來源:http://www.vbgamedev.com/newc/VECTOR_MATH.htm
Andre Lamothe說：“向量幾何是游戲程序員最好的朋友”。一點不假，向量幾何在游戲編程中的地位不容忽視，因為在游戲程序員的眼中，顯示屏幕就是一個坐標系，運動物體的軌跡就是物體在這個坐標系曲線運動結果，而描述這些曲線運動的，就是向量。使用向量可以很好的模擬物理現(xiàn)象以及基本的AI。
<1>簡單的2-D追蹤
Andre Lamothe說：“向量幾何是游戲程序員最好的朋友”。一點不假，向量幾何在游戲編程中的地位不容忽視，因為在游戲程序員的眼中，顯示屏幕就是一個坐標系，運動物體的軌跡就是物體在這個坐標系曲線運動結果，而描述這些曲線運動的，就是向量。使用向量可以很好的模擬物理現(xiàn)象以及基本的AI。
現(xiàn)在，先來點輕松的，復習一下中學知識。
向量v(用粗體字母表示向量）也叫矢量，是一個有大小有方向的量。長度為1的向量稱為單位向量,也叫幺矢，這里記為E。長度為0的向量叫做零向量，記為0，零向量沒有確定方向，換句話說，它的方向是任意的。
一、向量的基本運算
1、向量加法：a+b等于使b的始點與a的終點重合時，以a的始點為始點，以b的終點為終點的向量。
2、向量減法:a-b等于使b的始點與a的始點重合時，以b的終點為始點，以a的終點為終點的向量。
3、 數(shù)量乘向量:k*a，k>0時，等于a的長度擴大k倍；k=0時，等于0向量；k<0時，等于a的長度擴大|k|倍然后反向。
4、向量的內(nèi)積（數(shù)量積、點積）: a.b=|a|*|b|*cosA 等于向量a的長度乘上b的長度再乘上a與b之間夾角的余弦。
它的幾何意義就是a的長度與b在a上的投影長度的乘積，或者是b的長度與a在b上投影長的乘積，它是一個標量，而
且可正可負。因此互相垂直的向量的內(nèi)積為0。
5、向量的矢積（叉積）: a x b = |a|*|b|*sinA*v = c, |a|是a的長度，|b|是b的長度，A是a和b之間的銳夾角,v是與a,b所決定的平面垂直的幺矢，即axb與a、b都垂直。a,b,c構成右手系,即右手拇指伸直，其余四指按由a到b的銳角蜷曲，此時拇指所指方向就是c的方向。因此axb!=bxa,bxa是手指朝b到a的銳角蜷曲時，拇指指向的方向，它和c相反，即-c。a x b的行列式計算公式在左右手坐標系下是不同的，如上圖所示。兩個向量的矢積是一個向量。
6、正交向量的內(nèi)積：互相垂直的兩個向量是正交的，正交向量的內(nèi)積為零。a.b = |a|.|b|*cos(PI/2) = |a|.|b|*0 = 0。
二、向量的性質(zhì)
沒有下面的這些性質(zhì)做基礎，我們后面向量技巧的推導將無法進行。
1) a + b = b + a
2) (a + b) + c = a + (b + c)
3) a + 0 = 0 + a = a
4) a + (-a) = 0
5) k*(l*a) = (k*l)*a = a*(k*l)
6) k*(a + b) = k*a + k*b
7) (k + l)*a = k*a + l*a
8) 1*a = a
9) a.b = b.a
10)a.(b + c) = a.b + a.c
11)k*(a.b) = (k*a).b = a.(k*b)
12)0.a = 0
13)a.a = |a|^2
三、自由向量的代數(shù)（分量）表示
1、向量在直角坐標中的代數(shù)表示方法：
a=(x,y)
其中x,y分別是向量在x軸和y軸上的分量。任何一個在直角坐標軸上的分量為(x,y)的向量都相等。比如上圖中的每個向量都表示為(-2，1)。
或者寫成a=x*i+y*j，即i和j的線性組合，這里i是x軸方向的單位向量(1,0)，j是y軸方向的單位向量(0,1)，因此i正交于j。任意一個2-D向量都可以表成i與j的線性組合。
|i| = |j| = 1
2、向量的代數(shù)（分量）表示的運算：
向量加法分量表示：a+b=(xa,ya)+(xb,yb)=(xa+xb,ya+yb)
向量減法分量表示：a-b=(xa,ya)-(xb,yb)=(xa-xb,ya-yb)
向量的內(nèi)積（數(shù)量積、點積）分量表示:
a.b
=(xa * i + ya * j).(xb * i + yb * j)
= xa * i * xb * i + xa * i * yb * j + ya * j * xb * i + ya * j * yb * j
=(xa * xb) * (i * i) + (xa * yb) * (i * j) + (xb * ya) * (i * j) + (ya * yb) * (j * j)
= xa * xb + ya * yb
3、向量長度（模）的計算以及單位化（歸一化）：
設a=(x,y),則
|a| = |(x,y)| = |x*i + y*j| = sqrt(x^2*i^2 + y^2*j^2) = sqrt(x^2 + y^2），這里sqrt是開平方符號。
a的單位向量為a/|a|，即(x,y)/sqrt(x^2 + y^2)。
四、簡單的2-D追蹤
現(xiàn)在，有了向量的基本知識，我們就可以分析一個常見的問題-屏幕上一點到另一點的追蹤，其實這一問題也可理解為畫線問題，畫線的算法有很多：DDA畫線法、中點畫線法以及高效的Bresenham算法。但這些算法一般只是畫一些兩端固定的線段時所使用的方法，再做一些動態(tài)的點與點之間的跟蹤時顯得不很靈活。使用向量的方法可以很好的解決此類問題。
現(xiàn)在假設你正在編寫一個飛行射擊游戲，你的敵人需要一種很厲害的武器-跟蹤導彈，這種武器在行進的同時不斷的修正自己與目標之間的位置關系，使得指向的方向總是玩家，而不論玩家的位置在哪里，這對一個水平不高的玩家（我？）來說可能將是滅頂之災，玩家可能很詫異敵人會擁有這么先進的秘密武器，但對于你來說只需要再程序循環(huán)中加入幾行代碼
,它們的原理是向量的單位化和基本向量運算。
首先我們要知道玩家的位置(x_player, y_player)，然后，我們的導彈就可以通過計算得到一個有初始方向的速度，速度的方向根據(jù)玩家的位置不斷修正，它的實質(zhì)是一個向量減法的計算過程。速度的大小我們自己來設置，它可快可慢，視游戲難易度而定，它的實質(zhì)就是向量單位化和數(shù)乘向量的過程。具體算法是：導彈的更新速度(vx_missile, vy_missile) = 玩家的位置(x_player, y_player) - 導彈的位置(x_missile, y_missile)，然后再對(vx_missile, vy_missile)做縮小處理，導彈移動，判斷是否追到玩家，重新更新速度，縮小...
看一下這個簡單算法的代碼：
// 假設x_player,y_player是玩家位置分量
// x_missile,y_missile是導彈位置分量
// xv_missile,yv_missile是導彈的速度分量
// 讓我們開始吧！
float n_missile ; // 這是玩家位置與導彈位置之間向量的長度
float v_rate ; // 這是導彈的速率縮放比率
// 計算一下玩家與導彈之間的位置向量
xv_missile = x_player-x_missile ; // 向量減法，方向由導彈指向玩家，x分量
yv_missile = y_player-y_missile ; // y分量
// 計算一下它的長度
n_missile = sqrt( xv_missile*xv_missile + yv_missile*yv_missile ) ;
// 歸一化導彈的速度向量：
xv_missile /= n_missile ;
yv_missile /= n_missile ;
// 此時導彈的速率為1，注意這里用速率。
// 導彈的速度分量滿足xv_missile^2+yv_missile^2=1
// 好！現(xiàn)在導彈的速度方向已經(jīng)被修正，它指向玩家。
// 由于現(xiàn)在的導彈速度太快，為了緩解一下緊張的氣氛，我要給導彈減速
v_rate = 0.2f ; // 減速比率
xv_missile *= v_rate ; // 這里的速率縮放比率，你可以任意調(diào)整大小
yv_missile *= v_rate ; // 可以加速：v_rate大于1；減速v_rate大于0小于1，這里就這么做！
// 導彈行進！導彈勇敢的沖向玩家！
x_missile += xv_missile ;
y_missile += yv_missile ;
// 然后判斷是否攻擊成功
現(xiàn)在，你編寫的敵人可以用跟蹤導彈攻擊玩家了。你也可以稍加修改，變?yōu)橹本€攻擊武器。這樣比較普遍。
基本的跟蹤效果用向量可以很好的模擬。
此時，我們只用到了所述向量知識的很少的一部分。其他的知識會慢慢用到游戲中。這次先介紹到這里。
下次我將說說利用向量模擬2-D物體任意角度返彈的技巧：）但是！別忘了復習一下向量的基礎知識，我們要用到它們。
<2>2-D物體任意角度的反彈
第一次我說了一下向量知識的基礎內(nèi)容和一點使用技巧，淺顯的展示了它在游戲編程中的作用。這次深入一些，充分利用向量的性質(zhì)模仿一個物理現(xiàn)象。
首先，我要介紹一下將要使用的兩個基本但非常重要的技巧。
一、求與某個向量a正交的向量b
根據(jù)向量內(nèi)積的性質(zhì)以及正交向量之間的關系，有：
設a=(xa,ya),b=(xb,yb)
a.b = 0
=> xa*xb + ya*yb = 0
=> xa*xb = -ya*yb
=> xa/-ya = yb/xb
=> xb = -ya , yb = xa 或 xb = ya , yb = -xa
則向量(xa,ya)的正交向量為(xb,yb)=(-ya,xa)
比如上圖中，向量(2,3)的逆時針旋轉90度的正交向量是(-3,2)，順時針旋轉90度的正交向量為(3,-2)。
這樣，任給一個非零向量(x,y)，則它相對坐標軸逆時針轉90度的正交向量為(-y,x),順時針轉90度的正交向量為(y,-x)。
二、計算一個向量b與另一向量a共線的兩個相反的投影向量
我們看一下上面的圖，很明顯，cosA（A=X)關于y軸對稱，是偶函數(shù)，因此cosA = cos(-A),
又因為cosA是周期函數(shù)，且周期是2*PI，則有cos(A+2*PI) = cosA = cos(-A) = cos(-A+2*PI),
則根據(jù)cosA = cos(2*PI-A)以及a.b = |a|*|b|*cosA，有
a.b = |a|*|b|*cosA = |a|*|b|*cos(2*PI-A)
現(xiàn)在，根據(jù)上圖，就有a.b = |a|*|b|*cosA = |a|*|b|*cos(2*PI-A) = ax*bx + ay*by
按照這個規(guī)則，當上面的b與c的模相等時，有|a|*|b| = |a|*|c|，進一步的，當它們與a的夾角A = B時，就有
a.b = |a|*|b|*cosA = |a|*|c|*cosB = a.c ，相應的有
