并查集 (Union-Find Sets)

集合 S1, S2 和 S3 的雙親表示 :

                  　　　         S1 ∪ S2 的可能的表示方法

const int DefaultSize = 10;
　　class UFSets { //并查集的類定義
　　private:
　　　int *parent;
　　　int size;
　　public:
　　　UFSets ( int s = DefaultSize );
　　　~UFSets ( ) { delete [ ] parent; }
UFSets & operator = ( UFSets const & Value );//集合 賦值
　　　void Union ( int Root1, int Root2 );
　　　int Find ( int x );
void UnionByHeight ( int Root1, int Root2 ); };
　　　UFSets::UFSets ( int s ) { //構(gòu)造函數(shù)
　　　size = s;
　　　parent = new int [size+1];
　　　for ( int i = 0; i <= size; i++ ) parent[i] = -1;
　　}

　　unsigned int UFSets::Find ( int x ) { //搜索操作
　　　if ( parent[x] <= 0 ) return x;
　　　else return Find ( parent[x] );
　　}

　　void UFSets::Union ( int Root1, int Root2 ) { //并
　　　parent[Root2] = Root1; //Root2指向Root1
　　}

Find和Union操作性能不好。假設(shè)最初 n 個元素構(gòu)成 n 棵樹組成的森林，parent[i] = -1。 做處理Union(0, 1), Union(1, 2), …, Union(n-2, n-1)后， 將產(chǎn)生如圖所示的退化的樹。

執(zhí)行一次Union操作所需時間是O(1)，n-1次Union操作所需時間是O(n)。若再執(zhí)行Find(0), Find(1), …, Find(n-1), 若被
搜索的元素為i，完成Find(i)操 作需要時間為O(i)，完成 n 次搜索需 要的總時間將達(dá)到
　            　

Union操作的加權(quán)規(guī)則

為避免產(chǎn)生退化的樹，改進(jìn)方法是先判斷兩集合中元素的個數(shù)，如果以 i 為根的樹中的結(jié)點個數(shù)少于 以 j 為根的樹中的結(jié)點個數(shù)，即parent[i] > parent[j]，則讓 j 成為 i 的雙親，否則，讓i成為j的雙親。此即Union的加權(quán)規(guī)則。

              parent[0](== -4) < parent[4] (== -3)

　　void UFSets::WeightedUnion(int Root1, int Root2) {
　　　//按Union的加權(quán)規(guī)則改進(jìn)的算法
　　　int temp = parent[Root1] + parent[Root2];
　　　if ( parent[Root2] < parent[Root1] ) {
　　　　parent[Root1] = Root2; //Root2中結(jié)點數(shù)多
　　　　parent[Root2] = temp; 　//Root1指向Root2
　　　}
　　　else {
　　　　parent[Root2] = Root1; //Root1中結(jié)點數(shù)多
　　　　parent[Root1] = temp; 　//Root2指向Root1
　　　}
　　}

                            　使用加權(quán)規(guī)則得到的樹

下面是幾到用并查集可以方便解決的問題:

題目： 親戚(Relations)

或許你并不知道，你的某個朋友是你的親戚。他可能是你的曾祖父 的外公的女婿的外甥的表姐的孫子。如果能得到完整的家譜，判斷兩個人是否親戚應(yīng)該是可行的，但如果兩個人的最近公共祖先與他們相隔好幾代，使得家譜十分龐 大，那么檢驗親戚關(guān)系實非人力所能及.在這種情況下，最好的幫手就是計算機(jī)。

為了將問題簡化，你將得到一些親戚關(guān)系的信息，如同Marry和Tom是親戚，Tom和B en是親戚，等等。從這些信息中，你可以推出Marry和Ben是親戚。請寫一個程序，對于我們的關(guān) 心的親戚關(guān)系的提問，以最快的速度給出答案。

參考輸入輸出格式 輸入由兩部分組成。

第一部分以N，M開始。N為問題涉及的人的個數(shù)(1 ≤ N ≤ 20000)。這些人的編號為1,2,3,…,N。下面有M行(1 ≤ M ≤ 1000000)， 每行有兩個數(shù)ai, bi，表示已知ai和bi是親戚.

第二部分以Q開 始。以下Q行有Q個詢問(1 ≤ Q ≤ 1 000 000)，每行為ci, di，表示詢問ci和di是否為親戚。

對于每個詢問ci, di，若ci和di為親戚， 則輸出Yes，否則輸出No。

樣例輸入與輸出

輸入relation.in

10 7

2 4

5 7

1 3

8 9

1 2

5 6

2 3

3

3 4

7 10

8 9

輸出relation.out

Yes

No

Yes

如果這道題目不用并查集，而只 用鏈表或數(shù)組來存儲集合，那么效率很低，肯定超時。

例程:

#include<iostream>

using namespace std;

int N,M,Q;

int pre[20000],rank[20000];

void makeset(int x)

 {

     pre[x]=-1;

     rank[x]=0;

