來源:http://www.vbgamedev.com/newc/VECTOR_MATH.htm
Andre Lamothe說：“向量幾何是游戲程序員最好的朋友”。一點(diǎn)不假，向量幾何在游戲編程中的地位不容忽視，因?yàn)樵谟螒虺绦騿T的眼中，顯示屏幕就是一個(gè)坐標(biāo)系，運(yùn)動(dòng)物體的軌跡就是物體在這個(gè)坐標(biāo)系曲線運(yùn)動(dòng)結(jié)果，而描述這些曲線運(yùn)動(dòng)的，就是向量。使用向量可以很好的模擬物理現(xiàn)象以及基本的AI。
<1>簡(jiǎn)單的2-D追蹤
Andre Lamothe說：“向量幾何是游戲程序員最好的朋友”。一點(diǎn)不假，向量幾何在游戲編程中的地位不容忽視，因?yàn)樵谟螒虺绦騿T的眼中，顯示屏幕就是一個(gè)坐標(biāo)系，運(yùn)動(dòng)物體的軌跡就是物體在這個(gè)坐標(biāo)系曲線運(yùn)動(dòng)結(jié)果，而描述這些曲線運(yùn)動(dòng)的，就是向量。使用向量可以很好的模擬物理現(xiàn)象以及基本的AI。
現(xiàn)在，先來點(diǎn)輕松的，復(fù)習(xí)一下中學(xué)知識(shí)。
向量v(用粗體字母表示向量）也叫矢量，是一個(gè)有大小有方向的量。長(zhǎng)度為1的向量稱為單位向量,也叫幺矢，這里記為E。長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記為0，零向量沒有確定方向，換句話說，它的方向是任意的。
一、向量的基本運(yùn)算
1、向量加法：a+b等于使b的始點(diǎn)與a的終點(diǎn)重合時(shí)，以a的始點(diǎn)為始點(diǎn)，以b的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量。
2、向量減法:a-b等于使b的始點(diǎn)與a的始點(diǎn)重合時(shí)，以b的終點(diǎn)為始點(diǎn)，以a的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量。
3、 數(shù)量乘向量:k*a，k>0時(shí)，等于a的長(zhǎng)度擴(kuò)大k倍；k=0時(shí)，等于0向量；k<0時(shí)，等于a的長(zhǎng)度擴(kuò)大|k|倍然后反向。
4、向量的內(nèi)積（數(shù)量積、點(diǎn)積）: a.b=|a|*|b|*cosA 等于向量a的長(zhǎng)度乘上b的長(zhǎng)度再乘上a與b之間夾角的余弦。
它的幾何意義就是a的長(zhǎng)度與b在a上的投影長(zhǎng)度的乘積，或者是b的長(zhǎng)度與a在b上投影長(zhǎng)的乘積，它是一個(gè)標(biāo)量，而
且可正可負(fù)。因此互相垂直的向量的內(nèi)積為0。
5、向量的矢積（叉積）: a x b = |a|*|b|*sinA*v = c, |a|是a的長(zhǎng)度，|b|是b的長(zhǎng)度，A是a和b之間的銳夾角,v是與a,b所決定的平面垂直的幺矢，即axb與a、b都垂直。a,b,c構(gòu)成右手系,即右手拇指伸直，其余四指按由a到b的銳角蜷曲，此時(shí)拇指所指方向就是c的方向。因此axb!=bxa,bxa是手指朝b到a的銳角蜷曲時(shí)，拇指指向的方向，它和c相反，即-c。a x b的行列式計(jì)算公式在左右手坐標(biāo)系下是不同的，如上圖所示。兩個(gè)向量的矢積是一個(gè)向量。
6、正交向量的內(nèi)積：互相垂直的兩個(gè)向量是正交的，正交向量的內(nèi)積為零。a.b = |a|.|b|*cos(PI/2) = |a|.|b|*0 = 0。
二、向量的性質(zhì)
沒有下面的這些性質(zhì)做基礎(chǔ)，我們后面向量技巧的推導(dǎo)將無法進(jìn)行。
1) a + b = b + a
2) (a + b) + c = a + (b + c)
3) a + 0 = 0 + a = a
4) a + (-a) = 0
5) k*(l*a) = (k*l)*a = a*(k*l)
6) k*(a + b) = k*a + k*b
7) (k + l)*a = k*a + l*a
8) 1*a = a
9) a.b = b.a
10)a.(b + c) = a.b + a.c
11)k*(a.b) = (k*a).b = a.(k*b)
12)0.a = 0
13)a.a = |a|^2
三、自由向量的代數(shù)（分量）表示
1、向量在直角坐標(biāo)中的代數(shù)表示方法：
a=(x,y)
其中x,y分別是向量在x軸和y軸上的分量。任何一個(gè)在直角坐標(biāo)軸上的分量為(x,y)的向量都相等。比如上圖中的每個(gè)向量都表示為(-2，1)。
或者寫成a=x*i+y*j，即i和j的線性組合，這里i是x軸方向的單位向量(1,0)，j是y軸方向的單位向量(0,1)，因此i正交于j。任意一個(gè)2-D向量都可以表成i與j的線性組合。
|i| = |j| = 1
2、向量的代數(shù)（分量）表示的運(yùn)算：
向量加法分量表示：a+b=(xa,ya)+(xb,yb)=(xa+xb,ya+yb)
向量減法分量表示：a-b=(xa,ya)-(xb,yb)=(xa-xb,ya-yb)
向量的內(nèi)積（數(shù)量積、點(diǎn)積）分量表示:
a.b
=(xa * i + ya * j).(xb * i + yb * j)
= xa * i * xb * i + xa * i * yb * j + ya * j * xb * i + ya * j * yb * j
=(xa * xb) * (i * i) + (xa * yb) * (i * j) + (xb * ya) * (i * j) + (ya * yb) * (j * j)
= xa * xb + ya * yb
3、向量長(zhǎng)度（模）的計(jì)算以及單位化（歸一化）：
設(shè)a=(x,y),則
|a| = |(x,y)| = |x*i + y*j| = sqrt(x^2*i^2 + y^2*j^2) = sqrt(x^2 + y^2），這里sqrt是開平方符號(hào)。
a的單位向量為a/|a|，即(x,y)/sqrt(x^2 + y^2)。
四、簡(jiǎn)單的2-D追蹤
現(xiàn)在，有了向量的基本知識(shí)，我們就可以分析一個(gè)常見的問題-屏幕上一點(diǎn)到另一點(diǎn)的追蹤，其實(shí)這一問題也可理解為畫線問題，畫線的算法有很多：DDA畫線法、中點(diǎn)畫線法以及高效的Bresenham算法。但這些算法一般只是畫一些兩端固定的線段時(shí)所使用的方法，再做一些動(dòng)態(tài)的點(diǎn)與點(diǎn)之間的跟蹤時(shí)顯得不很靈活。使用向量的方法可以很好的解決此類問題。
現(xiàn)在假設(shè)你正在編寫一個(gè)飛行射擊游戲，你的敵人需要一種很厲害的武器-跟蹤導(dǎo)彈，這種武器在行進(jìn)的同時(shí)不斷的修正自己與目標(biāo)之間的位置關(guān)系，使得指向的方向總是玩家，而不論玩家的位置在哪里，這對(duì)一個(gè)水平不高的玩家（我？）來說可能將是滅頂之災(zāi)，玩家可能很詫異敵人會(huì)擁有這么先進(jìn)的秘密武器，但對(duì)于你來說只需要再程序循環(huán)中加入幾行代碼
,它們的原理是向量的單位化和基本向量運(yùn)算。
首先我們要知道玩家的位置(x_player, y_player)，然后，我們的導(dǎo)彈就可以通過計(jì)算得到一個(gè)有初始方向的速度，速度的方向根據(jù)玩家的位置不斷修正，它的實(shí)質(zhì)是一個(gè)向量減法的計(jì)算過程。速度的大小我們自己來設(shè)置，它可快可慢，視游戲難易度而定，它的實(shí)質(zhì)就是向量單位化和數(shù)乘向量的過程。具體算法是：導(dǎo)彈的更新速度(vx_missile, vy_missile) = 玩家的位置(x_player, y_player) - 導(dǎo)彈的位置(x_missile, y_missile)，然后再對(duì)(vx_missile, vy_missile)做縮小處理，導(dǎo)彈移動(dòng)，判斷是否追到玩家，重新更新速度，縮小...