a.b = |a|*|b|*cosA = |a|*|b|*cos(2*PI-A) = |a|*|c|*cosB = |a|*|c|*cos(2*PI-B) = a.c 也就是
ax*bx + ay*by = ax*cx + ay*cy
我們還注意到在一個周期內(nèi)，比如在[0,2*PI]中，cosA有正負兩種情況，分別是：在(0,PI/2)&(3*PI/2, 2*PI)為正，在(PI/2,3/2*PI)為負。好，知道了這件事情之后，再看a.b = |a|*|b|*cosA，|a|和|b|都為正，所以a.b的正負性就由cosA決定，換句話說，a.b與它們夾角A的余弦cos有相同的符號。所以，還看上面的圖，我們就有：
1)當A在(0, PI/2)&(3*PI/2, 2*PI)中,此時2*PI-A在(-PI/2，0)&(0, PI/2)中，a.b為正
2)當A在(PI/2, 3*PI/2)中，此時2*PI-A也在(PI/2, 3*PI/2)中，a.b為負
現(xiàn)在我們再來看一下同模相反（夾角為PI）向量b和b'與同一個向量a的兩個內(nèi)積之間有什么關系。
首先B + B'= 2*PI - PI = PI，所以有b = -b', b' = -b，即
(bx, by) = (-b'x, -b'y) = -(b'x, b'y)
(b'x, b'y) = (-bx, -by) = -(bx, by)
所以
a.b =（ax, ay) . (bx, by) = (ax, ay) . -(b'x, b'y) = a.-b'= -(a.b')
a.b'= (ax, ay) . (b'x, b'y) = (ax, ay) . -(bx, by) = a.-b = -(a.b)
我們看到，一個向量b的同模相反向量b'與向量a的內(nèi)積a.b'，等于b與a的內(nèi)積的相反數(shù)-(a.b)。
好，有了上面的基礎，我們就可以求一個向量b與另一向量a共線的兩個相反的投影向量c和c'了。
要求b在a上的投影向量c,我們可以用一個數(shù)乘上一個單位向量，這個單位向量要和a方向一至，我們記為a1。而這個數(shù)就是b在a上的投影長。
先來求單位向量a1,我們知道它就是向量a乘上它自身長度的倒數(shù)（數(shù)乘向量），它的長度我們
可以求出，就是m = sqrt(ax^2 + ay^2)，所以a1就是(ax/m, ay/m)，記為(a1x, a1y)。
再求投影長/c/（注意//與||的區(qū)別，前者是投影長，可正可負也可為零，后者是實際的長度，衡為非負）。 根據(jù)內(nèi)積的幾何意義:一個向量b點乘另一個向量a1，等于b在a1上投影長與a1的長的乘積。那我們要求b在a上的投影長，就用它點乘a的單位向量a1就可以了，因為單位向量的長度為1，b的投影長/c/乘上1還等于投影長自身，即：
/c/ = b.a1 = (bx, by) . (a1x, a1y) = bx * a1x + by * a1y
好，我們得到了c的投影長，現(xiàn)在就可以求出c:
c = /c/*a1 = ( (bx * a1x + by * a1y)*a1x, (bx * a1x + by * a1y)*a1y )
總結一下，就是c = (b.a1)*a1。
我們看到,b與a1的夾角在(0, PI/2)之間，因此它們的點積/c/是個正值。因此當它乘a1之后，得到向量的方向就是a1的方向。
現(xiàn)在來看b'，它是b的同模相反向量，它和a1的夾角在(PI/2, 3*PI/2)之間，因此b'點乘a1之后得到/c'/是個負值，它再乘a1，得到向量的方向和a1相反。我們知道，一個向量b的同模相反向量b'與向量a的內(nèi)積a.b'，等于b與a的內(nèi)積的相反數(shù)-(a.b)。因此，/c'/ = -/c/，也就是說，它們的絕對值相等，符號相反。因此它們同乘一個a1，得到的的兩個模相等向量c與c'共線。
讓我們把它完成：
(b'.a1) = -(b.a1)
=> -(b'.a1) = (b.a1)， 好，代入c = (b.a1)*a1，得到
c = -(b'.a1)*a1
=> (b'.a1)*a1 = -c = c'
c = ( b . a1 ) * a1 = (-b'. a1) * a1
c'= ( b'. a1 ) * a1 = (-b . a1) * a1
至此為止，我們得出結論：當一個向量b與另一個向量a的夾角在(0, PI/2)&(3*PI/2, 2*PI)之間，它在a方向上的投影向量c就是c = ( b . a1 ) * a1，其中a1是a的單位向量；它在a相反方向的投影向量c'是c'= ( b'. a1 ) * a1，其中向量b'是b的同模相反向量。
相反的，也可以這樣說：當一個向量b'與另一個向量a的夾角在(PI/2, 3*PI/2)之間,它在a相反方向上的投影向量c'是
c'= ( b'. a1 ) * a1，其中 a1是a的單位向量；它在a方向上的投影向量c是c = ( b . a1 ) * a1。其中向量b是b'的同模相反向量。
特別的，點乘兩個單位向量，得到它們夾角的余弦值:
E.E = |E|*|E|*cosA = 1*1*cosA = cosA
好了，可完了。 現(xiàn)在就可以看一下
三、使用向量模擬任意角度反彈的原理
根據(jù)初等物理，相互接觸的物體在受到外力具有接觸面相對方向相對運動趨勢的時候，接觸面會發(fā)生形變從而產(chǎn)生相互作用的彈力。
彈力使物體形變或形變同時運動形式發(fā)生改變。在知道了這件事情之后，我們開始具體討論下面這種情況：
矩形框和小球碰撞，碰撞時間極短，墻面無限光滑從而碰撞過程沒有摩擦，碰撞時間極短，沒有能量損失...總之是一個理想的物理環(huán)境。我們在這種理想環(huán)境下討論，小球與墻面發(fā)生了完全彈性碰撞，且入射角和反射角相等：A=A',B=B',C=C',...。虛線是法線，它和墻面垂直。小球將在矩形框中永無休止的碰撞下去，且每次碰撞過程中入射角和反射角都相等。
我們再具體點,現(xiàn)在假設上面那個矩形墻壁的上下面平行于x軸，左右面平行于y軸。這樣太好了，我們在編寫程序的時候只要判斷當球碰到上下表面的時候將y方向速度值取返，碰到左右表面時將x方向速度值取返就行了，這種方法常常用在簡單物理模型和規(guī)則邊界框的游戲編程上，這樣可以簡化很多編程步驟，編寫簡單游戲時可以這樣處理。可事實不總是像想向中的那么好。如果情況像下面這樣：
雖然在碰撞過程中入射角仍然等于反射角，但是邊界的角度可沒那么“純”了，它們的角度是任意的，這樣就不能簡單的將x方向或者y方向的速度取返了，我們要另找解決辦法。
我們現(xiàn)在的任務是：已知物體的速度向量S和邊界向量b，求它的反射向量F。我們先來看一下在碰撞過程中都有哪些向量關系：
設b是障礙向量，S是入射速度向量，F是反射速度向量，也就是我們要計算的向量。A是入射角度，A'是反射角度，A=A'。N是b的法向量，即N垂直于b。n是與N共線的向量，n'是N方向的單位向量。T是垂直于N的向量。根據(jù)向量加法，現(xiàn)在有關系：
(1) S + n = T
(2) n + T = F
合并，得
F = 2*T - S
我們已經(jīng)找到了計算F的公式了。這里S是已知的，我們要計算一下T,看(1)式：
T = S + n
要計算T，S是已知的，就要計算一下n。我們知道，n是S在N方向上投影得到的，S已知所以要得到n就要再計算一下N，而N又是和b垂直的。還記得剛才我們導出的使用向量的兩個技巧吧，這里我們都要用到：
1、任給一個非零向量(x,y)，則它相對坐標軸逆時針轉90度的垂直向量為(-y,x),順時針轉90度垂直向量為(y,-x)。
2、當一個向量b與另一個向量a的夾角在(0, PI/2)&(3*PI/2, 2*PI)之間，它在a方向上的投影向量c就是c = ( b . a1 ) * a1，其中a1是a的單位向量；它在a相反方向的投影向量c'是c'= ( b'. a1 ) * a1，其中向量b'是b的同模相反向量。
我們知道了b，用技巧1可以計算出N。然后歸一化N計算出n',再用技巧2，這里S和n'之間的夾角在(PI/2, 3*PI/2)中，因此要想用c = ( b. a1 ) * a1，必須要使b = -S,a1=n'。這樣就計算出了n。然后根據(jù)上面的(1)式計算出T，好了，有了T和F = 2*T - S ，你就擁有了一切！
計算出的F就是物體碰撞后的速度向量，在2-D中它有兩個分量x和y，3-D中有x,y,z三個分量。這里也證明了使用向量的一個好處就是在一些類似這樣關系推導過程中不用去考慮坐標問題，而直接的用簡單的向量就可以進行。
這里注意我們的障礙向量b在實際的編程中是用障礙的兩個端點坐標相減計算出的，計算的時候不需要考慮相減的順序問題。因為雖然用不同的相減順序得到b的方向相反，且計算得到的單位法向量n'方向也相反（看上圖的虛線部分），但是當用-S去點乘單位法向量n'之后得到的值也是相反的，它有一個自動的調(diào)節(jié)功能：現(xiàn)在假設以b為界，S一側為正方向。則如果單位法向量n'是正方向，與-S點積值也是正，正的n'再乘正點積得正的n；如果單位法向量為負方向，與-S點積值也為負值，負的n'再乘負的點積得到的n為正方向。總之n的方向是不變的，算出的F當然也是不變的。
四、編碼實現(xiàn)它
現(xiàn)在我想編碼實現(xiàn)它，但之前有一點我想說一下，可能讀者已經(jīng)想到了，在反彈之前我們要先判斷什么時候開始反彈，也就是什么時候碰撞，這是一個碰撞檢測問題，本來這是我們應該先要解決的問題，但我想把它放到下一次在具體說，所以這里的編碼省略碰撞檢測的一步，直接計算反彈速度向量！目的是把上述理論迅速用到算法中去。
// 在游戲循環(huán)中
// 移動的物體簡化為質(zhì)點,位置是x=0.0f,y=0.0f
// 質(zhì)點速度向量的分量是Svx=4.0f,Svy=2.0f
// 障礙向量是bx=14.0f-6.0f=8.0f,by=4.0f-12.0f=-8.0f
// 則障礙向量的垂直向量是Nx=-8.0f,Ny=-8.0f
// 這里可以加入碰撞檢測
// 現(xiàn)在假設已經(jīng)碰撞完畢，開始反彈計算！
// 計算N的長度
float lengthN = sqrt( Nx*Nx + Ny*Ny ) ;
// 歸一化N為n'
float n0x = Nx / lengthN ; // n0x就是n'的x分量
float n0y = Ny / lengthN ; // n0y就是n'的y分量
// 計算n，就是S在N方向上的投影向量
// 根據(jù)b'= (-b.a1').a1'，有n = (-S.n').n'
float nx = -(Svx*n0x+Svy*n0y)*n0x ; // n的x分量
float ny = -(Svx*n0x+Svy*n0y)*n0y ; // n的y分量
// 計算T
// T = S + n
float Tx = Svx + nx ; // T的x分量
float Ty = Svy + ny ; // T的y分量
// 有了T，有了F = 2*T - S，好了，你現(xiàn)在擁有一切了
// 計算F
float Fx = 2*Tx - Svx ; // F的x分量
float Fy = 2*Ty - Svy ; // F的y分量