 }

int find(int x)

 {

     int r=x;

     while(pre[r]!=-1)

      r=pre[r];

     while(x!=r)

      {

          int q=pre[x];

          pre[x]=r;

          x=q;

      }

    return r;      

 }    

void unionone(int a,int b)

 {

     int t1=find(a);

     int t2=find(b);

     if(rank[t1]>rank[t2])

       pre[t2]=t1;

    else

       pre[t1]=t2;

    if(rank[t1]==rank[t2])

      rank[t2]++;     

 }       

int main()

{

   int i,a,b,c,d;

    while(cin>>N>>M)

     {

         for(i=1;i<=N;i++)

          makeset(i);

        for(i=1;i<=M;i++)

          {

              cin>>a>>b;

              if(find(a)!=find(b))

               unionone(a,b);

          }

        cin>>Q; 

        for(i=1;i<=Q;i++)

         {

             cin>>c>>d;

             if(find(c)==find(d))

              cout<<"YES"<<endl;

             else

              cout<<"NO"<<endl; 

         }           

     }   

    return 0;

}

ZJU1789The Suspects

【問題描述】

Severe acute respiratory syndrome (SARS), an atypical pneumonia of unknown aetiology, was recognized as a global threat in mid-March 2003. To minimize transmission to others, the best strategy is to separate the suspects from others.

In the Not-Spreading-Your-Sickness University (NSYSU), there are many student groups. Students in the same group intercommunicate with each other frequently, and a student may join several groups. To prevent the possible transmissions of SARS, the NSYSU collects the member lists of all student groups, and makes the following rule in their standard operation procedure (SOP).

Once a member in a group is a suspect, all members in the group are suspects.

However, they find that it is not easy to identify all the suspects when a student is recognized as a suspect. Your job is to write a program which finds all the suspects.

Input

The input contains several cases. Each test case begins with two integers n and m in a line, where n is the number of students, and m is the number of groups. You may assume that 0 < n <= 30000 and 0 <= m <= 500. Every student is numbered by a unique integer between 0 and n-1, and initially student 0 is recognized as a suspect in all the cases. This line is followed by m member lists of the groups, one line per group. Each line begins with an integer k by itself representing the number of members in the group. Following the number of members, there are k integers representing the students in this group. All the integers in a line are separated by at least one space.

A case with n = 0 and m = 0 indicates the end of the input, and need not be processed.

Output

For each case, output the number of suspects in one line.

Sample Input

100 4
2 1 2
5 10 13 11 12 14
2 0 1
2 99 2
200 2
1 5
5 1 2 3 4 5
1 0
0 0

Sample Output

4
1
1

【算法分析】

這道題的意思很簡單,n個人編號,從0到n-1,這n個人分成m個集合(1個人可以參加不同的集合),求的就是最后所有和0號有關(guān)系的集合的

人數(shù).

如果這道題目不用并查集，而只用鏈表或數(shù)組來存儲集合，那么效率 很低，肯定超時.我們在題目給出的每個集合的人員編號時,進(jìn)行并查

操作,不過在進(jìn)行合并操作時,合并的是兩個集合的元素個數(shù).最后 0號元素所在的集合數(shù)目就是所求.

例程 :

#include<iostream>

#include<cstdio>

using namespace std;

const int size=30000;

int pre[size],num[size];

int n,m,k;

void makeset(int x)

 {

     pre[x]=-1;

     num[x]=1;

 }

int find(int x)//非遞歸壓縮路徑

 {

     int r=x;

     while(pre[r]!=-1)

      r=pre[r];

     while(x!=r)

      {

          int q=pre[x];

          pre[x]=r;

          x=q;

      }

    return r;      

 }    

int unionone(int a,int b)

{

    int t1,t2;

    t1=find(a);

    t2=find(b);

    if(t1==t2) return 0;

    if(num[t2]<=num[t1])

    {

        pre[t2]=t1;

        num[t1]+=num[t2];

    }

    else

    {

        pre[t1]=t2;

        num[t2]+=num[t1];

    }

    return 0;

}

int main()

 {  

     freopen("in.txt","r",stdin);

     freopen("out.txt","w",stdout);

     int i,j,a,b;

     while(scanf("%d%d",&n,&m))

      {

          if(n==0&&m==0)

           break;

          for(i=0;i<n;i++)

            makeset(i);

          for(i=0;i<m;i++)

           {

               //cin>>k;

               scanf("%d",&k);

               if(k==0) continue;

               //cin>>a;

                scanf("%d",&a);

                a=find(a);

               for(j=1;j<k;j++)

                {

                    //cin>>b;

                    scanf("%d",&b);

                    b=find(b);

                    unionone(a,b);

                }   

           }

         printf("%d\n",num[find(0)]);      

      }   

     return 0;

