Summary of Chapter 1-4

Climber.pI — Mon, 25 Oct 2010 13:54:00 GMT

�W�一�?时空分析
(1)旉��复杂�?/p> (2)�I�间复杂�?br>
�W�二�?排序��法

n较大【快速排序�?br>n较小【冒泡排序�?br>n较大 n��D��?【计数排序�?br>取n的最�?【堆排序�?br>n较大要求�E�_��?【归�q�排序�?br>

�W�三�?�U�性数据结�?br>1.�?br>(1)DFS的显式写�?=> �c�M��BFS
(2)回溯 => DFS+状态还�?br>【求��L��案数或者最优方案问题�?br>2.队列
BFS
【求最��操作次数�?br>
�W�四�?树�Ş�l�构的应�?br>1.二叉排序�?O(nlogn)
递归构�?br>
2.哈夫曼树 => 堆实�?br>
3.树状数组 => ��L��?br>【貌似NOIp��纲�?

Climber.pI 2010-10-25 21:54 发表评论

《同中学生谈排列�l�合》苏�?��M��札记

Climber.pI — Mon, 20 Sep 2010 13:57:00 GMT

引：“我们要把厚书读薄�Q�再把薄书读�?”
�q�一步的�pȝ��化将在读完这本书后，以表格或者思维导图的�Ş式出�?

一、乘法原�?/p>

乘法原理讨论分阶�D�办事过�E�中的计数问�?

用集合论观点解释�Q?br>把分阶段�q�行的事情看作一�U�多重选取�q�程�Q�每一个过�E�都是自某个集合挑选一个元素，然后考虑有多��种不同的挑选方�?

【应用】数的整除，因数分解问题

【例3�?160的正�U�数个数.
2160 = 2^4 * 3^3 * 5^1
则�Q意约数�Ş式�ؓ2^i * 3^j * 5 ^k (0<=i<=4, 0<=j<=3, 0<=k<=1)
所以约束个��Cؓ(4+1)(3+1)(1+1)=32.

【例5】从题目中抽象出模型.

【例6�?一个结论：[u,v]=n, 令n的因子r的个��Cؓn(r)�Q�有k个因�?
则符合要求的数对个数�?(2n(r)+1)*..*(2n(r)+1).
需要注意的是最大公�U�数�Q�是��M��数某因子的最大�?

【例7】补集思想.(排除�?
在整除性问题中�Q�确定前n-1位，然后分类讨论�W�n位的情况.

【例8】看了，未懂.

二、重复排�?/p>

【定义】如果在同一个n阉��?有n个元�?中依�ơ进行k�ơ选取�Q�而且选过的元素还可以再选，则一共有n^k中不同的选取方式(即重复排列方�?.

【应用】空间解析几何、集合子集性质的讨�?/p>

【例5】立方体{(x,y,z):0<=x,y,z<=a}��点坐标.

�?昄��每个��点(x,y,z)的三个坐标都是集合{0,a}的元素，所以共�?^3个不同的��点.坐标�?

【例6】在三维�Ƨ氏�I�间�l�出9个格�?坐标��gؓ整数)�Q�求证其中必有两点中点坐标�ؓ格点.

�?若两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)的中点�ؓ格点�Q�必有x1和x2�Q�y1和y2�Q�z1和z2和�ؓ偶数�Q�即两者奇偶性相�?
考虑考虑�Ƨ氏�I�间格点奇偶性情况可知，每个坐标值都是{奇数�Q�偶数}中一个元素，所以格�Ҏ��8�U�不同的奇偶�?从而，原命题由抽屉原理可证.

【例7】n阉��合共�?^n个子集，2^n-1个真子集.

【例9】棋盘问题，从左下角走到右上角，n+1行，m+1列，求证f(m,n)<=2^(mn).

�?道�\��城市分成mn个方块，而�\�U�又��方块分成两个子�?其中一个可能�ؓ�I?�Q�显然不同子集个��Cؓ2^(mn).即f(m,n)<=2^(mn)�Q�当且仅当m=n=1时等��h��?

三、排�?br>
【定义】从n个不同的元素中有�ơ序地选取k(1<=k<=n)个，叫做从n个不同元素中取出k个元素的一个排�?