// 現(xiàn)在已經(jīng)計算出了反彈后的速度向量了
// 更新速度向量
Svx = Fx ;
Svy = Fy ;
// 質(zhì)點移動
x+=Svx ;
y+=Svy ;
// 現(xiàn)在你就可以看到質(zhì)點被無情的反彈回去了
// 而且是按照物理法則在理想環(huán)境下模擬
就是這么簡單，一個物理現(xiàn)象就可以模擬出來，但是還不完善，只是針對直線障礙，且沒有碰撞檢測，下次分析一下后者,還是用向量的知識。這次先到這，See u next time！
<3>2-D邊界碰撞檢測
-Twinsen編寫
-本人水平有限，疏忽錯誤在所難免，還請各位數(shù)學高手、編程高手不吝賜教
-我的Email-address: popyy@netease.com
一、使用向量進行障礙檢測的原理
上次說了使用向量模擬任意角度的反彈，這次談談它的前提---障礙碰撞。
在游戲中進行障礙碰撞檢測，基本思路是這樣的：給定一個障礙范圍，判斷物體在這次移動后會不會進入這個范圍，如果會，就發(fā)生碰撞，否則不發(fā)生碰撞。在實際操作中，是用物體的邊界來判斷還是其他部位判斷完全取決于編程者。這時候，就可以從這個部位沿著速度的方向引出一條速度向量線，判斷一下這條線段（從檢測部位到速度向量終點）和障礙邊界線有沒有交點，如果有，這個交點就是碰撞點。
上面物體A，在通過速度向量移動之后將到達B位置。但是，這次移動將不會順利進行，因為我們發(fā)現(xiàn)，碰撞發(fā)生了。碰撞點就在那個紅色區(qū)域中，也就是速度向量和邊界線的交點。 我們接下來的工作就是要計算這個交點，這是一個解線性方程組的過程，那么我們將要用到一樣工具...
二、一個解線性方程組的有力工具---克蘭姆(Cramer)法則
首先要說明一下的是，這個法則是有局限性的，它必須在一個線性方程組的系數(shù)行列式非零的時候才能夠使用。別緊張，我會好好談談它們的。首先讓我來敘述一下這個法則（我會試著讓你感覺到這不是一堂數(shù)學課）：
如果線性方程組：
A11*X1 + A12*X2 + ... + A1n*Xn = b1
A21*X1 + A22*X2 + ... + A2n*Xn = b2
...................................
An1*X1 + An2*X2 + ... + Ann*Xn = bn
的系數(shù)矩陣 A =
__ __
| A11 A12 ... A1n |
| A21 A22 ... A2n |
| ............... |
| An1 An2 ... Ann |
-- --
的行列式 |A| != 0
線性方程組有解，且解是唯一的，并且解可以表示為：
X1 = d1/d , X2 = d2/d , ... , Xn = dn/d （這就是/A/=d為什么不能為零的原因）
這里d就是行列式/A/的值，dn(n=1,2,3...)是用線性方程組的常數(shù)項b1,b2,...,bn替換系數(shù)矩陣中的第n列的值得到的矩陣的行列式的值，即：
| d1 = |
| b1 A12 ... A1n |
| b2 A22 ... A2n |
| .............. |
| bn An2 ... Ann | |
| d2 = |
| A11 b1 ... A1n |
| A21 b2 ... A2n |
| .............. |
| An1 bn ... Ann | |
...
| A11 A12 ... b1 |
| dn = |
| A21 A22 ... b2 |
| .............. |
| An1 An2 ... bn | |
別去點擊關閉窗口按鈕！我現(xiàn)在就舉個例子，由于我們現(xiàn)在暫時只討論2-D游戲（3-D以后會循序漸進的談到），就來個2-D線性方程組：
(1) 4.0*X1 + 2.0*X2 = 5.0
(2) 3.0*X1 + 3.0*X2 = 6.0
這里有兩個方程，兩個未知量，則根據(jù)上面的Cramer法則：
| 4.0 2.0 |
d = | 3.0 3.0 | = 4.0*3.0 - 2.0*3.0 = 6.0 （2階行列式的解法，'\'對角線相乘減去'/'對角線相乘）
| 5.0 2.0 |
d1 = | 6.0 3.0 | = 5.0*3.0 - 2.0*6.0 = 3.0
| 4.0 5.0 |
d2 = | 3.0 6.0 | = 4.0*6.0 - 5.0*3.0 = 9.0
則
X1 = d1/d = 3.0/6.0 = 0.5
X2 = d2/d = 9.0/6.0 = 1.5
好了，現(xiàn)在就得到了方程組的唯一一組解。
是不是已經(jīng)掌握了用Cramer法則解2-D線性方程組了？如果是的話，我們繼續(xù)。
三、深入研究
這里的2-D障礙碰撞檢測的實質(zhì)就是判斷兩條線段是否有交點，注意不是直線，是線段，兩直線有交點不一定直線上的線段也有交點。現(xiàn)在我們從向量的角度，寫出兩條線段的方程。
現(xiàn)在有v1和v2兩條線段，則根據(jù)向量加法：
v1e = v1b + s*v1
v2e = v2b + t*v2
v1b和v2b分別是兩線段的一端。s,t是兩個參數(shù)，它們的范圍是[0.0,1.0],當s,t=0.0時，v1e=v1b,v2e=v2b；當s,t=1.0時,v1e和v2e分別是兩線段的另一端。s,t取遍[0.0,1.0]則v1e和v2e取遍兩線段的每一點。
那么我們要判斷v1和v2有沒有交點，就讓v1e=v2e，看解出的s,t是不是在范圍內(nèi)就可以了：
v1e = v2e
=> v1b + s*v1 = v2b + t*v2
=> s*v1 - t*v2 = v2b - v1b
寫成分量形式：
s*x_v1 - t*x_v2 = x_v2b - x_v1b
s*y_v1 - t*y_v2 = y_v2b - y_v1b
現(xiàn)在是兩個方程式，兩個未知數(shù)，則根據(jù)Cramer法則：
| d = |
| x_v1 -x_v2 |
| y_v1 -y_v2 |
|
= |
| 4.0 -2.0 |
| 1.0 -3.0 |
|
= -10.0 |
| d1 = |
| x_v2b-x_v1b -x_v2 |
| y_v2b-y_v1b -y_v2 |
|
= |
| 5.0 -2.0 |
| 2.0 -3.0 |
|
= -11.0 |
s = d1/d = -11.0/-10.0 = 1.1 > 1.0
現(xiàn)在s已經(jīng)計算出來，沒有在[0.0,1.0]內(nèi)，所以兩線段沒有交點，從圖上看很直觀。t沒有必要再計算了。所以是物體與障礙沒有發(fā)生碰撞。如果計算出的s,t都在[0.0,1.0]內(nèi)，則把它們帶入原方程組，計算出v1e或者v2e，它的分量就是碰撞點的分量。
四、理論上的東西已經(jīng)夠多的了，開始寫程序
我現(xiàn)在要寫一個用于處理障礙碰撞檢測的函數(shù)，為了測試它，我還準備安排一些障礙：
這是一個凸多邊形，我讓一個質(zhì)點在初始位置(10,8),然后給它一個隨機速度，這個隨機速度的兩個分速度在區(qū)間[1.0,4.0]內(nèi)，同時檢測是否與邊界發(fā)生碰撞。當碰撞發(fā)生時，就讓它回到初始位置，重新給一個隨機速度。
// 首先我要記下凸多邊形的邊界坐標
float poly[2][8] = {
{ 6.0f , 2.0f , 4.0f , 8.0f , 14.0f , 18.0f , 14.0f , 6.0f } , // 所有點的x分量,最后一個點和第一個點重合
{ 2.0f , 6.0f , 10.0f , 14.0f , 12.0f , 8.0f , 4.0f , 2.0f } // 所有點的y分量
} ;
// 定義一些變量
float x,y ; // 這是質(zhì)點的位置變量
float vx , vy ; // 質(zhì)點的速度向量分量
// 好，開始編寫碰撞檢測函數(shù)
bool CollisionTest() { // 當發(fā)生碰撞時返回true，否則返回false
float s , t ; // 線段方程的兩個參數(shù)
// 各個參量
float x_v1 , x_v2 , y_v1 , y_v2 ;
float x_v2b , x_v1b , y_v2b , y_v1b ;
for( int i = 0 ; i < 8-1 ; ++i ) { // 循環(huán)到倒數(shù)第二個點
// 障礙線段
x_v1 = poly[0][i+1]-poly[0][i] ;
y_v1 = poly[1][i+1]-poly[1][i] ;
// 物體速度向量
x_v2 = vx ;
y_v2 = vy ;
// 障礙向量初始點
x_v1b = poly[0][i] ;
y_v1b = poly[1][i] ;
// 物體位置
x_v2b = x ;
y_v2b = y ;
// 計算d,d1和d2
// | x_v1 -x_v2 |
//d = | y_v1 -y_v2 |
// | x_v2b-x_v1b -x_v2 |
//d1 = | y_v2b-y_v1b -y_v2 |
// | x_v1 x_v2b-x_v1b |
//d2 = | y_v1 y_v2b-y_v1b |
d = (x_v1*(-y_v2))-((-x_v2)*y_v1) ;
d1 = ((x_v2b-x_v1b)*(-y_v2))-((-x_v2)*(y_v2b-y_v1b)) ;
d2 = (x_v1*(y_v2b-y_v1b))-((x_v2b-x_v1b)*y_v1) ;
// 判斷d是否為零
if( abs(d) < 0.001f ) // 如果等于零做近似處理,abs()用于求絕對值
d = 0.001f ;
// 計算參量s,t
s = d1/d ;
t = d2/d ;
// 判斷是否發(fā)生碰撞
// 如果發(fā)生了就返回true
if( 0.0f <= s && 1.0f >= s && 0.0f <= t && 1.0f >= t )
return true ;
} // for( int i = 0 ; i < 8-1 ; ++i )
// 沒有發(fā)生碰撞，返回false
return false ;
} // end of function
// 現(xiàn)在對函數(shù)做測試
// 初始化質(zhì)點
x = 10.0f , y = 8.0f ;
vx = vy = (float)(rand()%4+1) ;
// 進入主循環(huán)中
// 假設現(xiàn)在已經(jīng)在主循環(huán)中
if( CollisionTest() ) { // 如果物體與質(zhì)點發(fā)生碰撞
x = 10.0f , y = 8.0f ;
vx = vy = (float)(rand()%4+1) ;
}
// 質(zhì)點移動
x+=vx ;
y+=vy ;
現(xiàn)在你就可以結合上次的討論模擬一個完整的理想物理情景：一個物體在不規(guī)則障礙中移動、反彈，永不停息...除非...