看一下這個(gè)簡(jiǎn)單算法的代碼：
// 假設(shè)x_player,y_player是玩家位置分量
// x_missile,y_missile是導(dǎo)彈位置分量
// xv_missile,yv_missile是導(dǎo)彈的速度分量
// 讓我們開始吧！
float n_missile ; // 這是玩家位置與導(dǎo)彈位置之間向量的長(zhǎng)度
float v_rate ; // 這是導(dǎo)彈的速率縮放比率
// 計(jì)算一下玩家與導(dǎo)彈之間的位置向量
xv_missile = x_player-x_missile ; // 向量減法，方向由導(dǎo)彈指向玩家，x分量
yv_missile = y_player-y_missile ; // y分量
// 計(jì)算一下它的長(zhǎng)度
n_missile = sqrt( xv_missile*xv_missile + yv_missile*yv_missile ) ;
// 歸一化導(dǎo)彈的速度向量：
xv_missile /= n_missile ;
yv_missile /= n_missile ;
// 此時(shí)導(dǎo)彈的速率為1，注意這里用速率。
// 導(dǎo)彈的速度分量滿足xv_missile^2+yv_missile^2=1
// 好！現(xiàn)在導(dǎo)彈的速度方向已經(jīng)被修正，它指向玩家。
// 由于現(xiàn)在的導(dǎo)彈速度太快，為了緩解一下緊張的氣氛，我要給導(dǎo)彈減速
v_rate = 0.2f ; // 減速比率
xv_missile *= v_rate ; // 這里的速率縮放比率，你可以任意調(diào)整大小
yv_missile *= v_rate ; // 可以加速：v_rate大于1；減速v_rate大于0小于1，這里就這么做！
// 導(dǎo)彈行進(jìn)！導(dǎo)彈勇敢的沖向玩家！
x_missile += xv_missile ;
y_missile += yv_missile ;
// 然后判斷是否攻擊成功
現(xiàn)在，你編寫的敵人可以用跟蹤導(dǎo)彈攻擊玩家了。你也可以稍加修改，變?yōu)橹本€攻擊武器。這樣比較普遍。
基本的跟蹤效果用向量可以很好的模擬。
此時(shí)，我們只用到了所述向量知識(shí)的很少的一部分。其他的知識(shí)會(huì)慢慢用到游戲中。這次先介紹到這里。
下次我將說說利用向量模擬2-D物體任意角度返彈的技巧：）但是！別忘了復(fù)習(xí)一下向量的基礎(chǔ)知識(shí)，我們要用到它們。
<2>2-D物體任意角度的反彈
第一次我說了一下向量知識(shí)的基礎(chǔ)內(nèi)容和一點(diǎn)使用技巧，淺顯的展示了它在游戲編程中的作用。這次深入一些，充分利用向量的性質(zhì)模仿一個(gè)物理現(xiàn)象。
首先，我要介紹一下將要使用的兩個(gè)基本但非常重要的技巧。
一、求與某個(gè)向量a正交的向量b
根據(jù)向量?jī)?nèi)積的性質(zhì)以及正交向量之間的關(guān)系，有：
設(shè)a=(xa,ya),b=(xb,yb)
a.b = 0
=> xa*xb + ya*yb = 0
=> xa*xb = -ya*yb
=> xa/-ya = yb/xb
=> xb = -ya , yb = xa 或 xb = ya , yb = -xa
則向量(xa,ya)的正交向量為(xb,yb)=(-ya,xa)
比如上圖中，向量(2,3)的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度的正交向量是(-3,2)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度的正交向量為(3,-2)。
這樣，任給一個(gè)非零向量(x,y)，則它相對(duì)坐標(biāo)軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)90度的正交向量為(-y,x),順時(shí)針轉(zhuǎn)90度的正交向量為(y,-x)。
二、計(jì)算一個(gè)向量b與另一向量a共線的兩個(gè)相反的投影向量
我們看一下上面的圖，很明顯，cosA（A=X)關(guān)于y軸對(duì)稱，是偶函數(shù)，因此cosA = cos(-A),
又因?yàn)閏osA是周期函數(shù)，且周期是2*PI，則有cos(A+2*PI) = cosA = cos(-A) = cos(-A+2*PI),
則根據(jù)cosA = cos(2*PI-A)以及a.b = |a|*|b|*cosA，有
a.b = |a|*|b|*cosA = |a|*|b|*cos(2*PI-A)
現(xiàn)在，根據(jù)上圖，就有a.b = |a|*|b|*cosA = |a|*|b|*cos(2*PI-A) = ax*bx + ay*by
按照這個(gè)規(guī)則，當(dāng)上面的b與c的模相等時(shí)，有|a|*|b| = |a|*|c|，進(jìn)一步的，當(dāng)它們與a的夾角A = B時(shí)，就有
a.b = |a|*|b|*cosA = |a|*|c|*cosB = a.c ，相應(yīng)的有
a.b = |a|*|b|*cosA = |a|*|b|*cos(2*PI-A) = |a|*|c|*cosB = |a|*|c|*cos(2*PI-B) = a.c 也就是
ax*bx + ay*by = ax*cx + ay*cy
我們還注意到在一個(gè)周期內(nèi)，比如在[0,2*PI]中，cosA有正負(fù)兩種情況，分別是：在(0,PI/2)&(3*PI/2, 2*PI)為正，在(PI/2,3/2*PI)為負(fù)。好，知道了這件事情之后，再看a.b = |a|*|b|*cosA，|a|和|b|都為正，所以a.b的正負(fù)性就由cosA決定，換句話說，a.b與它們夾角A的余弦cos有相同的符號(hào)。所以，還看上面的圖，我們就有：
1)當(dāng)A在(0, PI/2)&(3*PI/2, 2*PI)中,此時(shí)2*PI-A在(-PI/2，0)&(0, PI/2)中，a.b為正
2)當(dāng)A在(PI/2, 3*PI/2)中，此時(shí)2*PI-A也在(PI/2, 3*PI/2)中，a.b為負(fù)
現(xiàn)在我們?cè)賮砜匆幌峦Ｏ喾矗▕A角為PI）向量b和b'與同一個(gè)向量a的兩個(gè)內(nèi)積之間有什么關(guān)系。
首先B + B'= 2*PI - PI = PI，所以有b = -b', b' = -b，即
(bx, by) = (-b'x, -b'y) = -(b'x, b'y)
(b'x, b'y) = (-bx, -by) = -(bx, by)
所以
a.b =（ax, ay) . (bx, by) = (ax, ay) . -(b'x, b'y) = a.-b'= -(a.b')
a.b'= (ax, ay) . (b'x, b'y) = (ax, ay) . -(bx, by) = a.-b = -(a.b)
我們看到，一個(gè)向量b的同模相反向量b'與向量a的內(nèi)積a.b'，等于b與a的內(nèi)積的相反數(shù)-(a.b)。
好，有了上面的基礎(chǔ)，我們就可以求一個(gè)向量b與另一向量a共線的兩個(gè)相反的投影向量c和c'了。
要求b在a上的投影向量c,我們可以用一個(gè)數(shù)乘上一個(gè)單位向量，這個(gè)單位向量要和a方向一至，我們記為a1。而這個(gè)數(shù)就是b在a上的投影長(zhǎng)。
先來求單位向量a1,我們知道它就是向量a乘上它自身長(zhǎng)度的倒數(shù)（數(shù)乘向量），它的長(zhǎng)度我們
可以求出，就是m = sqrt(ax^2 + ay^2)，所以a1就是(ax/m, ay/m)，記為(a1x, a1y)。
再求投影長(zhǎng)/c/（注意//與||的區(qū)別，前者是投影長(zhǎng)，可正可負(fù)也可為零，后者是實(shí)際的長(zhǎng)度，衡為非負(fù)）。 根據(jù)內(nèi)積的幾何意義:一個(gè)向量b點(diǎn)乘另一個(gè)向量a1，等于b在a1上投影長(zhǎng)與a1的長(zhǎng)的乘積。那我們要求b在a上的投影長(zhǎng)，就用它點(diǎn)乘a的單位向量a1就可以了，因?yàn)閱挝幌蛄康拈L(zhǎng)度為1，b的投影長(zhǎng)/c/乘上1還等于投影長(zhǎng)自身，即：
/c/ = b.a1 = (bx, by) . (a1x, a1y) = bx * a1x + by * a1y
好，我們得到了c的投影長(zhǎng)，現(xiàn)在就可以求出c:
c = /c/*a1 = ( (bx * a1x + by * a1y)*a1x, (bx * a1x + by * a1y)*a1y )
總結(jié)一下，就是c = (b.a1)*a1。
我們看到,b與a1的夾角在(0, PI/2)之間，因此它們的點(diǎn)積/c/是個(gè)正值。因此當(dāng)它乘a1之后，得到向量的方向就是a1的方向。
現(xiàn)在來看b'，它是b的同模相反向量，它和a1的夾角在(PI/2, 3*PI/2)之間，因此b'點(diǎn)乘a1之后得到/c'/是個(gè)負(fù)值，它再乘a1，得到向量的方向和a1相反。我們知道，一個(gè)向量b的同模相反向量b'與向量a的內(nèi)積a.b'，等于b與a的內(nèi)積的相反數(shù)-(a.b)。因此，/c'/ = -/c/，也就是說，它們的絕對(duì)值相等，符號(hào)相反。因此它們同乘一個(gè)a1，得到的的兩個(gè)模相等向量c與c'共線。
讓我們把它完成：
(b'.a1) = -(b.a1)
=> -(b'.a1) = (b.a1)， 好，代入c = (b.a1)*a1，得到
c = -(b'.a1)*a1
=> (b'.a1)*a1 = -c = c'
c = ( b . a1 ) * a1 = (-b'. a1) * a1
c'= ( b'. a1 ) * a1 = (-b . a1) * a1
至此為止，我們得出結(jié)論：當(dāng)一個(gè)向量b與另一個(gè)向量a的夾角在(0, PI/2)&(3*PI/2, 2*PI)之間，它在a方向上的投影向量c就是c = ( b . a1 ) * a1，其中a1是a的單位向量；它在a相反方向的投影向量c'是c'= ( b'. a1 ) * a1，其中向量b'是b的同模相反向量。
相反的，也可以這樣說：當(dāng)一個(gè)向量b'與另一個(gè)向量a的夾角在(PI/2, 3*PI/2)之間,它在a相反方向上的投影向量c'是
c'= ( b'. a1 ) * a1，其中 a1是a的單位向量；它在a方向上的投影向量c是c = ( b . a1 ) * a1。其中向量b是b'的同模相反向量。
特別的，點(diǎn)乘兩個(gè)單位向量，得到它們夾角的余弦值:
E.E = |E|*|E|*cosA = 1*1*cosA = cosA
好了，可完了。 現(xiàn)在就可以看一下
三、使用向量模擬任意角度反彈的原理
根據(jù)初等物理，相互接觸的物體在受到外力具有接觸面相對(duì)方向相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的時(shí)候，接觸面會(huì)發(fā)生形變從而產(chǎn)生相互作用的彈力。
