上周四研究有多套系數(shù)的氧化還原反應(yīng)方程式配平的時(shí)候, 遇到了多元線性方程組求解的問(wèn)題, 不過(guò)似乎書(shū)上寫(xiě)掛了(應(yīng)該寫(xiě)通解, 而書(shū)上只給出了一個(gè)特解). 另外一個(gè)可能遇到的應(yīng)用,是, 在電路問(wèn)題中, 結(jié)合歐姆定律和基爾霍夫定律暴力求解. 當(dāng)然, 平時(shí)用的最多的是利用二階行列式求解系數(shù)較為復(fù)雜的二元一次方程, 比如高考解析幾何大題.
大概是對(duì)于wikipedia上概念, 結(jié)合個(gè)人認(rèn)識(shí)的一些重述, 實(shí)在不是便于理解, 僅供復(fù)習(xí):
[線性方程組的矩陣表示] A \times a = b. 矩陣乘法的一個(gè)應(yīng)用是求解線性遞推數(shù)列, 可以利用快速冪將復(fù)雜度降至O(logN).
[Rank(秩)] 線性無(wú)關(guān)的列的個(gè)數(shù), 對(duì)于n元線性方程組, 僅當(dāng)秩r = n時(shí)恰有一組解. r > n時(shí)無(wú)解, r < n時(shí)有無(wú)數(shù)組解.
[Gaussian Elimination(高斯消元法)] 通過(guò)不斷消元, 使得方程組中每個(gè)方程的元的個(gè)數(shù)逐個(gè)遞減, 等號(hào)左邊呈三角形狀, 自下而上代入消元即可. 具體操作時(shí), 對(duì)于方程f_1(x_1, x_2, \cdots, x_n) = 0, f_2(x_1, x_2, \cdots, x_n) = 0, 令f_2(...) = f_1(...) + \lambda f_2(...). 手算的話, 消元方向很明確,
對(duì)于N元線性方程組, 時(shí)間復(fù)雜度為O(N^3). 更好的做法是共軛梯度法, 時(shí)間復(fù)雜度為O(N^2). NOIp 2004的蟲(chóng)食算的AC算法可以使用Gaussion Elimination.
[Cramer's Rule(克萊姆法則)] 二階行列式解二元一次方程組的理論依據(jù).
x_i = \frac{D_i}{D} (1 \leq i \leq n), D = det(A). D_i = det(A_i), 即把矩陣A的第i列換成矩陣b. 顯然當(dāng)D為0時(shí)線性方程組無(wú)解. 對(duì)于N元線性方程組, 時(shí)間復(fù)雜度為O(N!).
[Least Squares(最小二乘法)]參見(jiàn)選修2-3, 推導(dǎo)有一定技巧性, 但是我已經(jīng)忘完了 >_<. 值得一提的是, 發(fā)現(xiàn)者是Gauss和Legendre, 存在發(fā)現(xiàn)先后的爭(zhēng)論, Legendre的肖像居然和同名法國(guó)政治家的肖像混用了一個(gè)多世紀(jì)(參見(jiàn)維基), 不過(guò)發(fā)現(xiàn)者是如何的淡騰. = =|||
[Cross Product(叉積)] 可以通過(guò)向量矩陣和(i, j, k)的乘法計(jì)算, 通過(guò)右手定則判定方向. 比較簡(jiǎn)單的用途是計(jì)算立體幾何中的法向量(口算), 以及安培力和洛倫磁力的方向確定.(不過(guò)高中教材中介紹左手定則判定方向, 分離了矢量的方向和大小).
考慮向量a, b, 存在|a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = |a|^2 \ cdot |b|^2, 這個(gè)結(jié)論被稱作Lagrangian Identities(拉格朗日恒等式).
立體幾何一個(gè)的應(yīng)用在化學(xué)的晶體結(jié)構(gòu)中, 比如正四面體CH_4, 鍵角為arccos{-1/3}. 如果嘗試思考不同學(xué)科之間的聯(lián)系, 會(huì)發(fā)現(xiàn)很多意想不到的結(jié)論, 往往可以通過(guò)其他學(xué)科淺顯的結(jié)論, 來(lái)解釋另一學(xué)科中難以求解的問(wèn)題. 令人唏噓的是, 一些原本淺顯的聯(lián)系并沒(méi)有在高中教學(xué)中被體現(xiàn). 也許可以嘗試收集這樣的聯(lián)系, 何況生活原本是充滿樂(lè)趣, 可我們卻停留在了乏味而抽象的表層.