 }    

銀河英雄傳說

【問題描述】

        公元五八○一年，地球居民遷移至金牛座α第二行星，在那里發(fā)表銀河聯(lián)邦創(chuàng)立宣言，同年改元為宇宙歷元年， 并開始向銀河系深處拓展。

        宇宙歷七九九年，銀河系的兩大軍事集團(tuán)在巴米利恩星域 爆發(fā)戰(zhàn)爭。泰山壓頂集團(tuán) 派宇宙艦隊司令萊因哈特 率領(lǐng)十萬余艘戰(zhàn)艦出征，氣吞山河集團(tuán)點名將楊威利 組織 麾下三萬艘戰(zhàn)艦迎敵。

        楊威利擅長排兵布陣，巧妙運用各種戰(zhàn)術(shù)屢次以少勝多，難免恣生驕氣。在這次決戰(zhàn)中，他將巴米利恩星域戰(zhàn)場劃分成30000列，每列依次編號為1, 2, …, 30000。 之后，他把自己的戰(zhàn)艦也依次編號為1, 2, …, 30000，讓第i號戰(zhàn)艦處于第i列(i = 1, 2, …, 30000)，形成“一字長蛇陣”，誘敵深入。這是初始陣形。當(dāng)進(jìn)犯之?dāng)车竭_(dá)時，楊威利會多次發(fā)布合并指令，將大部分戰(zhàn)艦集中在某幾列上，實施密集攻擊。合 并指令為M i j，含義為讓第i號戰(zhàn)艦所在的整個戰(zhàn)艦隊列，作為一個整體（頭在前尾在后）接至第j號戰(zhàn)艦所在的戰(zhàn)艦隊列的尾部。顯然戰(zhàn)艦隊列是由處于同一列的一 個或多個戰(zhàn)艦組成的。合并指令的執(zhí)行結(jié)果會使隊列增大。

        然而，老謀深算的萊因哈特早已在戰(zhàn)略上取得了主動。在交戰(zhàn)中，他可以通過龐大的情報網(wǎng)絡(luò)隨時監(jiān)聽楊威利的艦隊調(diào)動指 令。

        在楊威利發(fā)布指令調(diào)動艦隊的同時，萊因哈特為了及時了解當(dāng)前楊威利的戰(zhàn)艦分布情況，也會發(fā)出一些詢問指令：C i j。該指令意思是，詢問電腦， 楊威利的第 i 號戰(zhàn)艦與第 j 號戰(zhàn)艦當(dāng)前是否在同一列中，如果在同一列中，那么它們之間布置有 多少戰(zhàn)艦。

        作為一個資深的高級程序設(shè)計員，你被要求編寫程序分析楊威利的指令，以及回答萊因哈特的詢問。

        最終的決戰(zhàn)已經(jīng)展開，銀河的歷史又翻過了一頁……

【輸入文件】

輸入文件galaxy.in的第一行有一個整數(shù)T（1<=T<=500,000），表示總共有T條指令。

以下有T行，每行有一條指令。指令有兩種格式：

1.        M  i  j  ：i和j是兩個整數(shù)（1<=i , j<=30000），表示指令涉及的戰(zhàn)艦編號。該指令是萊因哈特竊聽到的楊威利發(fā)布的艦隊調(diào)動指令，并且保證第i號戰(zhàn)艦與第j號戰(zhàn)艦不在同一列。

2.        C  i  j  ：i和j是兩個整數(shù)（1<=i , j<=30000），表示指令涉及的戰(zhàn)艦編號。該指令是萊因哈特發(fā)布的詢問指令。

【輸出文件】

輸出文件為galaxy.out。你的程序應(yīng)當(dāng)依次對輸入的每一條指令進(jìn)行分析和處理：

如果是楊威利發(fā)布的艦隊調(diào)動指令，則表示艦隊排列發(fā)生了變化， 你的程序要注意到這一點，但是不要輸出任何信息；

　如果是萊因哈特發(fā)布的詢問指令，你的程序要輸出一行，僅包含 一個整數(shù)，表示在同一列上，第i號戰(zhàn)艦與第j號戰(zhàn)艦之間布置的戰(zhàn)艦數(shù)目。如果第i號戰(zhàn)艦與第j號戰(zhàn)艦當(dāng)前不在同一列上，則輸出-1。

【樣例輸入】

4

M 2 3

C 1 2

M 2 4

C 4 2

【樣例輸出】

-1

1

【樣例說明】

戰(zhàn)艦位置圖：表格中阿拉伯?dāng)?shù)字表示戰(zhàn)艦編號

【算法分析】

        同一列的戰(zhàn)艦組成一個并查集,在集合中,我們以當(dāng)前列的第一艘戰(zhàn)艦作為集合的代表元.并查集的數(shù)據(jù)類型采用樹型,樹的根結(jié)點即為集合的代表元.為了查詢的效率達(dá)到最優(yōu),我們進(jìn)行了路徑壓縮的優(yōu)化:首先找到樹根,然后將路徑上所有結(jié)點的父結(jié)點改為根,使得樹的深度為1.