彈力使物體形變或形變同時(shí)運(yùn)動(dòng)形式發(fā)生改變。在知道了這件事情之后，我們開始具體討論下面這種情況：
矩形框和小球碰撞，碰撞時(shí)間極短，墻面無限光滑從而碰撞過程沒有摩擦，碰撞時(shí)間極短，沒有能量損失...總之是一個(gè)理想的物理環(huán)境。我們?cè)谶@種理想環(huán)境下討論，小球與墻面發(fā)生了完全彈性碰撞，且入射角和反射角相等：A=A',B=B',C=C',...。虛線是法線，它和墻面垂直。小球?qū)⒃诰匦慰蛑杏罒o休止的碰撞下去，且每次碰撞過程中入射角和反射角都相等。
我們?cè)倬唧w點(diǎn),現(xiàn)在假設(shè)上面那個(gè)矩形墻壁的上下面平行于x軸，左右面平行于y軸。這樣太好了，我們?cè)诰帉懗绦虻臅r(shí)候只要判斷當(dāng)球碰到上下表面的時(shí)候?qū)方向速度值取返，碰到左右表面時(shí)將x方向速度值取返就行了，這種方法常常用在簡(jiǎn)單物理模型和規(guī)則邊界框的游戲編程上，這樣可以簡(jiǎn)化很多編程步驟，編寫簡(jiǎn)單游戲時(shí)可以這樣處理。可事實(shí)不總是像想向中的那么好。如果情況像下面這樣：
雖然在碰撞過程中入射角仍然等于反射角，但是邊界的角度可沒那么“純”了，它們的角度是任意的，這樣就不能簡(jiǎn)單的將x方向或者y方向的速度取返了，我們要另找解決辦法。
我們現(xiàn)在的任務(wù)是：已知物體的速度向量S和邊界向量b，求它的反射向量F。我們先來看一下在碰撞過程中都有哪些向量關(guān)系：
設(shè)b是障礙向量，S是入射速度向量，F是反射速度向量，也就是我們要計(jì)算的向量。A是入射角度，A'是反射角度，A=A'。N是b的法向量，即N垂直于b。n是與N共線的向量，n'是N方向的單位向量。T是垂直于N的向量。根據(jù)向量加法，現(xiàn)在有關(guān)系：
(1) S + n = T
(2) n + T = F
合并，得
F = 2*T - S
我們已經(jīng)找到了計(jì)算F的公式了。這里S是已知的，我們要計(jì)算一下T,看(1)式：
T = S + n
要計(jì)算T，S是已知的，就要計(jì)算一下n。我們知道，n是S在N方向上投影得到的，S已知所以要得到n就要再計(jì)算一下N，而N又是和b垂直的。還記得剛才我們導(dǎo)出的使用向量的兩個(gè)技巧吧，這里我們都要用到：
1、任給一個(gè)非零向量(x,y)，則它相對(duì)坐標(biāo)軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)90度的垂直向量為(-y,x),順時(shí)針轉(zhuǎn)90度垂直向量為(y,-x)。
2、當(dāng)一個(gè)向量b與另一個(gè)向量a的夾角在(0, PI/2)&(3*PI/2, 2*PI)之間，它在a方向上的投影向量c就是c = ( b . a1 ) * a1，其中a1是a的單位向量；它在a相反方向的投影向量c'是c'= ( b'. a1 ) * a1，其中向量b'是b的同模相反向量。
我們知道了b，用技巧1可以計(jì)算出N。然后歸一化N計(jì)算出n',再用技巧2，這里S和n'之間的夾角在(PI/2, 3*PI/2)中，因此要想用c = ( b. a1 ) * a1，必須要使b = -S,a1=n'。這樣就計(jì)算出了n。然后根據(jù)上面的(1)式計(jì)算出T，好了，有了T和F = 2*T - S ，你就擁有了一切！
計(jì)算出的F就是物體碰撞后的速度向量，在2-D中它有兩個(gè)分量x和y，3-D中有x,y,z三個(gè)分量。這里也證明了使用向量的一個(gè)好處就是在一些類似這樣關(guān)系推導(dǎo)過程中不用去考慮坐標(biāo)問題，而直接的用簡(jiǎn)單的向量就可以進(jìn)行。
這里注意我們的障礙向量b在實(shí)際的編程中是用障礙的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)相減計(jì)算出的，計(jì)算的時(shí)候不需要考慮相減的順序問題。因?yàn)殡m然用不同的相減順序得到b的方向相反，且計(jì)算得到的單位法向量n'方向也相反（看上圖的虛線部分），但是當(dāng)用-S去點(diǎn)乘單位法向量n'之后得到的值也是相反的，它有一個(gè)自動(dòng)的調(diào)節(jié)功能：現(xiàn)在假設(shè)以b為界，S一側(cè)為正方向。則如果單位法向量n'是正方向，與-S點(diǎn)積值也是正，正的n'再乘正點(diǎn)積得正的n；如果單位法向量為負(fù)方向，與-S點(diǎn)積值也為負(fù)值，負(fù)的n'再乘負(fù)的點(diǎn)積得到的n為正方向。總之n的方向是不變的，算出的F當(dāng)然也是不變的。
四、編碼實(shí)現(xiàn)它
現(xiàn)在我想編碼實(shí)現(xiàn)它，但之前有一點(diǎn)我想說一下，可能讀者已經(jīng)想到了，在反彈之前我們要先判斷什么時(shí)候開始反彈，也就是什么時(shí)候碰撞，這是一個(gè)碰撞檢測(cè)問題，本來這是我們應(yīng)該先要解決的問題，但我想把它放到下一次在具體說，所以這里的編碼省略碰撞檢測(cè)的一步，直接計(jì)算反彈速度向量！目的是把上述理論迅速用到算法中去。
// 在游戲循環(huán)中
// 移動(dòng)的物體簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn),位置是x=0.0f,y=0.0f
// 質(zhì)點(diǎn)速度向量的分量是Svx=4.0f,Svy=2.0f
// 障礙向量是bx=14.0f-6.0f=8.0f,by=4.0f-12.0f=-8.0f
// 則障礙向量的垂直向量是Nx=-8.0f,Ny=-8.0f
// 這里可以加入碰撞檢測(cè)
// 現(xiàn)在假設(shè)已經(jīng)碰撞完畢，開始反彈計(jì)算！
// 計(jì)算N的長(zhǎng)度
float lengthN = sqrt( Nx*Nx + Ny*Ny ) ;
// 歸一化N為n'
float n0x = Nx / lengthN ; // n0x就是n'的x分量
float n0y = Ny / lengthN ; // n0y就是n'的y分量
// 計(jì)算n，就是S在N方向上的投影向量
// 根據(jù)b'= (-b.a1').a1'，有n = (-S.n').n'
float nx = -(Svx*n0x+Svy*n0y)*n0x ; // n的x分量
float ny = -(Svx*n0x+Svy*n0y)*n0y ; // n的y分量
// 計(jì)算T
// T = S + n
float Tx = Svx + nx ; // T的x分量
float Ty = Svy + ny ; // T的y分量
// 有了T，有了F = 2*T - S，好了，你現(xiàn)在擁有一切了
// 計(jì)算F
float Fx = 2*Tx - Svx ; // F的x分量
float Fy = 2*Ty - Svy ; // F的y分量
// 現(xiàn)在已經(jīng)計(jì)算出了反彈后的速度向量了
// 更新速度向量
Svx = Fx ;
Svy = Fy ;
// 質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)
x+=Svx ;
y+=Svy ;
// 現(xiàn)在你就可以看到質(zhì)點(diǎn)被無情的反彈回去了
// 而且是按照物理法則在理想環(huán)境下模擬
就是這么簡(jiǎn)單，一個(gè)物理現(xiàn)象就可以模擬出來，但是還不完善，只是針對(duì)直線障礙，且沒有碰撞檢測(cè)，下次分析一下后者,還是用向量的知識(shí)。這次先到這，See u next time！
<3>2-D邊界碰撞檢測(cè)
-Twinsen編寫
-本人水平有限，疏忽錯(cuò)誤在所難免，還請(qǐng)各位數(shù)學(xué)高手、編程高手不吝賜教
-我的Email-address: popyy@netease.com
一、使用向量進(jìn)行障礙檢測(cè)的原理
上次說了使用向量模擬任意角度的反彈，這次談?wù)勊那疤?--障礙碰撞。
在游戲中進(jìn)行障礙碰撞檢測(cè)，基本思路是這樣的：給定一個(gè)障礙范圍，判斷物體在這次移動(dòng)后會(huì)不會(huì)進(jìn)入這個(gè)范圍，如果會(huì)，就發(fā)生碰撞，否則不發(fā)生碰撞。在實(shí)際操作中，是用物體的邊界來判斷還是其他部位判斷完全取決于編程者。這時(shí)候，就可以從這個(gè)部位沿著速度的方向引出一條速度向量線，判斷一下這條線段（從檢測(cè)部位到速度向量終點(diǎn)）和障礙邊界線有沒有交點(diǎn)，如果有，這個(gè)交點(diǎn)就是碰撞點(diǎn)。
上面物體A，在通過速度向量移動(dòng)之后將到達(dá)B位置。但是，這次移動(dòng)將不會(huì)順利進(jìn)行，因?yàn)槲覀儼l(fā)現(xiàn)，碰撞發(fā)生了。碰撞點(diǎn)就在那個(gè)紅色區(qū)域中，也就是速度向量和邊界線的交點(diǎn)。 我們接下來的工作就是要計(jì)算這個(gè)交點(diǎn)，這是一個(gè)解線性方程組的過程，那么我們將要用到一樣工具...
二、一個(gè)解線性方程組的有力工具---克蘭姆(Cramer)法則
首先要說明一下的是，這個(gè)法則是有局限性的，它必須在一個(gè)線性方程組的系數(shù)行列式非零的時(shí)候才能夠使用。別緊張，我會(huì)好好談?wù)勊鼈兊摹Ｊ紫茸屛襾頂⑹鲆幌逻@個(gè)法則（我會(huì)試著讓你感覺到這不是一堂數(shù)學(xué)課）：
如果線性方程組：
A11*X1 + A12*X2 + ... + A1n*Xn = b1
A21*X1 + A22*X2 + ... + A2n*Xn = b2
...................................
An1*X1 + An2*X2 + ... + Ann*Xn = bn
的系數(shù)矩陣 A =
__ __
| A11 A12 ... A1n |
| A21 A22 ... A2n |
| ............... |
| An1 An2 ... Ann |
-- --
的行列式 |A| != 0
線性方程組有解，且解是唯一的，并且解可以表示為：
X1 = d1/d , X2 = d2/d , ... , Xn = dn/d （這就是/A/=d為什么不能為零的原因）
這里d就是行列式/A/的值，dn(n=1,2,3...)是用線性方程組的常數(shù)項(xiàng)b1,b2,...,bn替換系數(shù)矩陣中的第n列的值得到的矩陣的行列式的值，即：
| d1 = |
| b1 A12 ... A1n |
| b2 A22 ... A2n |
| .............. |
| bn An2 ... Ann | |
| d2 = |
| A11 b1 ... A1n |
| A21 b2 ... A2n |
| .............. |
| An1 bn ... Ann | |
...
