 7    int MaxDim;//維度數量
 8    int *PointsCount;
 9    int *LinesCount;
10    int *FaceCount;
11    //-----------------------------------------------------------
12
13    float Length;//邊長
14    //-----------------------------------------------------------------------------------------
15    bool isDone;//已經可以渲染的標志
16
17    float *Points;//n維空間中的點（以DimensionNum為一組為一個點坐標，PointNum為點數量，所以該float數組大小為DimensionNum*PointNum）
18    int    DimensionNum;
19    int PointNum;
20
21    struct SLine
22    {
23        float *points1;
24        float *points2;
25        SLine()
26        {
27            points1=0;
28            points2=0;
29        }
30    };
31    SLine *Lines;//n維空間中的線（以2個點的x坐標索引為起始）
32    int LineNum;
33
34    struct SFace
35    {
36        float *points1;
37        float *points2;
38        float *points3;
39        float *points4;
40        SFace()
41        {
42            points1=0;
43            points2=0;
44            points3=0;
45            points4=0;
46        }
47    };
48    int FaceNum;
49    SFace *Faces;//n維空間中的面
50    //---------------------------------------------------------------------------------------------
51
52
53    void CaculatePHelp(int currentDim);
54    void CaculateLHelp(int currentDim);
55    void CaculateFHelp(int currentDim);
56    inline int PtAtIndex(int i)const
57    {
58        return i*DimensionNum;
59    }
60public:
61    CY_TextBox *DimensionInput;
62    
63
64    CY_Button  *CreateBtn;
65
66    //初始化各個維度的立方體中，點、線、面的數量
67    //輸入：maxDim最大維數
68    void InitMaxPLF(int maxDim);
69
70    //計算Dim維度下的立方體的點、線、面分布
71    void CaculatePLF(int Dim);
72};

初始化點、線、面在各個維度立方體中的數量：其中maxDim表示最大維度，一般設一個小于16的值，

 1void CSuperCube::InitMaxPLF(int maxDim)
 2{
 3    if (MaxDim || maxDim<3)
 4        return;
 5    
 6    MaxDim=maxDim+1;
 7
 8    PointsCount=new int[MaxDim];
 9    LinesCount=new int[MaxDim];
10    FaceCount=new int[MaxDim];
11
12    int i;
13
14    PointsCount[0]=1;
15    for (i=1;i<MaxDim;++i)
16        PointsCount[i]=PointsCount[i-1]*2;
17
18    LinesCount[0]=0;
19    LinesCount[1]=1;
20    for (i=2;i<MaxDim;++i)
21        LinesCount[i]=LinesCount[i-1]*2+PointsCount[i-1];
22
23    FaceCount[0]=0;
24    FaceCount[1]=0;
25    FaceCount[2]=1;
26    for(i=3;i<MaxDim;++i)
27        FaceCount[i]=FaceCount[i-1]*2+LinesCount[i-1];
28}

 1void CSuperCube::CaculatePLF(int Dim)
 2{
 3    if(!MaxDim || Dim<2 || Dim>=MaxDim)return;
 4
 5    if(isDone)
 6    {
 7        delete []Points;
 8        delete []Lines;
 9        delete []Faces;
10    }
11    
12    //-------------------------------------分配好內存空間
13    DimensionNum=Dim;
14    PointNum=PointsCount[DimensionNum];
15    LineNum=LinesCount[DimensionNum];
16    FaceNum=FaceCount[DimensionNum];
17
18    Points=new float[PointNum*DimensionNum];
19    for (int i=0;i<PointNum*DimensionNum;++i)
20    {
21        Points[i]=0;
22    }
23    
24    Lines=new SLine[LineNum];
25    Faces=new SFace[FaceNum];
26
27    //-------------------------------------計算值
28    int currentDim=0;
29    while (currentDim<=DimensionNum)
30    {
31        CaculatePHelp(currentDim);
32        //CaculateLHelp(currentDim);
33        //CaculateFHelp(currentDim);
34        ++currentDim;
35    }
36}

 1void CSuperCube::CaculatePHelp(int currentDim)
 2{
 3    int i;
 4    //----------------------點計算
 5    if(currentDim==0)
 6        return;
 7    else
 8    {
 9        int targetStart=2<<(currentDim-1);//復制的起始點
10        int targetEnd=2<<currentDim;//復制的結束點下一點
11        for (i=targetStart;i<targetEnd;++i)
12        {
13            int index=DimensionNum*i;//目標點的x坐標索引
14            int source=DimensionNum*targetStart;//來源點的x坐標索引負偏移量
15            for (int j=0;j<currentDim;++j)
16            {
17                Points[index+j]=Points[index-source+j];//復制
18            }
19            Points[index+currentDim]=Length;//新加的維度設為邊長
20        }
21    }
22}