至此為止我們討論了2-D游戲的障礙碰撞檢測以及它的編程實現(xiàn)，在此過程中涉及到了線性代數(shù)學的知識，以后隨著深入還會不斷的加入更多的數(shù)學、物理知識。
<4>2-D物體間的碰撞響應
這次我要分析兩個球體之間的碰撞響應，這樣我們就可以結合以前的知識來編寫一款最基本的2-D臺球游戲了，雖然粗糙了點，但卻是個很好的開始，對嗎？
一、初步分析
中學時候上物理課能夠認真聽講的人（我？哦，不包括我）應該很熟悉的記得：當兩個球體在一個理想環(huán)境下相撞之后，它們的總動量保持不變，它們的總機械能也守恒。但這個理想環(huán)境是什么樣的呢？理想環(huán)境會不會影響游戲的真實性？對于前者我們做出在碰撞過程中理想環(huán)境的假設：
1）首先我們要排除兩個碰撞球相互作用之外的力，也就是假設沒有外力作用于碰撞系統(tǒng)。
2）假設碰撞系統(tǒng)與外界沒有能量交換。
3）兩個球體相互作用的時間極短，且相互作用的內(nèi)力很大。
有了這樣的假設，我們就可以使用動量守恒和動能守恒定律來處理它們之間的速度關系了，因為1）確保沒有外力參與，碰撞系統(tǒng)內(nèi)部動量守恒，我們就可以使用動量守恒定律。2）保證了我們的碰撞系統(tǒng)的總能量不會改變，我們就可以使用動能守恒定律。3）兩球發(fā)生完全彈性碰撞，不會粘在一起，沒有動量、能量損失。
而對于剛才的第二個問題，我的回答是不會，經(jīng)驗告訴我們，理想環(huán)境的模擬看起來也是很真實的。除非你是在進行科學研究，否則完全可以這樣理想的去模擬。
現(xiàn)在，我們可以通過方程來觀察碰撞前后兩球的速度關系。當兩球球心移動方向共線(1-D處理)時的速度，或不共線(2-D處理)時共線方向的速度分量滿足：
(1)m1 * v1 + m2 * v2 = m1 * v1' + m2 * v2' （動量守恒定律）
(2)1/2 * m1 * v1^2 + 1/2 * m2 * v2^2 = 1/2 * m1 * v1'^2 + 1/2 * m2 * v2'^2 （動能守恒定律）
這里m1和m2是兩球的質(zhì)量，是給定的，v1和v2是兩球的初速度也是我們已知的，v1'和v2'是兩球的末速度，是我們要求的。好，現(xiàn)在我們要推導出v1'和v2'的表達式：
由(1)，得到v1' = (m1 * v1 + m2 * v2 - m2 * v2') / m1，代入(2)，得
1/2 * m1 * v1^2 + 1/2 * m2 * v2^2 = 1/2 * m1 * (m1 * v1 + m2 * v2 - m2 * v2')^2 + 1/2 * m2 * v2'^2
=> v2' = (2 * m2 * v1 + v2 * (m1 - m2)) / (m1 + m2)，則
=> v1' = (2 * m1 * v2 + v1 * (m1 - m2)) / (m1 + m2)
我們現(xiàn)在得到的公式可以用于處理當兩球球心移動方向共線(1-D處理)時的速度關系，或者不共線(2-D處理)時共線方向的速度分量的關系。不管是前者還是后者，我們都需要把它們的速度分解到同一個軸上才能應用上述公式進行處理。
二、深入分析
首先我要說明一件事情：當兩球碰撞時，它們的速度可以分解為球心連線方向的分速度和碰撞點切線方向的分速度。而由于它們之間相互作用的力只是在切點上，也就是球心連線方向上，因此我們只用處理這個方向上的力。而在切線方向上，它們不存在相互作用的力，而且在理想環(huán)境下也沒有外力，因此這個方向上的力在碰撞前后都不變，因此不處理。好，知道了這件事情之后，我們就知道該如何把兩球的速度分解到同一個軸上進行處理。
現(xiàn)在看上面的分析圖，s和t是我們根據(jù)兩個相碰球m1和m2的位置建立的輔助軸，我們一會就將把速度投影到它們上面。v1和v2分別是m1和m2的初速度，v1'和v2'是它們碰撞后的末速度，也就是我們要求的。s'是兩球球心的位置向量，t'是它的逆時針正交向量。s1是s'的單位向量，t1是t'的單位向量。
我們的思路是這樣的：首先我們假設兩球已經(jīng)相碰（在程序中可以通過計算兩球球心之間的距離來判斷）。接下來我們計算一下s'和t'，注意s'和t'的方向正反無所謂（一會將解釋），現(xiàn)在設m1球心為(m1x, m1y)，m2球心為(m2x, m2y)，則s'為(m1x-m2x, m1y-m2y)，t'為（m2y-m1y, m1x-m2x)(第一篇的知識）。
則設
sM = sqrt((m1x-m2x)^2+(m1y-m2y)^2)，
tM = sqrt((m2y-m1y)^2+(m1x-m2x)^2)，有
s1 = ((m1x-m2x)/sM, (m1y-m2y)/sM) = (s1x, s1y)
t1 = ((m2y-m1y)/tM, (m1x-m2x)/tM) = (t1x, t1y)
現(xiàn)在s和t軸的單位向量已經(jīng)求出了，我們根據(jù)向量點乘的幾何意義，計算v1和v2在s1和t1方向上的投影值，然后將s軸上投影值代
入公式來計算s方向碰撞后的速度。注意，根據(jù)剛才的說明，t方向的速度不計算，因為沒有相互作用的力，因此，t方向的分速度不變。所以我們要做的就是：把v1投影到s和t方向上，再把v2投影到s和t方向上，用公式分別計算v1和v2在s方向上的投影的末速度，然后把得到的末速度在和原來v1和v2在t方向上的投影速度再合成，從而算出v1'和v2'。好，我們接著這個思路做下去：
先算v1（v1x, v1y)在s和t軸的投影值，分別設為v1s和v1t：
v1s = v1.s1
=> v1s = v1x * s1x + v1y * s1y
v1t = v1.t1
=> v1t = v1x * t1x + v1y * t1y
再算v2（v2x, v2y)在s和t軸的投影值，分別設為v2s和v2t：
v2s = v2.s1
=> v2s = v2x * s1x + v2y * s1y
v2t = v2.t1
=> v2t = v2x * t1x + v2y * t1y
接下來用公式
v1' = (2 * m1 * v2 + v1 * (m1 - m2)) / (m1 + m2)
v2' = (2 * m2 * v1 + v2 * (m1 - m2)) / (m1 + m2)
計算v1s和v2s的末值v1s'和v2s'，重申v1t和v2t不改變：
假設m1 = m2 = 1
v1s' = （2 * 1 * v2s + v1s * (1 - 1)) / (1 + 1)
v2s' = （2 * 1 * v1s + v2s * (1 - 1)) / (1 + 1)
=> v1s' = v2s
=> v2s' = v1s
好，下一步，將v1s'和v1t再合成得到v1'，將v2s'和v2t再合成得到v2',我們用向量和來做：
首先求出v1t和v2t在t軸的向量v1t'和v2t'（將數(shù)值變?yōu)橄蛄浚?/font>
v1t' = v1t * t1 = (v1t * t1x, v1t * t1y)
v2t' = v2t * t1 = (v2t * t1x, v2t * t1y)
再求出v1s'和v2s'在s軸的向量v1s'和v2s'（將數(shù)值變?yōu)橄蛄浚?strong>
v1s'= v1s' * s1 = (v1s' * s1x, v1s' * s1y)
v2s'= v2s' * s1 = (v2s' * s2x, v2s' * s2y)
最后，合成，得
v1' = v1t' + v1s' = (v1t * t1x + v1s' * s1x, v1t * t1y + v1s' * s1y)
v2' = v2t' + v2s' = (v2t * t1x + v2s' * s2x, v2t * t1y + v2s' * s2y)
從而就求出了v1'和v2'。下面解釋為什么說s'和t'的方向正反無所謂：不論我們在計算s'時使用m1的球心坐標減去m2的球心坐標還是相反的相減順序，由于兩球的初速度的向量必有一個和s1是夾角大于90度小于270度的，而另外一個與s1的夾角在0度和90度之間或者說在270度到360度之間，則根據(jù)向量點積的定義|a|*|b|*cosA，計算的到的兩個投影值一個為負另一個為正，也就是說，速度方向相反，這樣就可以用上面的公式區(qū)求得末速度了。同時，求出的末速度也是方向相反的，從而在轉換為v1s'和v2s'時也是正確的方向。同樣的，求t'既可以是用s'逆時針90度得到也可以是順時針90度得到。
三、編寫代碼
按照慣例，該編寫代碼了，其實編寫的代碼和上面的推導過程極為相似。但為了完整，我還是打算寫出來。
// 用于球體碰撞響應的函數(shù)，其中v1a和v2a為兩球的初速度向量，
// v1f和v2f是兩球的末速度向量。
// m1和m2是兩球的位置向量
// s'的分量為(sx, sy)，t'的分量為（tx, ty)
// s1是s的單位向量，分量為（s1x, s1y)
// t1是t的單位向量，分量為(t1x, t1y)
void Ball_Collision(v1a, v2a, &v1f, &v2f, m1, m2){
// 求出s'
double sx = m1.x - m2.x ;
double sy = m1.y - m2.y ;
// 求出s1
double s1x = sx / sqrt(sx*sx + sy*sy) ;
double s1y = sy / sqrt(sx*sx + sy*sy) ;
// 求出t'
double tx = -sy ;
double ty = sx ;
// 求出t1
double t1x = tx / sqrt(tx*tx + ty*ty) ;
double t1y = ty / sqrt(tx*tx + ty*ty) ;
// 求v1a在s1上的投影v1s
double v1s = v1a.x * s1x + v1a.y * s1y ;
// 求v1a在t1上的投影v1t
double v1t = v1a.x * t1x + v1a.y * t1y ;
// 求v2a在s1上的投影v2s
double v2s = v2a.x * s1x + v2a.y * s1y ;