| A11 A12 ... b1 |
| dn = |
| A21 A22 ... b2 |
| .............. |
| An1 An2 ... bn | |
別去點(diǎn)擊關(guān)閉窗口按鈕！我現(xiàn)在就舉個(gè)例子，由于我們現(xiàn)在暫時(shí)只討論2-D游戲（3-D以后會(huì)循序漸進(jìn)的談到），就來個(gè)2-D線性方程組：
(1) 4.0*X1 + 2.0*X2 = 5.0
(2) 3.0*X1 + 3.0*X2 = 6.0
這里有兩個(gè)方程，兩個(gè)未知量，則根據(jù)上面的Cramer法則：
| 4.0 2.0 |
d = | 3.0 3.0 | = 4.0*3.0 - 2.0*3.0 = 6.0 （2階行列式的解法，'\'對(duì)角線相乘減去'/'對(duì)角線相乘）
| 5.0 2.0 |
d1 = | 6.0 3.0 | = 5.0*3.0 - 2.0*6.0 = 3.0
| 4.0 5.0 |
d2 = | 3.0 6.0 | = 4.0*6.0 - 5.0*3.0 = 9.0
則
X1 = d1/d = 3.0/6.0 = 0.5
X2 = d2/d = 9.0/6.0 = 1.5
好了，現(xiàn)在就得到了方程組的唯一一組解。
是不是已經(jīng)掌握了用Cramer法則解2-D線性方程組了？如果是的話，我們繼續(xù)。
三、深入研究
這里的2-D障礙碰撞檢測(cè)的實(shí)質(zhì)就是判斷兩條線段是否有交點(diǎn)，注意不是直線，是線段，兩直線有交點(diǎn)不一定直線上的線段也有交點(diǎn)。現(xiàn)在我們從向量的角度，寫出兩條線段的方程。
現(xiàn)在有v1和v2兩條線段，則根據(jù)向量加法：
v1e = v1b + s*v1
v2e = v2b + t*v2
v1b和v2b分別是兩線段的一端。s,t是兩個(gè)參數(shù)，它們的范圍是[0.0,1.0],當(dāng)s,t=0.0時(shí)，v1e=v1b,v2e=v2b；當(dāng)s,t=1.0時(shí),v1e和v2e分別是兩線段的另一端。s,t取遍[0.0,1.0]則v1e和v2e取遍兩線段的每一點(diǎn)。
那么我們要判斷v1和v2有沒有交點(diǎn)，就讓v1e=v2e，看解出的s,t是不是在范圍內(nèi)就可以了：
v1e = v2e
=> v1b + s*v1 = v2b + t*v2
=> s*v1 - t*v2 = v2b - v1b
寫成分量形式：
s*x_v1 - t*x_v2 = x_v2b - x_v1b
s*y_v1 - t*y_v2 = y_v2b - y_v1b
現(xiàn)在是兩個(gè)方程式，兩個(gè)未知數(shù)，則根據(jù)Cramer法則：
| d = |
| x_v1 -x_v2 |
| y_v1 -y_v2 |
|
= |
| 4.0 -2.0 |
| 1.0 -3.0 |
|
= -10.0 |
| d1 = |
| x_v2b-x_v1b -x_v2 |
| y_v2b-y_v1b -y_v2 |
|
= |
| 5.0 -2.0 |
| 2.0 -3.0 |
|
= -11.0 |
s = d1/d = -11.0/-10.0 = 1.1 > 1.0
現(xiàn)在s已經(jīng)計(jì)算出來，沒有在[0.0,1.0]內(nèi)，所以兩線段沒有交點(diǎn)，從圖上看很直觀。t沒有必要再計(jì)算了。所以是物體與障礙沒有發(fā)生碰撞。如果計(jì)算出的s,t都在[0.0,1.0]內(nèi)，則把它們帶入原方程組，計(jì)算出v1e或者v2e，它的分量就是碰撞點(diǎn)的分量。
四、理論上的東西已經(jīng)夠多的了，開始寫程序
我現(xiàn)在要寫一個(gè)用于處理障礙碰撞檢測(cè)的函數(shù)，為了測(cè)試它，我還準(zhǔn)備安排一些障礙：
這是一個(gè)凸多邊形，我讓一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在初始位置(10,8),然后給它一個(gè)隨機(jī)速度，這個(gè)隨機(jī)速度的兩個(gè)分速度在區(qū)間[1.0,4.0]內(nèi)，同時(shí)檢測(cè)是否與邊界發(fā)生碰撞。當(dāng)碰撞發(fā)生時(shí)，就讓它回到初始位置，重新給一個(gè)隨機(jī)速度。
// 首先我要記下凸多邊形的邊界坐標(biāo)
float poly[2][8] = {
{ 6.0f , 2.0f , 4.0f , 8.0f , 14.0f , 18.0f , 14.0f , 6.0f } , // 所有點(diǎn)的x分量,最后一個(gè)點(diǎn)和第一個(gè)點(diǎn)重合
{ 2.0f , 6.0f , 10.0f , 14.0f , 12.0f , 8.0f , 4.0f , 2.0f } // 所有點(diǎn)的y分量
} ;
// 定義一些變量
float x,y ; // 這是質(zhì)點(diǎn)的位置變量
float vx , vy ; // 質(zhì)點(diǎn)的速度向量分量
// 好，開始編寫碰撞檢測(cè)函數(shù)
bool CollisionTest() { // 當(dāng)發(fā)生碰撞時(shí)返回true，否則返回false
float s , t ; // 線段方程的兩個(gè)參數(shù)
// 各個(gè)參量
float x_v1 , x_v2 , y_v1 , y_v2 ;
float x_v2b , x_v1b , y_v2b , y_v1b ;
for( int i = 0 ; i < 8-1 ; ++i ) { // 循環(huán)到倒數(shù)第二個(gè)點(diǎn)
// 障礙線段
x_v1 = poly[0][i+1]-poly[0][i] ;
y_v1 = poly[1][i+1]-poly[1][i] ;
// 物體速度向量
x_v2 = vx ;
y_v2 = vy ;
// 障礙向量初始點(diǎn)
x_v1b = poly[0][i] ;
y_v1b = poly[1][i] ;
// 物體位置
x_v2b = x ;
y_v2b = y ;
// 計(jì)算d,d1和d2
// | x_v1 -x_v2 |
//d = | y_v1 -y_v2 |
// | x_v2b-x_v1b -x_v2 |
//d1 = | y_v2b-y_v1b -y_v2 |
// | x_v1 x_v2b-x_v1b |
//d2 = | y_v1 y_v2b-y_v1b |
d = (x_v1*(-y_v2))-((-x_v2)*y_v1) ;
d1 = ((x_v2b-x_v1b)*(-y_v2))-((-x_v2)*(y_v2b-y_v1b)) ;
d2 = (x_v1*(y_v2b-y_v1b))-((x_v2b-x_v1b)*y_v1) ;
// 判斷d是否為零
if( abs(d) < 0.001f ) // 如果等于零做近似處理,abs()用于求絕對(duì)值
d = 0.001f ;
// 計(jì)算參量s,t
s = d1/d ;
t = d2/d ;
// 判斷是否發(fā)生碰撞
// 如果發(fā)生了就返回true
if( 0.0f <= s && 1.0f >= s && 0.0f <= t && 1.0f >= t )
return true ;
} // for( int i = 0 ; i < 8-1 ; ++i )
// 沒有發(fā)生碰撞，返回false
return false ;
} // end of function
// 現(xiàn)在對(duì)函數(shù)做測(cè)試
// 初始化質(zhì)點(diǎn)
x = 10.0f , y = 8.0f ;
vx = vy = (float)(rand()%4+1) ;
// 進(jìn)入主循環(huán)中
// 假設(shè)現(xiàn)在已經(jīng)在主循環(huán)中
if( CollisionTest() ) { // 如果物體與質(zhì)點(diǎn)發(fā)生碰撞
x = 10.0f , y = 8.0f ;
vx = vy = (float)(rand()%4+1) ;
}
// 質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)
x+=vx ;
y+=vy ;
現(xiàn)在你就可以結(jié)合上次的討論模擬一個(gè)完整的理想物理情景：一個(gè)物體在不規(guī)則障礙中移動(dòng)、反彈，永不停息...除非...
至此為止我們討論了2-D游戲的障礙碰撞檢測(cè)以及它的編程實(shí)現(xiàn)，在此過程中涉及到了線性代數(shù)學(xué)的知識(shí)，以后隨著深入還會(huì)不斷的加入更多的數(shù)學(xué)、物理知識(shí)。
<4>2-D物體間的碰撞響應(yīng)
這次我要分析兩個(gè)球體之間的碰撞響應(yīng)，這樣我們就可以結(jié)合以前的知識(shí)來編寫一款最基本的2-D臺(tái)球游戲了，雖然粗糙了點(diǎn)，但卻是個(gè)很好的開始，對(duì)嗎？
一、初步分析
中學(xué)時(shí)候上物理課能夠認(rèn)真聽講的人（我？哦，不包括我）應(yīng)該很熟悉的記得：當(dāng)兩個(gè)球體在一個(gè)理想環(huán)境下相撞之后，它們的總動(dòng)量保持不變，它們的總機(jī)械能也守恒。但這個(gè)理想環(huán)境是什么樣的呢？理想環(huán)境會(huì)不會(huì)影響游戲的真實(shí)性？對(duì)于前者我們做出在碰撞過程中理想環(huán)境的假設(shè)：
1）首先我們要排除兩個(gè)碰撞球相互作用之外的力，也就是假設(shè)沒有外力作用于碰撞系統(tǒng)。
2）假設(shè)碰撞系統(tǒng)與外界沒有能量交換。
3）兩個(gè)球體相互作用的時(shí)間極短，且相互作用的內(nèi)力很大。
有了這樣的假設(shè)，我們就可以使用動(dòng)量守恒和動(dòng)能守恒定律來處理它們之間的速度關(guān)系了，因?yàn)?）確保沒有外力參與，碰撞系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)量守恒，我們就可以使用動(dòng)量守恒定律。2）保證了我們的碰撞系統(tǒng)的總能量不會(huì)改變，我們就可以使用動(dòng)能守恒定律。3）兩球發(fā)生完全彈性碰撞，不會(huì)粘在一起，沒有動(dòng)量、能量損失。
而對(duì)于剛才的第二個(gè)問題，我的回答是不會(huì)，經(jīng)驗(yàn)告訴我們，理想環(huán)境的模擬看起來也是很真實(shí)的。除非你是在進(jìn)行科學(xué)研究，否則完全可以這樣理想的去模擬。
現(xiàn)在，我們可以通過方程來觀察碰撞前后兩球的速度關(guān)系。當(dāng)兩球球心移動(dòng)方向共線(1-D處理)時(shí)的速度，或不共線(2-D處理)時(shí)共線方向的速度分量滿足：
(1)m1 * v1 + m2 * v2 = m1 * v1' + m2 * v2' （動(dòng)量守恒定律）
(2)1/2 * m1 * v1^2 + 1/2 * m2 * v2^2 = 1/2 * m1 * v1'^2 + 1/2 * m2 * v2'^2 （動(dòng)能守恒定律）
這里m1和m2是兩球的質(zhì)量，是給定的，v1和v2是兩球的初速度也是我們已知的，v1'和v2'是兩球的末速度，是我們要求的。好，現(xiàn)在我們要推導(dǎo)出v1'和v2'的表達(dá)式：
由(1)，得到v1' = (m1 * v1 + m2 * v2 - m2 * v2') / m1，代入(2)，得
1/2 * m1 * v1^2 + 1/2 * m2 * v2^2 = 1/2 * m1 * (m1 * v1 + m2 * v2 - m2 * v2')^2 + 1/2 * m2 * v2'^2