【应用】组数问题中�?#8220;无重复数�?#8221;问题.

【例4】利用补集思想处理无重复数字问�?考虑不参加组数的数字整除情况和所有数字整除情�?联系1.7)

【例5】逐位讨论.

【例7】注意到k个数字取自不同行�?联想皇后问题)�Q�所以子集个��Cؓk!�Q�每个子集的和分行列讨论�Q�篏加即�?

【例10】有2n个�h参加收发甉|��培训�Q�每两�h�l��ؓ一对互发互�Ӟ��有多��种不同的结�Ҏ��?(搭配问题)

�?(2n-1)(2n-3)...3*1=(2n)!/(2^n*n!)
需要注意的是求和��用的思想: 先求出全部数的积�Q�然后去掉里面的偶数.也是一�U�间接的�Ҏ��.

四、加法原�?br>
【集合的分划�?br>若把一个集合B分成一些子集B1,B2,...,Bk�Q��?br>(i)B1∪B2∪...∪Bk = B;
(ii)B1∩B2=∅ ,...�Q�Bk-1∩Bk=∅.
满��q�两条性质的子集B1,B2,...,Bk�Q�叫做B的一个分�?

【定义�?span style="BACKGROUND-COLOR: #c0c0c0"> |B|=|B1|+|B2|+...+|Bk| 加法公式
�q�种通过分划计数的原理叫做加法原�?

【例1】现有长度分别�ؓ1,2,...,n的细木棍各一根，可以以它们�ؓ�Ҏ��成多��种不同的三角�Ş?

�?以c的长度对�q�些三角形分�c�，��c=k的三角�Ş集合记做Bk�Q�则构成了集合B的一个分�?
在Bk中，三角形三边分别�ؓa(a,b)对应于��^面中的格�?通过限制条�gak我们可以知道�Q�符合条件的格点在a=b,a+b=k,b=k三条直线围成的三角�Ş�?/span>,
所以若k为偶敎ͼ�有|Bk|=1/4*(k-2)^2
若k为奇敎ͼ�有|Bk|=1/4(k-1)(k-3)
从而可以求得|B|.(二阶�{�差数列求和不熟)

【例2】求方程x^2-[x]^2=(x-x[x])^2在区间[1,n]中根的数�?

�?��区间[k,k+1)中根的集合记做Bk.
若x∈[k,k+1)�Q�记k=[x],p=x-[x](0<=p<1)�Q�可�?kp=[2kp+p^2].
昄��{�式两边为整敎ͼ�所以p=0,1/2k,...,2k-1/2k�Q�故而|Bk|=2k�?br>由加法原理可知，|B|=n^2-n+1

五、带限制条�g的排列问�?br>
(i) 间接�Ҏ��
【排除法】先假定不存在限制条�Ӟ��求出所有情�늚�数目�Q�再考虑受到限制条�g�Q�而不允许出现的情冉|��?

(ii) 直接�Ҏ��
【优限法】优先解军_��限对�?受限对象或受限元�?的安�|�，然后再考虑一般对象的安置问题.

【插入法】首先安排一般元素，然后��首先元素插入到允许的位�|�上.(某些元素盔R��或者不盔R��)

【视一法】首先要把要求相��L��列的元素看成一个整体，同其他元素一同排列，然后再考虑�q�个整体内部的元素间的排列问�?

【例8�?0个节目中�?个演唱，4个舞�y�，要求每两个舞�y�之间至��安排一个演�?

�?反过来看问题�Q�原命题�{��h于在��L��两演�?边界情况的话一�?中安排或不安排一个舞�y�，而这��L��可能位置�?�?所以共6!*P(7,4)�U�顺�?

六、组�?br>
【定义】从n个不同物件中无次序地(不计��序�?选取k个，叫做从n个物件中选k个的一个组�?
如果考虑k个物件的选取��序�Q�可得P(n,k)=C(n,k)*k!
从而得到组合的计算公式C(n,k)=n!/k!(n-k)!

(i)C(n,n-k)=C(n,k)
(ii)C(n,k)+C(n,k-1)=C(n+1,k)

Climber.pI 2010-09-20 21:57 发表评论

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《同中学生谈排列�l�合》苏�?��M��札记