上周四研究有多套系數的氧化還原反應方程式配平的時候, 遇到了多元線性方程組求解的問題, 不過似乎書上寫掛了(應該寫通解, 而書上只給出了一個特解). 另外一個可能遇到的應用,是, 在電路問題中, 結合歐姆定律和基爾霍夫定律暴力求解. 當然, 平時用的最多的是利用二階行列式求解系數較為復雜的二元一次方程, 比如高考解析幾何大題.
大概是對于wikipedia上概念, 結合個人認識的一些重述, 實在不是便于理解, 僅供復習:
[線性方程組的矩陣表示] A \times a = b. 矩陣乘法的一個應用是求解線性遞推數列, 可以利用快速冪將復雜度降至O(logN).
[Rank(秩)] 線性無關的列的個數, 對于n元線性方程組, 僅當秩r = n時恰有一組解. r > n時無解, r < n時有無數組解.
[Gaussian Elimination(高斯消元法)] 通過不斷消元, 使得方程組中每個方程的元的個數逐個遞減, 等號左邊呈三角形狀, 自下而上代入消元即可. 具體操作時, 對于方程f_1(x_1, x_2, \cdots, x_n) = 0, f_2(x_1, x_2, \cdots, x_n) = 0, 令f_2(...) = f_1(...) + \lambda f_2(...). 手算的話, 消元方向很明確,
對于N元線性方程組, 時間復雜度為O(N^3). 更好的做法是共軛梯度法, 時間復雜度為O(N^2). NOIp 2004的蟲食算的AC算法可以使用Gaussion Elimination.
[Cramer's Rule(克萊姆法則)] 二階行列式解二元一次方程組的理論依據.
x_i = \frac{D_i}{D} (1 \leq i \leq n), D = det(A). D_i = det(A_i), 即把矩陣A的第i列換成矩陣b. 顯然當D為0時線性方程組無解. 對于N元線性方程組, 時間復雜度為O(N!).
[Least Squares(最小二乘法)]參見選修2-3, 推導有一定技巧性, 但是我已經忘完了 >_<. 值得一提的是, 發現者是Gauss和Legendre, 存在發現先后的爭論, Legendre的肖像居然和同名法國政治家的肖像混用了一個多世紀(參見維基), 不過發現者是如何的淡騰. = =|||
[Cross Product(叉積)] 可以通過向量矩陣和(i, j, k)的乘法計算, 通過右手定則判定方向. 比較簡單的用途是計算立體幾何中的法向量(口算), 以及安培力和洛倫磁力的方向確定.(不過高中教材中介紹左手定則判定方向, 分離了矢量的方向和大小).
考慮向量a, b, 存在|a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = |a|^2 \ cdot |b|^2, 這個結論被稱作Lagrangian Identities(拉格朗日恒等式).
立體幾何一個的應用在化學的晶體結構中, 比如正四面體CH_4, 鍵角為arccos{-1/3}. 如果嘗試思考不同學科之間的聯系, 會發現很多意想不到的結論, 往往可以通過其他學科淺顯的結論, 來解釋另一學科中難以求解的問題. 令人唏噓的是, 一些原本淺顯的聯系并沒有在高中教學中被體現. 也許可以嘗試收集這樣的聯系, 何況生活原本是充滿樂趣, 可我們卻停留在了乏味而抽象的表層.