=> v2' = (2 * m2 * v1 + v2 * (m1 - m2)) / (m1 + m2)，則
=> v1' = (2 * m1 * v2 + v1 * (m1 - m2)) / (m1 + m2)
我們現(xiàn)在得到的公式可以用于處理當(dāng)兩球球心移動(dòng)方向共線(1-D處理)時(shí)的速度關(guān)系，或者不共線(2-D處理)時(shí)共線方向的速度分量的關(guān)系。不管是前者還是后者，我們都需要把它們的速度分解到同一個(gè)軸上才能應(yīng)用上述公式進(jìn)行處理。
二、深入分析
首先我要說明一件事情：當(dāng)兩球碰撞時(shí)，它們的速度可以分解為球心連線方向的分速度和碰撞點(diǎn)切線方向的分速度。而由于它們之間相互作用的力只是在切點(diǎn)上，也就是球心連線方向上，因此我們只用處理這個(gè)方向上的力。而在切線方向上，它們不存在相互作用的力，而且在理想環(huán)境下也沒有外力，因此這個(gè)方向上的力在碰撞前后都不變，因此不處理。好，知道了這件事情之后，我們就知道該如何把兩球的速度分解到同一個(gè)軸上進(jìn)行處理。
現(xiàn)在看上面的分析圖，s和t是我們根據(jù)兩個(gè)相碰球m1和m2的位置建立的輔助軸，我們一會(huì)就將把速度投影到它們上面。v1和v2分別是m1和m2的初速度，v1'和v2'是它們碰撞后的末速度，也就是我們要求的。s'是兩球球心的位置向量，t'是它的逆時(shí)針正交向量。s1是s'的單位向量，t1是t'的單位向量。
我們的思路是這樣的：首先我們假設(shè)兩球已經(jīng)相碰（在程序中可以通過計(jì)算兩球球心之間的距離來判斷）。接下來我們計(jì)算一下s'和t'，注意s'和t'的方向正反無所謂（一會(huì)將解釋），現(xiàn)在設(shè)m1球心為(m1x, m1y)，m2球心為(m2x, m2y)，則s'為(m1x-m2x, m1y-m2y)，t'為（m2y-m1y, m1x-m2x)(第一篇的知識(shí)）。
則設(shè)
sM = sqrt((m1x-m2x)^2+(m1y-m2y)^2)，
tM = sqrt((m2y-m1y)^2+(m1x-m2x)^2)，有
s1 = ((m1x-m2x)/sM, (m1y-m2y)/sM) = (s1x, s1y)
t1 = ((m2y-m1y)/tM, (m1x-m2x)/tM) = (t1x, t1y)
現(xiàn)在s和t軸的單位向量已經(jīng)求出了，我們根據(jù)向量點(diǎn)乘的幾何意義，計(jì)算v1和v2在s1和t1方向上的投影值，然后將s軸上投影值代
入公式來計(jì)算s方向碰撞后的速度。注意，根據(jù)剛才的說明，t方向的速度不計(jì)算，因?yàn)闆]有相互作用的力，因此，t方向的分速度不變。所以我們要做的就是：把v1投影到s和t方向上，再把v2投影到s和t方向上，用公式分別計(jì)算v1和v2在s方向上的投影的末速度，然后把得到的末速度在和原來v1和v2在t方向上的投影速度再合成，從而算出v1'和v2'。好，我們接著這個(gè)思路做下去：
先算v1（v1x, v1y)在s和t軸的投影值，分別設(shè)為v1s和v1t：
v1s = v1.s1
=> v1s = v1x * s1x + v1y * s1y
v1t = v1.t1
=> v1t = v1x * t1x + v1y * t1y
再算v2（v2x, v2y)在s和t軸的投影值，分別設(shè)為v2s和v2t：
v2s = v2.s1
=> v2s = v2x * s1x + v2y * s1y
v2t = v2.t1
=> v2t = v2x * t1x + v2y * t1y
接下來用公式
v1' = (2 * m1 * v2 + v1 * (m1 - m2)) / (m1 + m2)
v2' = (2 * m2 * v1 + v2 * (m1 - m2)) / (m1 + m2)
計(jì)算v1s和v2s的末值v1s'和v2s'，重申v1t和v2t不改變：
假設(shè)m1 = m2 = 1
v1s' = （2 * 1 * v2s + v1s * (1 - 1)) / (1 + 1)
v2s' = （2 * 1 * v1s + v2s * (1 - 1)) / (1 + 1)
=> v1s' = v2s
=> v2s' = v1s
好，下一步，將v1s'和v1t再合成得到v1'，將v2s'和v2t再合成得到v2',我們用向量和來做：
首先求出v1t和v2t在t軸的向量v1t'和v2t'（將數(shù)值變?yōu)橄蛄浚?/font>
v1t' = v1t * t1 = (v1t * t1x, v1t * t1y)
v2t' = v2t * t1 = (v2t * t1x, v2t * t1y)
再求出v1s'和v2s'在s軸的向量v1s'和v2s'（將數(shù)值變?yōu)橄蛄浚?strong>
v1s'= v1s' * s1 = (v1s' * s1x, v1s' * s1y)
v2s'= v2s' * s1 = (v2s' * s2x, v2s' * s2y)
最后，合成，得
v1' = v1t' + v1s' = (v1t * t1x + v1s' * s1x, v1t * t1y + v1s' * s1y)
v2' = v2t' + v2s' = (v2t * t1x + v2s' * s2x, v2t * t1y + v2s' * s2y)
從而就求出了v1'和v2'。下面解釋為什么說s'和t'的方向正反無所謂：不論我們?cè)谟?jì)算s'時(shí)使用m1的球心坐標(biāo)減去m2的球心坐標(biāo)還是相反的相減順序，由于兩球的初速度的向量必有一個(gè)和s1是夾角大于90度小于270度的，而另外一個(gè)與s1的夾角在0度和90度之間或者說在270度到360度之間，則根據(jù)向量點(diǎn)積的定義|a|*|b|*cosA，計(jì)算的到的兩個(gè)投影值一個(gè)為負(fù)另一個(gè)為正，也就是說，速度方向相反，這樣就可以用上面的公式區(qū)求得末速度了。同時(shí)，求出的末速度也是方向相反的，從而在轉(zhuǎn)換為v1s'和v2s'時(shí)也是正確的方向。同樣的，求t'既可以是用s'逆時(shí)針90度得到也可以是順時(shí)針90度得到。
三、編寫代碼
按照慣例，該編寫代碼了，其實(shí)編寫的代碼和上面的推導(dǎo)過程極為相似。但為了完整，我還是打算寫出來。
// 用于球體碰撞響應(yīng)的函數(shù)，其中v1a和v2a為兩球的初速度向量，
// v1f和v2f是兩球的末速度向量。
// m1和m2是兩球的位置向量
// s'的分量為(sx, sy)，t'的分量為（tx, ty)
// s1是s的單位向量，分量為（s1x, s1y)
// t1是t的單位向量，分量為(t1x, t1y)
void Ball_Collision(v1a, v2a, &v1f, &v2f, m1, m2){
// 求出s'
double sx = m1.x - m2.x ;
double sy = m1.y - m2.y ;
// 求出s1
double s1x = sx / sqrt(sx*sx + sy*sy) ;
double s1y = sy / sqrt(sx*sx + sy*sy) ;
// 求出t'
double tx = -sy ;
double ty = sx ;
// 求出t1
double t1x = tx / sqrt(tx*tx + ty*ty) ;
double t1y = ty / sqrt(tx*tx + ty*ty) ;
// 求v1a在s1上的投影v1s
double v1s = v1a.x * s1x + v1a.y * s1y ;
// 求v1a在t1上的投影v1t
double v1t = v1a.x * t1x + v1a.y * t1y ;
// 求v2a在s1上的投影v2s
double v2s = v2a.x * s1x + v2a.y * s1y ;
// 求v2a在t1上的投影v2t
double v2t = v2a.x * t1x + v2a.y * t1y ;
// 用公式求出v1sf和v2sf
double v1sf = v2s ;
double v2sf = v1s ;
// 最后一步，注意這里我們簡(jiǎn)化一下，直接將v1sf,v1t和v2sf,v2t投影到x，y軸上，也就是v1'和v2'在x,y軸上的分量
// 先將v1sf和v1t轉(zhuǎn)化為向量
double nsx = v1sf * s1x ;
double nsy = v1sf * s1y ;
double ntx = v1t * t1x ;
double nty = v1t * t1y ;
// 投影到x軸和y軸
// x軸單位向量為(1,0)，y軸為(0,1)
// v1f.x = 1.0 * (nsx * 1.0 + nsy * 0.0) ;
// v1f.y = 1.0 * (nsx * 0.0 + nsy * 1.0) ;
// v1f.x+= 1.0 * (ntx * 1.0 + nty * 0.0) ;
// v1f.y+= 1.0 * (ntx * 0.0 + nty * 1.0) ;
v1f.x = nsx + ntx ;
v1f.y = nsy + nty ;
// 然后將v2sf和v2t轉(zhuǎn)化為向量
nsx = v2sf * s1x ;
nsy = v2sf * s1y ;
ntx = v2t * t1x ;
nty = v2t * t1y ;
// 投影到x軸和y軸
// x軸單位向量為(1,0)，y軸為(0,1)
// v2f.x = 1.0 * (nsx * 1.0 + nsy * 0.0) ;
// v2f.y = 1.0 * (nsx * 0.0 + nsy * 1.0) ;
// v2f.x+= 1.0 * (ntx * 1.0 + nty * 0.0) ;
// v2f.y+= 1.0 * (ntx * 0.0 + nty * 1.0) ;
v2f.x = nsx + ntx ;
v2f.y = nsy + nty ;
}// end of function
呼~~是不是感覺有點(diǎn)亂阿？不管怎么樣，我有這種感覺。但我們確實(shí)完成了它。希望你能夠理解這個(gè)計(jì)算的過程，你完全可以依照這個(gè)過程自己編寫更高效的代碼，讓它看上去更清楚：）至此位置，我們已經(jīng)掌握了編寫一個(gè)臺(tái)球游戲的基本知識(shí)了，Let's make it!
事實(shí)上，一切才剛剛起步，我們還有很多沒有解決的問題，比如旋轉(zhuǎn)問題，擊球的角度問題等等，你還會(huì)深入的研究一下，對(duì)嗎？一旦你有了目標(biāo)，堅(jiān)持下去，保持激情，總會(huì)有成功的一天：）這次就到這里，下次我們接著研究，Bye for now~~
<5>物體的旋轉(zhuǎn)
歡迎回來這里！此次我們要討論向量的旋轉(zhuǎn)問題，包括平面繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)和空間繞軸旋轉(zhuǎn)兩部分。對(duì)于游戲程序員來說，有了向量的旋轉(zhuǎn)，就代表有了操縱游戲中物體旋轉(zhuǎn)的鑰匙，而不論它是一個(gè)平面精靈還是一組空間的網(wǎng)格體亦或是我們放在3-D世界某一點(diǎn)的相機(jī)。我們?nèi)孕杞柚蛄縼硗瓿晌覀兇舜蔚穆贸蹋@還不夠，我們還需要一個(gè)朋友，就是矩陣，一個(gè)我們用來對(duì)向量進(jìn)行線性變換的GooL GuY。就像我們剛剛提及向量時(shí)所做的一樣，我們來復(fù)習(xí)一下即將用到的數(shù)學(xué)知識(shí)。（這部分知識(shí)我只會(huì)一帶而過，因?yàn)槲覍阎攸c(diǎn)放在后面對(duì)旋轉(zhuǎn)問題的分析上）
一、矩陣的基本運(yùn)算及其性質(zhì)
對(duì)于3x3矩陣(也叫3x3方陣，行列數(shù)相等的矩陣也叫方陣）m和M，有
1、矩陣加減法
m +(-) M =