// 求v2a在t1上的投影v2t
double v2t = v2a.x * t1x + v2a.y * t1y ;
// 用公式求出v1sf和v2sf
double v1sf = v2s ;
double v2sf = v1s ;
// 最后一步，注意這里我們簡化一下，直接將v1sf,v1t和v2sf,v2t投影到x，y軸上，也就是v1'和v2'在x,y軸上的分量
// 先將v1sf和v1t轉化為向量
double nsx = v1sf * s1x ;
double nsy = v1sf * s1y ;
double ntx = v1t * t1x ;
double nty = v1t * t1y ;
// 投影到x軸和y軸
// x軸單位向量為(1,0)，y軸為(0,1)
// v1f.x = 1.0 * (nsx * 1.0 + nsy * 0.0) ;
// v1f.y = 1.0 * (nsx * 0.0 + nsy * 1.0) ;
// v1f.x+= 1.0 * (ntx * 1.0 + nty * 0.0) ;
// v1f.y+= 1.0 * (ntx * 0.0 + nty * 1.0) ;
v1f.x = nsx + ntx ;
v1f.y = nsy + nty ;
// 然后將v2sf和v2t轉化為向量
nsx = v2sf * s1x ;
nsy = v2sf * s1y ;
ntx = v2t * t1x ;
nty = v2t * t1y ;
// 投影到x軸和y軸
// x軸單位向量為(1,0)，y軸為(0,1)
// v2f.x = 1.0 * (nsx * 1.0 + nsy * 0.0) ;
// v2f.y = 1.0 * (nsx * 0.0 + nsy * 1.0) ;
// v2f.x+= 1.0 * (ntx * 1.0 + nty * 0.0) ;
// v2f.y+= 1.0 * (ntx * 0.0 + nty * 1.0) ;
v2f.x = nsx + ntx ;
v2f.y = nsy + nty ;
}// end of function
呼~~是不是感覺有點亂阿？不管怎么樣，我有這種感覺。但我們確實完成了它。希望你能夠理解這個計算的過程，你完全可以依照這個過程自己編寫更高效的代碼，讓它看上去更清楚：）至此位置，我們已經(jīng)掌握了編寫一個臺球游戲的基本知識了，Let's make it!
事實上，一切才剛剛起步，我們還有很多沒有解決的問題，比如旋轉問題，擊球的角度問題等等，你還會深入的研究一下，對嗎？一旦你有了目標，堅持下去，保持激情，總會有成功的一天：）這次就到這里，下次我們接著研究，Bye for now~~
<5>物體的旋轉
歡迎回來這里！此次我們要討論向量的旋轉問題，包括平面繞點旋轉和空間繞軸旋轉兩部分。對于游戲程序員來說，有了向量的旋轉，就代表有了操縱游戲中物體旋轉的鑰匙，而不論它是一個平面精靈還是一組空間的網(wǎng)格體亦或是我們放在3-D世界某一點的相機。我們?nèi)孕杞柚蛄縼硗瓿晌覀兇舜蔚穆贸蹋@還不夠，我們還需要一個朋友，就是矩陣，一個我們用來對向量進行線性變換的GooL GuY。就像我們剛剛提及向量時所做的一樣，我們來復習一下即將用到的數(shù)學知識。（這部分知識我只會一帶而過，因為我將把重點放在后面對旋轉問題的分析上）
一、矩陣的基本運算及其性質(zhì)
對于3x3矩陣(也叫3x3方陣，行列數(shù)相等的矩陣也叫方陣）m和M，有
1、矩陣加減法
m +(-) M =
[a b c] [A B C] [a+(-)A b+(-)B c+(-)C]
[d e f] +(-) [D E F] = [d+(-)D e+(-)E f+(-)F]
[g h i] [G H I] [g+(-)G h+(-)H i+(-)I]
性質(zhì)：
1）結合律 m + (M + N) = (m + M) + N
2) 交換律 m + M = M + m
2、數(shù)量乘矩陣
k x M =
[A B C] [kxA kxB kxC]
k x [D E F] = [kxD kxE kxF]
[G H I] [kxG kxH kxI]
性質(zhì)：
k和l為常數(shù)
1) (k + l) x M = k x M + l x M
2) k x (m + M) = k x m + k x M
3) k x (l x M) = (k x l) x M
4) 1 x M = M
5) k x (m x M) = (k x m) x M = m x (k x M)
3、矩陣乘法
m x M =
[a b c] [A B C} [axA+bxD+cxG axB+bxE+cxH axC+bxF+cxI]
[d e f] x [D E F] = [dxA+exD+fxG dxB+exE+fxH dxC+exF+fxI]
[g h i] [G H I] [gxA+hxD+ixG gxB+hxE+ixH gxC+hxF+ixI]
可以看出，矩陣相乘可以進行的條件是第一個矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)。
由矩陣乘法的定義看出，矩陣乘法不滿足交換率，即在一般情況下，m x M ！= M x m。
性質(zhì)：
1) 結合律 (m x M) x N = m x (M x N)
2) 乘法加法分配律 m x (M + N) = m x M + m x N ； (m + M) x N = m x N + M x N
4、矩陣的轉置
| m' = |
[a b c]' [a d g]
[d e f] = [b e h]
[g h i] [c f i ] |
性質(zhì):
1）(m x M)' = M' x m'
2）(m')' = m
3）(m + M)' = m' + M'
4）(k x M)' = k x M'
5、單位矩陣
[1 0 0]
E = [0 1 0] 稱為3級單位陣
[0 0 1]
性質(zhì)：對于任意3級矩陣M，有E x M = M ； M x E = M
6、矩陣的逆
如果3x3級方陣m，有m x M = M x m = E，這里E是3級單位陣，則可以說m是可逆的，它的逆矩陣為M，也記為m^-1。相反的，也可以說M是可逆的，逆矩陣為m，也記為M^-1。
性質(zhì)：
1) (m^-1)^-1 = m
2) (k x m)^-1 = 1/k x m^-1
3）(m')^-1 = (m^-1)'
4) (m x M)^-1 = M^-1 x n^-1
矩陣求逆有幾種算法，這里不深入研究，當我們用到的時候在討論。
在我們建立了矩陣的概念之后，就可以用它來做坐標的線性變換。好，現(xiàn)在我們開始來使用它。
二、基礎的2-D繞原點旋轉
首先是簡單的2-D向量的旋轉,以它為基礎，我們會深入到復雜的3-D旋轉，最后使我們可以在3-D中無所不能的任意旋轉。
在2-D的迪卡爾坐標系中，一個位置向量的旋轉公式可以由三角函數(shù)的幾何意義推出。比如上圖所示是位置向量R逆時針旋轉角度B前后的情況。在左圖中，我們有關系：
x0 = |R| * cosA
y0 = |R| * sinA
=>
cosA = x0 / |R|
sinA = y0 / |R|
在右圖中，我們有關系：
x1 = |R| * cos(A+B)
y1 = |R| * sin(A+B)
其中(x1, y1)就是(x0, y0)旋轉角B后得到的點，也就是位置向量R最后指向的點。我們展開cos(A+B)和sin(A+B)，得到
x1 = |R| * (cosAcosB - sinAsinB)
y1 = |R| * (sinAcosB + cosAsinB)
現(xiàn)在把
cosA = x0 / |R|
sinA = y0 / |R|
代入上面的式子，得到
x1 = |R| * (x0 * cosB / |R| - y0 * sinB / |R|)
y1 = |R| * (y0 * cosB / |R| + x0 * sinB / |R|)
=>
x1 = x0 * cosB - y0 * sinB
y1 = x0 * sinB + y0 * cosB
這樣我們就得到了2-D迪卡爾坐標下向量圍繞圓點的逆時針旋轉公式。順時針旋轉就把角度變?yōu)樨摚?br>
x1 = x0 * cos(-B) - y0 * sin(-B)
y1 = x0 * sin(-B) + y0 * cos(-B)
=>
x1 = x0 * cosB + y0 * sinB
y1 = -x0 * sinB + y0 * cosB
現(xiàn)在我要把這個旋轉公式寫成矩陣的形式，有一個概念我簡單提一下，平面或空間里的每個線性變換（這里就是旋轉變換）都對應一個矩陣，叫做變換矩陣。對一個點實施線性變換就是通過乘上該線性變換的矩陣完成的。好了，打住，不然就跑題了。
所以2-D旋轉變換矩陣就是:
[cosA sinA] [cosA -sinA]
[-sinA cosA] 或者 [sinA cosA]
我們對點進行旋轉變換可以通過矩陣完成，比如我要點(x, y)繞原點逆時針旋轉：
[cosA sinA]
[x, y] x [-sinA cosA] = [x*cosA-y*sinA x*sinA+y*cosA]
為了編程方便，我們把它寫成兩個方陣
[x, y] [cosA sinA] [x*cosA-y*sinA x*sinA+y*cosA]
[0, 0] x [-sinA cosA] = [0 0 ]
也可以寫成
[cosA -sinA] [x 0] [x*cosA-y*sinA 0]
[sinA cosA] x [y 0] = [x*sinA+y*cosA 0]
三、2-D的繞任一點旋轉
下面我們深入一些，思考另一種情況：求一個點圍繞任一個非原點的中心點旋轉。
我們剛剛導出的公式是圍繞原點旋轉的公式，所以我們要想繼續(xù)使用它，就要把想要圍繞的那個非原點的中心點移動到原點上來。按照這個思路，我們先將該中心點通過一個位移向量移動到原點，而圍繞點要保持與中心點相對位置不變，也相應的按照這個位移向量位移，此時由于中心點已經(jīng)移動到了圓點，就可以讓同樣位移后的圍繞點使用上面的公式來計算旋轉后的位置了，計算完后，再讓計算出的點按剛才的位移向量 逆 位移，就得到圍繞點繞中心點旋轉一定角度后的新位置了。看下面的圖