[a b c] [A B C] [a+(-)A b+(-)B c+(-)C]
[d e f] +(-) [D E F] = [d+(-)D e+(-)E f+(-)F]
[g h i] [G H I] [g+(-)G h+(-)H i+(-)I]
性質(zhì)：
1）結(jié)合律 m + (M + N) = (m + M) + N
2) 交換律 m + M = M + m
2、數(shù)量乘矩陣
k x M =
[A B C] [kxA kxB kxC]
k x [D E F] = [kxD kxE kxF]
[G H I] [kxG kxH kxI]
性質(zhì)：
k和l為常數(shù)
1) (k + l) x M = k x M + l x M
2) k x (m + M) = k x m + k x M
3) k x (l x M) = (k x l) x M
4) 1 x M = M
5) k x (m x M) = (k x m) x M = m x (k x M)
3、矩陣乘法
m x M =
[a b c] [A B C} [axA+bxD+cxG axB+bxE+cxH axC+bxF+cxI]
[d e f] x [D E F] = [dxA+exD+fxG dxB+exE+fxH dxC+exF+fxI]
[g h i] [G H I] [gxA+hxD+ixG gxB+hxE+ixH gxC+hxF+ixI]
可以看出，矩陣相乘可以進(jìn)行的條件是第一個(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)。
由矩陣乘法的定義看出，矩陣乘法不滿足交換率，即在一般情況下，m x M ！= M x m。
性質(zhì)：
1) 結(jié)合律 (m x M) x N = m x (M x N)
2) 乘法加法分配律 m x (M + N) = m x M + m x N ； (m + M) x N = m x N + M x N
4、矩陣的轉(zhuǎn)置
| m' = |
[a b c]' [a d g]
[d e f] = [b e h]
[g h i] [c f i ] |
性質(zhì):
1）(m x M)' = M' x m'
2）(m')' = m
3）(m + M)' = m' + M'
4）(k x M)' = k x M'
5、單位矩陣
[1 0 0]
E = [0 1 0] 稱為3級(jí)單位陣
[0 0 1]
性質(zhì)：對(duì)于任意3級(jí)矩陣M，有E x M = M ； M x E = M
6、矩陣的逆
如果3x3級(jí)方陣m，有m x M = M x m = E，這里E是3級(jí)單位陣，則可以說m是可逆的，它的逆矩陣為M，也記為m^-1。相反的，也可以說M是可逆的，逆矩陣為m，也記為M^-1。
性質(zhì)：
1) (m^-1)^-1 = m
2) (k x m)^-1 = 1/k x m^-1
3）(m')^-1 = (m^-1)'
4) (m x M)^-1 = M^-1 x n^-1
矩陣求逆有幾種算法，這里不深入研究，當(dāng)我們用到的時(shí)候在討論。
在我們建立了矩陣的概念之后，就可以用它來做坐標(biāo)的線性變換。好，現(xiàn)在我們開始來使用它。
二、基礎(chǔ)的2-D繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)
首先是簡(jiǎn)單的2-D向量的旋轉(zhuǎn),以它為基礎(chǔ)，我們會(huì)深入到復(fù)雜的3-D旋轉(zhuǎn)，最后使我們可以在3-D中無所不能的任意旋轉(zhuǎn)。
在2-D的迪卡爾坐標(biāo)系中，一個(gè)位置向量的旋轉(zhuǎn)公式可以由三角函數(shù)的幾何意義推出。比如上圖所示是位置向量R逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度B前后的情況。在左圖中，我們有關(guān)系：
x0 = |R| * cosA
y0 = |R| * sinA
=>
cosA = x0 / |R|
sinA = y0 / |R|
在右圖中，我們有關(guān)系：
x1 = |R| * cos(A+B)
y1 = |R| * sin(A+B)
其中(x1, y1)就是(x0, y0)旋轉(zhuǎn)角B后得到的點(diǎn)，也就是位置向量R最后指向的點(diǎn)。我們展開cos(A+B)和sin(A+B)，得到
x1 = |R| * (cosAcosB - sinAsinB)
y1 = |R| * (sinAcosB + cosAsinB)
現(xiàn)在把
cosA = x0 / |R|
sinA = y0 / |R|
代入上面的式子，得到
x1 = |R| * (x0 * cosB / |R| - y0 * sinB / |R|)
y1 = |R| * (y0 * cosB / |R| + x0 * sinB / |R|)
=>
x1 = x0 * cosB - y0 * sinB
y1 = x0 * sinB + y0 * cosB
這樣我們就得到了2-D迪卡爾坐標(biāo)下向量圍繞圓點(diǎn)的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)公式。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)就把角度變?yōu)樨?fù)：
x1 = x0 * cos(-B) - y0 * sin(-B)
y1 = x0 * sin(-B) + y0 * cos(-B)
=>
x1 = x0 * cosB + y0 * sinB
y1 = -x0 * sinB + y0 * cosB
現(xiàn)在我要把這個(gè)旋轉(zhuǎn)公式寫成矩陣的形式，有一個(gè)概念我簡(jiǎn)單提一下，平面或空間里的每個(gè)線性變換（這里就是旋轉(zhuǎn)變換）都對(duì)應(yīng)一個(gè)矩陣，叫做變換矩陣。對(duì)一個(gè)點(diǎn)實(shí)施線性變換就是通過乘上該線性變換的矩陣完成的。好了，打住，不然就跑題了。
所以2-D旋轉(zhuǎn)變換矩陣就是:
[cosA sinA] [cosA -sinA]
[-sinA cosA] 或者 [sinA cosA]
我們對(duì)點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換可以通過矩陣完成，比如我要點(diǎn)(x, y)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)：
[cosA sinA]
[x, y] x [-sinA cosA] = [x*cosA-y*sinA x*sinA+y*cosA]
為了編程方便，我們把它寫成兩個(gè)方陣
[x, y] [cosA sinA] [x*cosA-y*sinA x*sinA+y*cosA]
[0, 0] x [-sinA cosA] = [0 0 ]
也可以寫成
[cosA -sinA] [x 0] [x*cosA-y*sinA 0]
[sinA cosA] x [y 0] = [x*sinA+y*cosA 0]
三、2-D的繞任一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)
下面我們深入一些，思考另一種情況：求一個(gè)點(diǎn)圍繞任一個(gè)非原點(diǎn)的中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。
我們剛剛導(dǎo)出的公式是圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的公式，所以我們要想繼續(xù)使用它，就要把想要圍繞的那個(gè)非原點(diǎn)的中心點(diǎn)移動(dòng)到原點(diǎn)上來。按照這個(gè)思路，我們先將該中心點(diǎn)通過一個(gè)位移向量移動(dòng)到原點(diǎn)，而圍繞點(diǎn)要保持與中心點(diǎn)相對(duì)位置不變，也相應(yīng)的按照這個(gè)位移向量位移，此時(shí)由于中心點(diǎn)已經(jīng)移動(dòng)到了圓點(diǎn)，就可以讓同樣位移后的圍繞點(diǎn)使用上面的公式來計(jì)算旋轉(zhuǎn)后的位置了，計(jì)算完后，再讓計(jì)算出的點(diǎn)按剛才的位移向量 逆 位移，就得到圍繞點(diǎn)繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后的新位置了。看下面的圖
現(xiàn)在求左下方的藍(lán)色點(diǎn)圍繞紅色點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后的新位置。由于紅色點(diǎn)不在原點(diǎn)，所以可以通過紅色向量把它移動(dòng)到原點(diǎn)，此時(shí)藍(lán)色的點(diǎn)也按照這個(gè)向量移動(dòng)，可見，紅色和藍(lán)色點(diǎn)的相對(duì)位置沒有變。現(xiàn)在紅色點(diǎn)在原點(diǎn)，藍(lán)色點(diǎn)可以用上面旋轉(zhuǎn)變換矩陣進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)在通過紅色向量的的逆向量回到它實(shí)際圍繞下方紅色點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的位置。
在這個(gè)過程中，我們對(duì)圍繞點(diǎn)進(jìn)行了三次線性變換：位移變換-旋轉(zhuǎn)變換-位移變換，我們把它寫成矩陣形式：
設(shè)紅色向量為(rtx, rty)
[x y 1] [1 0 0] [cosA sinA 0] [1 0 0] [x' y' -]
[0 1 0] x [0 1 0] x [-sinA cosA 0] x [0 1 0] = [- - -]
[0 0 1] [rtx rty 1] [0 0 1] [-rtx -rty 1] [- - -]
最后得到的矩陣的x'和y'就是我們旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)坐標(biāo)。
注意到矩陣乘法滿足結(jié)合律：(m x M) x N = m x (M x N)，我們可以先將所有的變換矩陣乘在一起，即
[1 0 0] [cosA sinA 0] [1 0 0]
M = [0 1 0] x [-sinA cosA 0] x [0 1 0]
[rtx rty 1] [0 0 1] [-rtx -rty 1]
然后再讓
[x y 1]
[0 1 0] x M
[0 0 1]
像這樣歸并變換矩陣是矩陣運(yùn)算一個(gè)常用的方法，因?yàn)楫?dāng)把諸多變換矩陣歸并為一個(gè)矩陣之后，對(duì)某點(diǎn)或向量的重復(fù)變換只需要乘一個(gè)矩陣就可以完成，減少了計(jì)算的開銷。
本小節(jié)討論的這種“其他變換-繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換-其他變換”的思想很重要，因?yàn)橛袝r(shí)候復(fù)雜一些的旋轉(zhuǎn)變換不可能一步完成，必須使用這種旁敲側(cè)擊、化繁為簡(jiǎn)的方法，尤其是在3-D空間中，可能需要在真正做規(guī)定度數(shù)的旋轉(zhuǎn)前還要做一些其他必要旋轉(zhuǎn)變換，也就是要做很多次的旋轉(zhuǎn)，但總體的思想還是為了把復(fù)雜的問題分成若干簡(jiǎn)單的問題去解決，而每一個(gè)簡(jiǎn)單問題都需要一個(gè)變換矩陣來完成，所以希望讀者深入思考一下這種方法。
好，2-D的旋轉(zhuǎn)探討完畢。接下來，我們進(jìn)入3-D空間，討論更為復(fù)雜一些的旋轉(zhuǎn)。Here We Go!
四、基礎(chǔ)的3-D繞坐標(biāo)軸方向旋轉(zhuǎn)
就像2-D繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一樣，3-D的繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)是3-D旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)，因?yàn)槠渌麖?fù)雜的3-D旋轉(zhuǎn)最后都會(huì)化簡(jiǎn)為繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)。其實(shí)，剛才我們推導(dǎo)出的在xoy坐標(biāo)面繞o旋轉(zhuǎn)的公式可以很容易的推廣到3-D空間中，因?yàn)樵?-D直角坐標(biāo)系中，三個(gè)坐標(biāo)軸兩兩正交，所以z軸垂直于xoy面，這樣，在xoy面繞o點(diǎn)旋轉(zhuǎn)實(shí)際上在3-D空間中就是圍繞z軸旋轉(zhuǎn)，如下圖左所示：
這張圖描述了左手系中某點(diǎn)在xoy、yoz、xoz面上圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的情況，同時(shí)也是分別圍繞z、x、y坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)。可見在3-D空間中繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)相當(dāng)于在相應(yīng)的2-D平面中圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。我們用矩陣來說明：
設(shè)p(x, y, z）是3-D空間中的一點(diǎn)，也可以說是一個(gè)位置向量，當(dāng)以上圖中的坐標(biāo)為準(zhǔn)，p點(diǎn)所圍繞的中心軸指向你的屏幕之外時(shí)，有
p繞z軸逆時(shí)針和順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度A分別寫成：
[x y z 1] [cosA -sinA 0 0] [x y z 1] [cosA sinA 0 0]
[0 1 0 0] x [sinA cosA 0 0] 和 [0 1 0 0] x [-sinA cosA 0 0]
[0 0 1 0] [0 0 1 0] [0 0 1 0] [0 0 1 0]
[0 0 0 1] [0 0 0 1] [0 0 0 1] [0 0 0 1]
p繞x軸逆時(shí)針和順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度A分別寫成：
[x y z 1] [1 0 0 0] [x y z 1] [1 0 0 0]
[0 1 0 0] x [0 cos -sinA 0] 和 [0 1 0 0] x [0 cosA sinA 0]
[0 0 1 0] [0 sin cosA 0] [0 0 1 0] [0 -sinA cosA 0]
[0 0 0 1] [0 0 0 1] [0 0 0 1] [0 0 0 1]
p繞y軸逆時(shí)針和順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度A分別寫成：
[x y z 1] [cosA 0 sinA 0] [x y z 1] [cosA 0 -sinA 0]
[0 1 0 0] x [0 1 0 0] 和 [0 1 0 0] x [0 1 0 0]
[0 0 1 0] [-sinA 0 cosA 0] [0 0 1 0] [sinA 0 cosA 0]
[0 0 0 1] [0 0 0 1] [0 0 0 1] [0 0 0 1]
以后我們會(huì)把它們寫成這樣的標(biāo)準(zhǔn)4x4方陣形式，Why？為了便于做平移變換，還記得上小節(jié)做平移時(shí)我們把2x2方陣寫為3x3方陣嗎？
讓我們繼續(xù)研究。我們?cè)侔呀Y(jié)論推廣一點(diǎn)，讓它適用于所有和坐標(biāo)軸平行的軸，具體一點(diǎn)，讓它適用于所有和y軸平行的軸。
這個(gè)我們很快可以想到，可以按照2-D的方法“平移變換-旋轉(zhuǎn)變換-平移變換”來做到，看下圖
要實(shí)現(xiàn)point繞axis旋轉(zhuǎn)，我們把a(bǔ)xis按照一個(gè)位移向量移動(dòng)到和y軸重合的位置，也就是變換為axis'，為了保持point和axis的相對(duì)位置不變,point也通過相同的位移向量做相應(yīng)的位移。好，現(xiàn)在移動(dòng)后的point就可以用上面的旋轉(zhuǎn)矩陣圍繞axis'也就是y軸旋轉(zhuǎn)了，旋轉(zhuǎn)后用相反的位移向量位移到實(shí)際圍繞axis相應(yīng)度數(shù)的位置。我們還是用矩陣來說明：
假設(shè)axis為x = s, z = t，要point(x, y, z)圍繞它逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度數(shù)A，按照“平移變換-旋轉(zhuǎn)變換-位移變換”，我們有
[x y z 1] [1 0 0 0] [cosA 0 sinA 0] [1 0 0 0] [x' y z' -]
[0 1 0 0] [0 1 0 0] [0 1 0 0] [0 1 0 0] [- - - -]
[0 0 1 0] x [0 0 1 0] x [-sinA 0 cosA 0] x [0 0 1 0] = [- - - -]
[0 0 0 1] [-s 0 -t 1] [0 0 0 1] [s 0 t 1] [- - - -]
則得到的(x', y, z')就是point圍繞axis旋轉(zhuǎn)角A后的位置。
同理，平行于x軸且圍繞軸y=s,z=t逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角A的變換為
[x y z 1] [1 0 0 0] [1 0 0 0] [1 0 0 0] [x y' z' -]
[0 1 0 0] [0 1 0 0] [0 cosA -sinA 0] [0 1 0 0] [- - - -]
[0 0 1 0] x [0 0 1 0] x [0 sinA cosA 0] x [0 0 1 0] = [- - - -]
[0 0 0 1] [0 -s -t 1] [0 0 0 1] [0 s t 1] [- - - -]
平行于z軸且圍繞軸x=s,y=t逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角A的變換為
[x y z 1] [1 0 0 0] [cosA -sinA 0 0] [1 0 0 0] [x' y' z -]
[0 1 0 0] [0 1 0 0] [sinA cosA 0 0] [0 1 0 0] [- - - -]
[0 0 1 0] x [0 0 1 0] x [0 0 1 0] x [0 0 1 0] = [- - - -]
[0 0 0 1] [-s -t 0 1] [0 0 0 1] [s t 0 1] [- - - -]
逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)就把上面推出的相應(yīng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)變換矩陣帶入即可。至此我們已經(jīng)討論了3-D空間基本旋轉(zhuǎn)的全部，接下來的一小節(jié)是我們3-D旋轉(zhuǎn)部分的重頭戲，也是3-D中功能最強(qiáng)大的旋轉(zhuǎn)變換。
五、3-D繞任意軸的旋轉(zhuǎn)
Wow!終于來到了最后一部分，這一節(jié)我們將綜合運(yùn)用上面涉及到的所有旋轉(zhuǎn)知識(shí)，完成空間一點(diǎn)或著說位置向量圍繞空間任意方向旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)變換（我在下面介紹的一種方法是一個(gè)稍微繁瑣一點(diǎn)的方法，大體上看是利用幾個(gè)基本旋轉(zhuǎn)的綜合。我將在下一篇中介紹一個(gè)高檔一些的方法）。
何謂任意方向的旋轉(zhuǎn)軸呢？其實(shí)就是空間一條直線。在空間解析幾何中，決定空間直線位置的兩個(gè)值是直線上一點(diǎn)以及直線的方向向量。在旋轉(zhuǎn)中，我們把這個(gè)直線稱為一個(gè)旋轉(zhuǎn)軸，因此，直線的這個(gè)方向向量我們叫它軸向量，它類似于3-D動(dòng)畫中四元數(shù)的軸向量。我們?cè)趯?shí)際旋轉(zhuǎn)之前的變換矩陣需要通過把這個(gè)軸向量移動(dòng)到原點(diǎn)來獲得。
我們先討論旋轉(zhuǎn)軸通過原點(diǎn)的情況。目前為止對(duì)于3-D空間中的旋轉(zhuǎn)，我們可以做的只是繞坐標(biāo)軸方向的旋轉(zhuǎn)。因此，當(dāng)我們考慮非坐標(biāo)軸方向旋轉(zhuǎn)的時(shí)候，很自然的想到，可以將這個(gè)旋轉(zhuǎn)軸通過變換與某一個(gè)坐標(biāo)軸重合，同時(shí)，為了保持旋轉(zhuǎn)點(diǎn)和這個(gè)旋轉(zhuǎn)軸相對(duì)位置不變，旋轉(zhuǎn)點(diǎn)也做相應(yīng)的變換，然后，讓旋轉(zhuǎn)點(diǎn)圍繞相應(yīng)旋轉(zhuǎn)軸重合的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，最后將旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)以及旋轉(zhuǎn)軸逆變換回原來的位置，此時(shí)就完成了一點(diǎn)圍繞這個(gè)非坐標(biāo)軸方向旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)。我們?cè)賮砜磮D分析。
圖中有一個(gè)紅色的分量為(x0, y0, z0)的軸向量，此外有一個(gè)藍(lán)色位置向量圍繞它旋轉(zhuǎn)，由于這個(gè)軸向量沒有與任何一個(gè)坐標(biāo)軸平行，我們沒有辦法使用上面推導(dǎo)出的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，因此必須將該軸變換到一個(gè)坐標(biāo)軸上，這里我們選擇了z軸。在變換紅色軸的同時(shí)，為了保持藍(lán)色位置向量同該軸的相對(duì)位置不變，也做相應(yīng)的變換，然后就出現(xiàn)中圖描述的情況。接著我們就用可以用變換矩陣來圍繞z軸旋轉(zhuǎn)藍(lán)色向量相應(yīng)的度數(shù)。旋轉(zhuǎn)完畢后，再用剛才變換的逆變換把兩個(gè)向量相對(duì)位置不變地還原到初始位置，此時(shí)就完成了一個(gè)點(diǎn)圍繞任意過原點(diǎn)的軸的旋轉(zhuǎn)，對(duì)于不過原點(diǎn)的軸我們?nèi)匀挥?#8220;位移變換-旋轉(zhuǎn)變換-位移變換”的方法，一會(huì)討論。
在理解了基本思路之后，我們來研究一下變換吧！我們就按上圖將紅色軸變到z軸上，開始吧！
首先我們假設(shè)紅軸向量是一個(gè)單位向量，因?yàn)檫@樣在一會(huì)求sin和cos時(shí)可以簡(jiǎn)化計(jì)算，在實(shí)際編程時(shí)可以先將軸向量標(biāo)準(zhǔn)化。然后我準(zhǔn)備分兩步把紅色軸變換到z軸上去:
1）將紅色軸變換到y(tǒng)oz平面上
2) 將yoz平面上的紅色軸變到z軸上
至于這兩個(gè)變換的方法...我實(shí)在沒有別的辦法了，只能夠旋轉(zhuǎn)了，你覺得呢？先把它旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)oz平面上。
我們?cè)O(shè)軸向量旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)oz面的變換為（繞z軸旋轉(zhuǎn)）：
[cosA sinA 0 0]
[-sinA cosA 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]
接著我們要求出cosA和sinA，由上圖，沿著z軸方向看去，我們看到旋轉(zhuǎn)軸向量到y(tǒng)oz面在xoy面就是將軸的投影向量旋轉(zhuǎn)角度A到y(tǒng)軸上，現(xiàn)在我不知道角度A，但是我們可以利用它直接求出cosA和sinA，因?yàn)槲覀冎狸P(guān)系：
cosA = y0 / 軸向量在xoy面的投影長(zhǎng)
sinA = x0 / 軸向量在xoy面的投影長(zhǎng)
我們?cè)O(shè)軸向量的投影長(zhǎng)為lr = sqrt(x0^2 + y0^2)，呵呵，現(xiàn)在，我們第一步的變換矩陣就出來了：
[y0/lr x0/lr 0 0]
[-x0/lr y0/lr 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]
同時(shí)我們得到逆變換矩陣：
[y0/lr -x0/lr 0 0]
[x0/lr y0/lr 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]