現(xiàn)在求左下方的藍色點圍繞紅色點旋轉一定角度后的新位置。由于紅色點不在原點，所以可以通過紅色向量把它移動到原點，此時藍色的點也按照這個向量移動，可見，紅色和藍色點的相對位置沒有變。現(xiàn)在紅色點在原點，藍色點可以用上面旋轉變換矩陣進行旋轉，旋轉后的點在通過紅色向量的的逆向量回到它實際圍繞下方紅色點旋轉后的位置。
在這個過程中，我們對圍繞點進行了三次線性變換：位移變換-旋轉變換-位移變換，我們把它寫成矩陣形式：
設紅色向量為(rtx, rty)
[x y 1] [1 0 0] [cosA sinA 0] [1 0 0] [x' y' -]
[0 1 0] x [0 1 0] x [-sinA cosA 0] x [0 1 0] = [- - -]
[0 0 1] [rtx rty 1] [0 0 1] [-rtx -rty 1] [- - -]
最后得到的矩陣的x'和y'就是我們旋轉后的點坐標。
注意到矩陣乘法滿足結合律：(m x M) x N = m x (M x N)，我們可以先將所有的變換矩陣乘在一起，即
[1 0 0] [cosA sinA 0] [1 0 0]
M = [0 1 0] x [-sinA cosA 0] x [0 1 0]
[rtx rty 1] [0 0 1] [-rtx -rty 1]
然后再讓
[x y 1]
[0 1 0] x M
[0 0 1]
像這樣歸并變換矩陣是矩陣運算一個常用的方法，因為當把諸多變換矩陣歸并為一個矩陣之后，對某點或向量的重復變換只需要乘一個矩陣就可以完成，減少了計算的開銷。
本小節(jié)討論的這種“其他變換-繞點旋轉變換-其他變換”的思想很重要，因為有時候復雜一些的旋轉變換不可能一步完成，必須使用這種旁敲側擊、化繁為簡的方法，尤其是在3-D空間中，可能需要在真正做規(guī)定度數(shù)的旋轉前還要做一些其他必要旋轉變換，也就是要做很多次的旋轉，但總體的思想還是為了把復雜的問題分成若干簡單的問題去解決，而每一個簡單問題都需要一個變換矩陣來完成，所以希望讀者深入思考一下這種方法。
好，2-D的旋轉探討完畢。接下來，我們進入3-D空間，討論更為復雜一些的旋轉。Here We Go!
四、基礎的3-D繞坐標軸方向旋轉
就像2-D繞原點旋轉一樣，3-D的繞坐標軸旋轉是3-D旋轉的基礎，因為其他復雜的3-D旋轉最后都會化簡為繞坐標軸旋轉。其實，剛才我們推導出的在xoy坐標面繞o旋轉的公式可以很容易的推廣到3-D空間中，因為在3-D直角坐標系中，三個坐標軸兩兩正交，所以z軸垂直于xoy面，這樣，在xoy面繞o點旋轉實際上在3-D空間中就是圍繞z軸旋轉，如下圖左所示：
這張圖描述了左手系中某點在xoy、yoz、xoz面上圍繞原點旋轉的情況，同時也是分別圍繞z、x、y坐標軸旋轉。可見在3-D空間中繞坐標軸旋轉相當于在相應的2-D平面中圍繞原點旋轉。我們用矩陣來說明：
設p(x, y, z）是3-D空間中的一點，也可以說是一個位置向量，當以上圖中的坐標為準，p點所圍繞的中心軸指向你的屏幕之外時，有
p繞z軸逆時針和順時針旋轉角度A分別寫成：
[x y z 1] [cosA -sinA 0 0] [x y z 1] [cosA sinA 0 0]
[0 1 0 0] x [sinA cosA 0 0] 和 [0 1 0 0] x [-sinA cosA 0 0]
[0 0 1 0] [0 0 1 0] [0 0 1 0] [0 0 1 0]
[0 0 0 1] [0 0 0 1] [0 0 0 1] [0 0 0 1]
p繞x軸逆時針和順時針旋轉角度A分別寫成：
[x y z 1] [1 0 0 0] [x y z 1] [1 0 0 0]
[0 1 0 0] x [0 cos -sinA 0] 和 [0 1 0 0] x [0 cosA sinA 0]
[0 0 1 0] [0 sin cosA 0] [0 0 1 0] [0 -sinA cosA 0]
[0 0 0 1] [0 0 0 1] [0 0 0 1] [0 0 0 1]
p繞y軸逆時針和順時針旋轉角度A分別寫成：
[x y z 1] [cosA 0 sinA 0] [x y z 1] [cosA 0 -sinA 0]
[0 1 0 0] x [0 1 0 0] 和 [0 1 0 0] x [0 1 0 0]
[0 0 1 0] [-sinA 0 cosA 0] [0 0 1 0] [sinA 0 cosA 0]
[0 0 0 1] [0 0 0 1] [0 0 0 1] [0 0 0 1]
以后我們會把它們寫成這樣的標準4x4方陣形式，Why？為了便于做平移變換，還記得上小節(jié)做平移時我們把2x2方陣寫為3x3方陣嗎？
讓我們繼續(xù)研究。我們再把結論推廣一點，讓它適用于所有和坐標軸平行的軸，具體一點，讓它適用于所有和y軸平行的軸。
這個我們很快可以想到，可以按照2-D的方法“平移變換-旋轉變換-平移變換”來做到，看下圖
要實現(xiàn)point繞axis旋轉，我們把axis按照一個位移向量移動到和y軸重合的位置，也就是變換為axis'，為了保持point和axis的相對位置不變,point也通過相同的位移向量做相應的位移。好，現(xiàn)在移動后的point就可以用上面的旋轉矩陣圍繞axis'也就是y軸旋轉了，旋轉后用相反的位移向量位移到實際圍繞axis相應度數(shù)的位置。我們還是用矩陣來說明：
假設axis為x = s, z = t，要point(x, y, z)圍繞它逆時針旋轉度數(shù)A，按照“平移變換-旋轉變換-位移變換”，我們有
[x y z 1] [1 0 0 0] [cosA 0 sinA 0] [1 0 0 0] [x' y z' -]
[0 1 0 0] [0 1 0 0] [0 1 0 0] [0 1 0 0] [- - - -]
[0 0 1 0] x [0 0 1 0] x [-sinA 0 cosA 0] x [0 0 1 0] = [- - - -]
[0 0 0 1] [-s 0 -t 1] [0 0 0 1] [s 0 t 1] [- - - -]
則得到的(x', y, z')就是point圍繞axis旋轉角A后的位置。
同理，平行于x軸且圍繞軸y=s,z=t逆時針旋轉角A的變換為
[x y z 1] [1 0 0 0] [1 0 0 0] [1 0 0 0] [x y' z' -]
[0 1 0 0] [0 1 0 0] [0 cosA -sinA 0] [0 1 0 0] [- - - -]
[0 0 1 0] x [0 0 1 0] x [0 sinA cosA 0] x [0 0 1 0] = [- - - -]
[0 0 0 1] [0 -s -t 1] [0 0 0 1] [0 s t 1] [- - - -]
平行于z軸且圍繞軸x=s,y=t逆時針旋轉角A的變換為
[x y z 1] [1 0 0 0] [cosA -sinA 0 0] [1 0 0 0] [x' y' z -]
[0 1 0 0] [0 1 0 0] [sinA cosA 0 0] [0 1 0 0] [- - - -]
[0 0 1 0] x [0 0 1 0] x [0 0 1 0] x [0 0 1 0] = [- - - -]
[0 0 0 1] [-s -t 0 1] [0 0 0 1] [s t 0 1] [- - - -]
逆時針旋轉就把上面推出的相應逆時針旋轉變換矩陣帶入即可。至此我們已經(jīng)討論了3-D空間基本旋轉的全部，接下來的一小節(jié)是我們3-D旋轉部分的重頭戲，也是3-D中功能最強大的旋轉變換。
五、3-D繞任意軸的旋轉
Wow!終于來到了最后一部分，這一節(jié)我們將綜合運用上面涉及到的所有旋轉知識，完成空間一點或著說位置向量圍繞空間任意方向旋轉軸的旋轉變換（我在下面介紹的一種方法是一個稍微繁瑣一點的方法，大體上看是利用幾個基本旋轉的綜合。我將在下一篇中介紹一個高檔一些的方法）。
何謂任意方向的旋轉軸呢？其實就是空間一條直線。在空間解析幾何中，決定空間直線位置的兩個值是直線上一點以及直線的方向向量。在旋轉中，我們把這個直線稱為一個旋轉軸，因此，直線的這個方向向量我們叫它軸向量，它類似于3-D動畫中四元數(shù)的軸向量。我們在實際旋轉之前的變換矩陣需要通過把這個軸向量移動到原點來獲得。
我們先討論旋轉軸通過原點的情況。目前為止對于3-D空間中的旋轉，我們可以做的只是繞坐標軸方向的旋轉。因此，當我們考慮非坐標軸方向旋轉的時候，很自然的想到，可以將這個旋轉軸通過變換與某一個坐標軸重合，同時，為了保持旋轉點和這個旋轉軸相對位置不變，旋轉點也做相應的變換，然后，讓旋轉點圍繞相應旋轉軸重合的坐標軸旋轉，最后將旋轉后的點以及旋轉軸逆變換回原來的位置，此時就完成了一點圍繞這個非坐標軸方向旋轉軸的旋轉。我們再來看圖分析。
圖中有一個紅色的分量為(x0, y0, z0)的軸向量，此外有一個藍色位置向量圍繞它旋轉，由于這個軸向量沒有與任何一個坐標軸平行，我們沒有辦法使用上面推導出的旋轉變換矩陣，因此必須將該軸變換到一個坐標軸上，這里我們選擇了z軸。在變換紅色軸的同時，為了保持藍色位置向量同該軸的相對位置不變，也做相應的變換，然后就出現(xiàn)中圖描述的情況。接著我們就用可以用變換矩陣來圍繞z軸旋轉藍色向量相應的度數(shù)。旋轉完畢后，再用剛才變換的逆變換把兩個向量相對位置不變地還原到初始位置，此時就完成了一個點圍繞任意過原點的軸的旋轉，對于不過原點的軸我們?nèi)匀挥?#8220;位移變換-旋轉變換-位移變換”的方法，一會討論。
在理解了基本思路之后，我們來研究一下變換吧！我們就按上圖將紅色軸變到z軸上，開始吧！
首先我們假設紅軸向量是一個單位向量，因為這樣在一會求sin和cos時可以簡化計算，在實際編程時可以先將軸向量標準化。然后我準備分兩步把紅色軸變換到z軸上去:
1）將紅色軸變換到y(tǒng)oz平面上
2) 將yoz平面上的紅色軸變到z軸上
至于這兩個變換的方法...我實在沒有別的辦法了，只能夠旋轉了，你覺得呢？先把它旋轉到y(tǒng)oz平面上。
我們設軸向量旋轉到y(tǒng)oz面的變換為（繞z軸旋轉）：
[cosA sinA 0 0]
[-sinA cosA 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]
接著我們要求出cosA和sinA，由上圖，沿著z軸方向看去，我們看到旋轉軸向量到y(tǒng)oz面在xoy面就是將軸的投影向量旋轉角度A到y(tǒng)軸上，現(xiàn)在我不知道角度A，但是我們可以利用它直接求出cosA和sinA，因為我們知道關系：
cosA = y0 / 軸向量在xoy面的投影長
sinA = x0 / 軸向量在xoy面的投影長
我們設軸向量的投影長為lr = sqrt(x0^2 + y0^2)，呵呵，現(xiàn)在，我們第一步的變換矩陣就出來了：
[y0/lr x0/lr 0 0]
[-x0/lr y0/lr 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]
同時我們得到逆變換矩陣：
[y0/lr -x0/lr 0 0]
[x0/lr y0/lr 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]
然后我們進行第二步：將yoz平面上的紅色軸變到z軸上。我們的變換矩陣是（繞x軸旋轉）：
[1 0 0 0]
[0 cosB sinB 0]
[0 -sinB cosB 0]
[0 0 0 1]
由圖，這是經(jīng)第一次旋轉后的軸向量在yoz面中的情形，此次我們要求出上面變換中的cosB和sinB，我們?nèi)圆恢澜嵌菳，但我們還是可以利用它求cosB和sinB。由于第一次旋轉是圍繞z軸，所以軸向量的z分量沒有變，還是z0。此外，軸向量現(xiàn)在的y分量和原來不同了，我們再看一下第一次變換那張圖，可以發(fā)現(xiàn)軸向量在旋轉到y(tǒng)oz面后，y分量變成了剛才軸向量在xoy面上的投影長lr了。Yes！我想是時候寫出cosB和sinB了：
cosB = z0 / 軸向量的長
sinB = lr / 軸向量的長
還記得我們剛才假設軸向量是一個單位向量嗎？所以
cosB = z0
sinB = lr
至此我們的第二個變換就出來了：
[1 0 0 0]
[0 z0 lr 0]
[0 -lr z0 0]
[0 0 0 1]
相應逆變換矩陣：
[1 0 0 0]
[0 z0 -lr 0]
[0 lr z0 0]
[0 0 0 1]
現(xiàn)在總結一下，我們對于空間任意點圍繞某個任意方向且過原點的軸旋轉的變換矩陣就是：
[y0/lr x0/lr 0 0] [1 0 0 0] [cosA sinA 0 0] [1 0 0 0] [y0/lr -x0/lr 0 0]
[-x0/lr y0/lr 0 0] [0 z0 lr 0] [-sinA cosA 0 0] [0 z0 -lr 0] [x0/lr y0/lr 0 0]
M = [0 0 1 0] x [0 -lr z0 0] x [0 0 1 0] x [0 lr z0 0] x [0 0 1 0]
[0 0 0 1] [0 0 0 1] [0 0 0 1] [0 0 0 1] [0 0 0 1]
上面的變換是“旋轉變換-旋轉變換-旋轉變換-旋轉變換-旋轉變換”的變換組。當我們需要讓空間中的某個位置向量圍繞一個軸旋轉角度A的時候，就可以用這個向量相應的矩陣乘上這個M，比如
[x y 0 0] [x' y' z' -]
[0 1 0 0] [- - - -]
[0 0 1 0] x M = [- - - -]
[0 0 0 1] [- - - -]
當然，M中矩陣相應的元素是根據(jù)軸向量得到的。
以上的變換矩陣是通過把軸向量變到z軸上得到的，而且是先旋轉到y(tǒng)oz面上，然后再旋轉到z軸上。我們也可以不這樣做，而是先把軸向量旋轉到xoz面上，然后再旋轉到z軸上。此外，我們還可以把軸向量變到x或y軸上，這一點我們可以自己決定。雖然變換不同，但推導的道理是相同的，都是這種“其他變換-實際旋轉變換-其他變換”的滲透形式。
剛才分析的是旋轉軸過原點的情況，對于一般的旋轉軸，雖然我們也都是把它的軸向量放到原點來考慮，但我們不能只是讓旋轉點圍繞過原點的軸向量旋轉完就算完事，我們?nèi)孕枰捎?#8220;平移變換-旋轉變換-平移變換”方法。即先將旋轉軸平移到過原點方向，旋轉點也做相應平移，接著按上面推出的變換陣旋轉，最后將旋轉軸和點逆平移回去。這里，我們只需在M的左右兩邊各加上一個平移變換即可。這個平移變換的元素是根據(jù)軸向量與原點之間的距離向量得到的，比如旋轉軸與原點的距離向量是(lx, ly, lz)，則我們的變換就變成
[1 0 0 0] [1 0 0 0]
[0 1 0 0] [0 1 0 0]
m = [0 0 1 0] x M x [0 0 1 0]
[-lx -ly -lz 1] [lx ly lz 1]
變換矩陣m就是全部7個變換矩陣的歸并，適用于各種旋轉情況。
我們現(xiàn)在已經(jīng)討論完了一般的2-D、3-D旋轉了。可以看出其基本的思想還是能夠化繁為簡的變換、歸并。而實際的旋轉也仍是用我們最最基本的2-D繞原點旋轉公式。其實還有很多的旋轉效果可以用我們上面的變換、公式稍加修改獲得。比如螺旋形旋轉、旋轉加前進、隨機旋轉等等。下一篇將介紹一個用的最多的高檔一些的方法，下次見。
<6>3-D空間中的基變換與坐標變換
一、空間坐標系的基和基矩陣
在3-D空間中，我們用空間坐標系來規(guī)范物體的位置，空間坐標系由3個相互垂直的坐標軸組成，我們就把它們作為我們觀察3-D空間的基礎，空間中物體的位置可以通過它們來衡量。當我們把這3個坐標軸上單位長度的向量記為3個相互正交的單位向量i,j,k，空間中每一個點的位置都可以被這3個向量線性表出，如P<1,-2,3>這個點可以表為i-2j+3k。
我們把這3個正交的單位向量稱為空間坐標系的基，它們單位長度為1且正交，所以可以成為標準正交基。三個向量叫做基向量。現(xiàn)在我們用矩陣形式寫出基向量和基。
i = | 1 0 0 |
j = | 0 1 0 |
k = | 0 0 1 |
| i | | 1 0 0 |
B = | j | = | 0 1 0 |
| k | | 0 0 1 |
這樣的矩陣我們叫它基矩陣。有了基矩陣，我們就可以把空間坐標系中的一個向量寫成坐標乘上基矩陣的形式，比如上面的向量P可以寫成：
| P = C x B |
=> |
| 1 -2 3 | = |
| 1 -2 3 | x |
| 1 0 0 |
| 0 1 0 |
| 0 0 1 | |
這樣的話，空間坐標系下的同一個向量在不同的基下的坐標是不同的。
二、局部坐標系和局部坐標
和空間坐標系（也可以叫做全局坐標系或者世界坐標系）并存的稱為局部坐標系（也叫坐標架——coordinate frame），它有自己的基，這些基向量把空間坐標系作為參考系。比如
| x'| | -1 0 0 |
B' = | y'| = | 0 1 0 |
| z'| | 0 0 -1 |
| x''| | 2^½ /2 0 2^½ /2 |
B'' = | y''| = | 0 -1 0 |
| z''| | -(2^½) /2 0 2^½ /2 |
就是兩個局部坐標系的基，如圖:
現(xiàn)在我們可以把上面那個空間坐標中的向量P|1 -2 3|（以后都用矩陣表示）表示在不同的基下，我把它寫成一個大長串的式子：
| x' | | x''|
P = | Px' Py' Pz' | x | y' | = | Px'' Py'' Pz'' | x | y''|
| z' | | z''|
這里| Px' Py' Pz'|是P在B'下的坐標，| Px'' Py'' Pz''|是P在B''下的坐標，我把它寫的具體點吧：
| | 1 -2 3 | = | -1 -2 -3 | x |
| -1 0 0 |
| 0 1 0 |
| 0 0 -1 |
|
= | 2*2^½ -2 2^½ | x |
| 2^½ /2 0 2^½ /2|
| 0 -1 0 |
| -(2^½) /2 0 2^½ /2|
|
|
|
這就是說，在空間坐標系下面的向量| 1 -2 3 |在基B'下的坐標為|-1 -2 -3|，在B''下的坐標為| 2*2^½ -2 2^½ |。當然空間坐標系也有自己的基B|i j k|^T（因為是列向量，所以寫成行向量的轉置），但我們現(xiàn)在是拿它當作一個參考系。
在研究了局部坐標系之后，我現(xiàn)在要分析兩個應用它們的例子，先來看
三、空間坐標系中一個點圍繞任一軸的旋轉
上一篇討論3-D空間旋轉的時候說到有一個高檔的方法做3-D空間任意軸旋轉，現(xiàn)在我們的知識儲備已經(jīng)足夠理解這個方法了(Quake引擎使用的就是這個方法)。
如上所示，空間坐標系中的一個局部坐標系xyz中有一個向量a(2,5,3)和一個點p(8,4,2)現(xiàn)在我要讓p點圍繞a向量旋轉60度，得到p’點，該如何做呢？從目前掌握的旋轉知識來看，我們有兩個理論基礎：
1）在一個坐標系中的一個點，如果要它圍繞該坐標系中一個坐標軸旋轉，就給它的坐標值乘相應的旋轉矩陣，如
[cosA -sinA 0 ]
[sinA cosA 0 ]
[0 0 1 ]
等等。
2）我們已經(jīng)學習了局部坐標系的理論了，知道空間中一個點在不同的坐標系中的坐標不同。利用這一點，我們可以很方便的讓一個點或者向量在不同的坐標系之間轉換。
我們聯(lián)系這兩個理論根據(jù)，得出我們的思路：
1構造另一個局部坐標系abc，使得a成為該坐標系的一個坐標軸。
2 把p的坐標變換到abc中，得到p’，用旋轉公式讓p’圍繞已經(jīng)成為坐標軸的a旋轉，得到p’’。
3把p’’再變換回坐標系xyz，得到p’’’，則p’’’就是p圍繞a旋轉后的點。
下面我們逐步說明。
首先我們構造abc，我們有無數(shù)種方法構造，因為只要保證b、c之間以及他們和a之間都正交就可以了，但我們只要一個。根據(jù)上圖，我們首先產(chǎn)生一個和a正交的b。這可以通過向量的叉乘來完成：我們?nèi)×硪粋€向量v（顯然，這個向量是不能和a共線的任何非零向量），讓它和a決定一個平面x，然后讓v叉乘a得到一個垂直于x的向量b，因為b垂直于x，而a在平面x上，因此b一定垂直于a，然后用a叉乘b得到c，最后單位化a、b、c，這樣就得到了局部坐標系abc。
然后我們把p點變換到abc坐標系中，得到p’，即p’就是p在abc中的坐標：
|a b c| * p’= |x y z| * p
p’ = |a b c|^-1 * |x y z| * p
|ax bx cx| |1 0 0| |px|
p’ = |ay by cy| ^-1 * |0 1 0| * |py|
|az bz cz| |0 0 1| |pz|
注意這里|a b c|^-1即矩陣|a b c|的逆矩陣，因為a、b、c是三個正交向量，并且是單位向量，因此|a b c|是一個正交矩陣，正交矩陣的轉置和逆相等，這是它的一個特性，因此上面的公式就可以寫成:
|ax ay az| |1 0 0| |px|
p’ = |bx by bz| * |0 1 0| * |py|
|cx cy cz| |0 0 1| |pz|
這個時候p’就是p在abc坐標系下的坐標了。此時a已經(jīng)是一個坐標軸了，我們可以用旋轉矩陣來做。
p’’ = RotMatrix * p’
[1 0 0] |p’x|
p’’ = [0 cos60 -sin60] * |p’y|
[0 sin60 cos60] |p’z|
最后，我們把p’’再次變換回xyz坐標系，得到最終的p’’’
|a b c| * p’’ = |x y z| * p’’’
p’’’ = |x y z|^-1 * |a b c| * p’’
p’’’ = |a b c| * p’’
最后
p’’’ = |a b c| * RotMatrix * |a b c|^T * p = M * p
這樣就得到了xyz坐標系中點p圍繞a旋轉60度后的點。
最后，我用Quake3引擎的相應函數(shù)(來自idSoftware ——quake3-1[1].32b-source——mathlib.c)來完成對這個算法的說明：
/*
===============
RotatePointAroundVector
dst是一個float[3]，也就是p’’’
dir相當于a，point就是p，degrees是旋轉度數(shù)
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*/
void RotatePointAroundVector( vec3_t dst, const vec3_t dir, const vec3_t point,
float degrees ) {
float m[3][3];
float im[3][3];
float zrot[3][3];
float tmpmat[3][3];
float rot[3][3];
int i;
vec3_t vr, vup, vf;
float rad;
vf[0] = dir[0];
vf[1] = dir[1];
vf[2] = dir[2];
// 首先通過dir得到一個和它垂直的vr
// PerpendicularVector()函數(shù)用于構造和dir垂直的向量
// 也就是我們上面的第1步
PerpendicularVector( vr, dir );
// 通過cross multiply得到vup
// 現(xiàn)在已經(jīng)構造出坐標軸向量vr, vup, vf
CrossProduct( vr, vf, vup );
// 把這三個單位向量放入矩陣中
m[0][0] = vr[0];
m[1][0] = vr[1];
m[2][0] = vr[2];
m[0][1] = vup[0];
m[1][1] = vup[1];
m[2][1] = vup[2];
m[0][2] = vf[0];
m[1][2] = vf[1];
m[2][2] = vf[2];
// 產(chǎn)生轉置矩陣im
memcpy( im, m, sizeof( im ) );
im[0][1] = m[1][0];
im[0][2] = m[2][0];
im[1][0] = m[0][1];
im[1][2] = m[2][1];
im[2][0] = m[0][2];
im[2][1] = m[1][2];
// 構造旋轉矩陣zrot
memset( zrot, 0, sizeof( zrot ) );
zrot[0][0] = zrot[1][1] = zrot[2][2] = 1.0F;
rad = DEG2RAD( degrees );
zrot[0][0] = cos( rad );
zrot[0][1] = sin( rad );
zrot[1][0] = -sin( rad );
zrot[1][1] = cos( rad );
// 開始構造變換矩陣M
// tmpmat = m * zrot
MatrixMultiply( m, zrot, tmpmat );
// rot = m * zrot * im
MatrixMultiply( tmpmat, im, rot );
// 則 rot = m * zrot * im 和我們上面推出的
// M = |a b c| * RotMatrix * |a b c|^T 一致
// 變換point這個點
// p’’’ = M * p
for ( i = 0; i < 3; i++ ) {
dst[i] = rot[i][0] * point[0] + rot[i][1] * point[1] + rot[i][2] * point[2];
}
}
四、世界空間到相機空間的變換
空間坐標系XYZ，相機坐標系UVN。這時候相機空間的基（以下簡稱相機）在空間坐標系中圍繞各個坐標軸旋轉了一定角度<a,b,c>，然后移動了<x,y,z>。對于模型我們可以看作相對于相機的逆運動，即模型旋轉了一定角度<-a,-b,-c>，然后移動了<-x,-y,-z>，可以把相機和物體的運動看成兩個互逆的變換。這樣，可以通過對相機的變換矩陣求逆來得到模型的變換矩陣。下面來具體看一下，如何得到相機變換矩陣，并且求得它的逆矩陣。
首先聲明一下，對于一個模型的變換，我們可以給模型矩陣左乘變換矩陣：
M x P = P'
|
| A B C D |
| E F G H |
| I J K L |
| M N O P |
|
x
|
| x |
| y |
| z |
| 1 |
|
=
|
| Ax + By + Cz + D |
| Ex + Fy + Gz + H |
| Ix + Jy + Kz + L |
| Mx + Ny + Oz + P |
|
也可以右乘變換矩陣：
PT x MT = P'T
| | x y z 1| x |
| A E I M |
| B F J N |
| C G K O |
| D H L P |
|
= |Ax+By+Cz+D Ex+Fy+Gz+H Ix+Jy+Kz+L Mx+Ny+Oz+P| |
|
|
可以看出兩種變換方式是一個轉置關系，結果只是形式上的不同，但這里我們使用后者，即右乘變換矩陣，因為比較普遍。
很顯然，相機的變換可以分成兩個階段：旋轉和平移。我們先來看旋轉。
在空間坐標系中，相機旋轉之前世界坐標系xyz和相機坐標系u0v0n0的各個軸向量的方向相同，有關系：
| P = |Pu0 Pv0 Pn0| x |
| u0 |
| v0 |
| n0 |
|
= |Px Py Pz| x |
|
| x |
| y |
| z |
|
這里P是空間坐標系中的一個向量。|u0 v0 n0|^T是相機基矩陣，|Pu0 Pv0 Pn0|是P在相機基矩陣下的坐標。|x y z|^T是
世界基矩陣，|Px Py Pz|是P在它下面的坐標。有Pu0 = Px， Pv0 =Py， Pn0 = Pz。
相機和向量P都旋轉之后，有關系：
| P' = |Pu0 Pv0 Pn0| x |
| u |
| v |
| n |
|
|
= |Px' Py' Pz'| x |
| x |
| y |
| z |
|
P'是P同相機一起旋轉后的向量。|u v n|^T是相機旋轉后的基矩陣，|Pu0 Pv0 Pn0|是P'在它下面的坐標，因為P是和相機一起旋轉的，所以坐標不變。|x y z|^T仍為世界基矩陣，|Px' Py' Pz'|是P'在它下面的坐標。
現(xiàn)在看
因為|x y z|^T為一個單位陣，且Pu0 = Px， Pv0 =Py， Pn0 = Pz。 所以得到
| |Pu0 Pv0 Pn0| x |
| u |
| v |
| n |
|
= |Px' Py' Pz'| x |
| x |
| y |
| z |
|
|
| |Px Py Pz| x |
| u |
| v |
| n |
|
= |Px' Py' Pz'| |
|
|
即|Px Py Pz|和相機一起旋轉后變成|Px' Py' Pz'|，即P x R = P'，而旋轉變換矩陣R就是：
| u |
| v |
| n |
寫成標準4x4矩陣：
| ux uy uz 0|
| vx vy vz 0|
| nx ny nz 0|
| 0 0 0 1|
平移矩陣T很簡單：
| 1 0 0 0 |
| 0 1 0 0 |
| 0 0 1 0 |
| x y z 1 |
則相機矩陣就是：
| ux uy uz 0 | | 1 0 0 0 |
| vx vy vz 0 | | 0 1 0 0 |
C = R x T = x
| nx ny nz 0 | | 0 0 1 0 |
| 0 0 0 1 | | x y z 1 |
它的逆矩陣，即相機的逆變換矩陣為
| C-1 = T-1 x R-1 = |
| 1 0 0 0 |
| 0 1 0 0 |
| 0 0 1 0 |
| -x -y -z 1 |
|
x |
| ux vx nx 0 |
| uy vy ny 0 |
| uz nz nz 0 |
| 0 0 0 1 |
|
= |
| ux vx nx 0 |
| uy vy ny 0 |
| uz vz nz 0 |
|-T.u -T.v -T.n 1 |
|