然后我們進(jìn)行第二步：將yoz平面上的紅色軸變到z軸上。我們的變換矩陣是（繞x軸旋轉(zhuǎn)）：
[1 0 0 0]
[0 cosB sinB 0]
[0 -sinB cosB 0]
[0 0 0 1]
由圖，這是經(jīng)第一次旋轉(zhuǎn)后的軸向量在yoz面中的情形，此次我們要求出上面變換中的cosB和sinB，我們?nèi)圆恢澜嵌菳，但我們還是可以利用它求cosB和sinB。由于第一次旋轉(zhuǎn)是圍繞z軸，所以軸向量的z分量沒有變，還是z0。此外，軸向量現(xiàn)在的y分量和原來不同了，我們?cè)倏匆幌碌谝淮巫儞Q那張圖，可以發(fā)現(xiàn)軸向量在旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)oz面后，y分量變成了剛才軸向量在xoy面上的投影長(zhǎng)lr了。Yes！我想是時(shí)候?qū)懗鯿osB和sinB了：
cosB = z0 / 軸向量的長(zhǎng)
sinB = lr / 軸向量的長(zhǎng)
還記得我們剛才假設(shè)軸向量是一個(gè)單位向量嗎？所以
cosB = z0
sinB = lr
至此我們的第二個(gè)變換就出來了：
[1 0 0 0]
[0 z0 lr 0]
[0 -lr z0 0]
[0 0 0 1]
相應(yīng)逆變換矩陣：
[1 0 0 0]
[0 z0 -lr 0]
[0 lr z0 0]
[0 0 0 1]
現(xiàn)在總結(jié)一下，我們對(duì)于空間任意點(diǎn)圍繞某個(gè)任意方向且過原點(diǎn)的軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣就是：
[y0/lr x0/lr 0 0] [1 0 0 0] [cosA sinA 0 0] [1 0 0 0] [y0/lr -x0/lr 0 0]
[-x0/lr y0/lr 0 0] [0 z0 lr 0] [-sinA cosA 0 0] [0 z0 -lr 0] [x0/lr y0/lr 0 0]
M = [0 0 1 0] x [0 -lr z0 0] x [0 0 1 0] x [0 lr z0 0] x [0 0 1 0]
[0 0 0 1] [0 0 0 1] [0 0 0 1] [0 0 0 1] [0 0 0 1]
上面的變換是“旋轉(zhuǎn)變換-旋轉(zhuǎn)變換-旋轉(zhuǎn)變換-旋轉(zhuǎn)變換-旋轉(zhuǎn)變換”的變換組。當(dāng)我們需要讓空間中的某個(gè)位置向量圍繞一個(gè)軸旋轉(zhuǎn)角度A的時(shí)候，就可以用這個(gè)向量相應(yīng)的矩陣乘上這個(gè)M，比如
[x y 0 0] [x' y' z' -]
[0 1 0 0] [- - - -]
[0 0 1 0] x M = [- - - -]
[0 0 0 1] [- - - -]
當(dāng)然，M中矩陣相應(yīng)的元素是根據(jù)軸向量得到的。
以上的變換矩陣是通過把軸向量變到z軸上得到的，而且是先旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)oz面上，然后再旋轉(zhuǎn)到z軸上。我們也可以不這樣做，而是先把軸向量旋轉(zhuǎn)到xoz面上，然后再旋轉(zhuǎn)到z軸上。此外，我們還可以把軸向量變到x或y軸上，這一點(diǎn)我們可以自己決定。雖然變換不同，但推導(dǎo)的道理是相同的，都是這種“其他變換-實(shí)際旋轉(zhuǎn)變換-其他變換”的滲透形式。
剛才分析的是旋轉(zhuǎn)軸過原點(diǎn)的情況，對(duì)于一般的旋轉(zhuǎn)軸，雖然我們也都是把它的軸向量放到原點(diǎn)來考慮，但我們不能只是讓旋轉(zhuǎn)點(diǎn)圍繞過原點(diǎn)的軸向量旋轉(zhuǎn)完就算完事，我們?nèi)孕枰捎?#8220;平移變換-旋轉(zhuǎn)變換-平移變換”方法。即先將旋轉(zhuǎn)軸平移到過原點(diǎn)方向，旋轉(zhuǎn)點(diǎn)也做相應(yīng)平移，接著按上面推出的變換陣旋轉(zhuǎn)，最后將旋轉(zhuǎn)軸和點(diǎn)逆平移回去。這里，我們只需在M的左右兩邊各加上一個(gè)平移變換即可。這個(gè)平移變換的元素是根據(jù)軸向量與原點(diǎn)之間的距離向量得到的，比如旋轉(zhuǎn)軸與原點(diǎn)的距離向量是(lx, ly, lz)，則我們的變換就變成
[1 0 0 0] [1 0 0 0]
[0 1 0 0] [0 1 0 0]
m = [0 0 1 0] x M x [0 0 1 0]
[-lx -ly -lz 1] [lx ly lz 1]
變換矩陣m就是全部7個(gè)變換矩陣的歸并，適用于各種旋轉(zhuǎn)情況。
我們現(xiàn)在已經(jīng)討論完了一般的2-D、3-D旋轉(zhuǎn)了。可以看出其基本的思想還是能夠化繁為簡(jiǎn)的變換、歸并。而實(shí)際的旋轉(zhuǎn)也仍是用我們最最基本的2-D繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)公式。其實(shí)還有很多的旋轉(zhuǎn)效果可以用我們上面的變換、公式稍加修改獲得。比如螺旋形旋轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)加前進(jìn)、隨機(jī)旋轉(zhuǎn)等等。下一篇將介紹一個(gè)用的最多的高檔一些的方法，下次見。
<6>3-D空間中的基變換與坐標(biāo)變換
一、空間坐標(biāo)系的基和基矩陣
在3-D空間中，我們用空間坐標(biāo)系來規(guī)范物體的位置，空間坐標(biāo)系由3個(gè)相互垂直的坐標(biāo)軸組成，我們就把它們作為我們觀察3-D空間的基礎(chǔ)，空間中物體的位置可以通過它們來衡量。當(dāng)我們把這3個(gè)坐標(biāo)軸上單位長(zhǎng)度的向量記為3個(gè)相互正交的單位向量i,j,k，空間中每一個(gè)點(diǎn)的位置都可以被這3個(gè)向量線性表出，如P<1,-2,3>這個(gè)點(diǎn)可以表為i-2j+3k。
我們把這3個(gè)正交的單位向量稱為空間坐標(biāo)系的基，它們單位長(zhǎng)度為1且正交，所以可以成為標(biāo)準(zhǔn)正交基。三個(gè)向量叫做基向量。現(xiàn)在我們用矩陣形式寫出基向量和基。
i = | 1 0 0 |
j = | 0 1 0 |
k = | 0 0 1 |
| i | | 1 0 0 |
B = | j | = | 0 1 0 |
| k | | 0 0 1 |
這樣的矩陣我們叫它基矩陣。有了基矩陣，我們就可以把空間坐標(biāo)系中的一個(gè)向量寫成坐標(biāo)乘上基矩陣的形式，比如上面的向量P可以寫成：
| P = C x B |
=> |
| 1 -2 3 | = |
| 1 -2 3 | x |
| 1 0 0 |
| 0 1 0 |
| 0 0 1 | |
這樣的話，空間坐標(biāo)系下的同一個(gè)向量在不同的基下的坐標(biāo)是不同的。
二、局部坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)
和空間坐標(biāo)系（也可以叫做全局坐標(biāo)系或者世界坐標(biāo)系）并存的稱為局部坐標(biāo)系（也叫坐標(biāo)架——coordinate frame），它有自己的基，這些基向量把空間坐標(biāo)系作為參考系。比如
| x'| | -1 0 0 |
B' = | y'| = | 0 1 0 |
| z'| | 0 0 -1 |
| x''| | 2^½ /2 0 2^½ /2 |
B'' = | y''| = | 0 -1 0 |
| z''| | -(2^½) /2 0 2^½ /2 |
就是兩個(gè)局部坐標(biāo)系的基，如圖:
現(xiàn)在我們可以把上面那個(gè)空間坐標(biāo)中的向量P|1 -2 3|（以后都用矩陣表示）表示在不同的基下，我把它寫成一個(gè)大長(zhǎng)串的式子：
| x' | | x''|
P = | Px' Py' Pz' | x | y' | = | Px'' Py'' Pz'' | x | y''|
| z' | | z''|
這里| Px' Py' Pz'|是P在B'下的坐標(biāo)，| Px'' Py'' Pz''|是P在B''下的坐標(biāo)，我把它寫的具體點(diǎn)吧：
| | 1 -2 3 | = | -1 -2 -3 | x |
| -1 0 0 |
| 0 1 0 |
| 0 0 -1 |
|
= | 2*2^½ -2 2^½ | x |
| 2^½ /2 0 2^½ /2|
| 0 -1 0 |
| -(2^½) /2 0 2^½ /2|
|
|
|
這就是說，在空間坐標(biāo)系下面的向量| 1 -2 3 |在基B'下的坐標(biāo)為|-1 -2 -3|，在B''下的坐標(biāo)為| 2*2^½ -2 2^½ |。當(dāng)然空間坐標(biāo)系也有自己的基B|i j k|^T（因?yàn)槭橇邢蛄浚詫懗尚邢蛄康霓D(zhuǎn)置），但我們現(xiàn)在是拿它當(dāng)作一個(gè)參考系。
在研究了局部坐標(biāo)系之后，我現(xiàn)在要分析兩個(gè)應(yīng)用它們的例子，先來看
三、空間坐標(biāo)系中一個(gè)點(diǎn)圍繞任一軸的旋轉(zhuǎn)
上一篇討論3-D空間旋轉(zhuǎn)的時(shí)候說到有一個(gè)高檔的方法做3-D空間任意軸旋轉(zhuǎn)，現(xiàn)在我們的知識(shí)儲(chǔ)備已經(jīng)足夠理解這個(gè)方法了(Quake引擎使用的就是這個(gè)方法)。
如上所示，空間坐標(biāo)系中的一個(gè)局部坐標(biāo)系xyz中有一個(gè)向量a(2,5,3)和一個(gè)點(diǎn)p(8,4,2)現(xiàn)在我要讓p點(diǎn)圍繞a向量旋轉(zhuǎn)60度，得到p’點(diǎn)，該如何做呢？從目前掌握的旋轉(zhuǎn)知識(shí)來看，我們有兩個(gè)理論基礎(chǔ)：
1）在一個(gè)坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)，如果要它圍繞該坐標(biāo)系中一個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，就給它的坐標(biāo)值乘相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣，如
[cosA -sinA 0 ]
[sinA cosA 0 ]
[0 0 1 ]
等等。
2）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了局部坐標(biāo)系的理論了，知道空間中一個(gè)點(diǎn)在不同的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)不同。利用這一點(diǎn)，我們可以很方便的讓一個(gè)點(diǎn)或者向量在不同的坐標(biāo)系之間轉(zhuǎn)換。
我們聯(lián)系這兩個(gè)理論根據(jù)，得出我們的思路：
1構(gòu)造另一個(gè)局部坐標(biāo)系abc，使得a成為該坐標(biāo)系的一個(gè)坐標(biāo)軸。
2 把p的坐標(biāo)變換到abc中，得到p’，用旋轉(zhuǎn)公式讓p’圍繞已經(jīng)成為坐標(biāo)軸的a旋轉(zhuǎn)，得到p’’。
3把p’’再變換回坐標(biāo)系xyz，得到p’’’，則p’’’就是p圍繞a旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)。
下面我們逐步說明。
首先我們構(gòu)造abc，我們有無數(shù)種方法構(gòu)造，因?yàn)橹灰ＷCb、c之間以及他們和a之間都正交就可以了，但我們只要一個(gè)。根據(jù)上圖，我們首先產(chǎn)生一個(gè)和a正交的b。這可以通過向量的叉乘來完成：我們?nèi)×硪粋€(gè)向量v（顯然，這個(gè)向量是不能和a共線的任何非零向量），讓它和a決定一個(gè)平面x，然后讓v叉乘a得到一個(gè)垂直于x的向量b，因?yàn)閎垂直于x，而a在平面x上，因此b一定垂直于a，然后用a叉乘b得到c，最后單位化a、b、c，這樣就得到了局部坐標(biāo)系abc。
然后我們把p點(diǎn)變換到abc坐標(biāo)系中，得到p’，即p’就是p在abc中的坐標(biāo)：
|a b c| * p’= |x y z| * p
p’ = |a b c|^-1 * |x y z| * p
|ax bx cx| |1 0 0| |px|
p’ = |ay by cy| ^-1 * |0 1 0| * |py|
|az bz cz| |0 0 1| |pz|
注意這里|a b c|^-1即矩陣|a b c|的逆矩陣，因?yàn)閍、b、c是三個(gè)正交向量，并且是單位向量，因此|a b c|是一個(gè)正交矩陣，正交矩陣的轉(zhuǎn)置和逆相等，這是它的一個(gè)特性，因此上面的公式就可以寫成:
|ax ay az| |1 0 0| |px|
p’ = |bx by bz| * |0 1 0| * |py|
|cx cy cz| |0 0 1| |pz|
這個(gè)時(shí)候p’就是p在abc坐標(biāo)系下的坐標(biāo)了。此時(shí)a已經(jīng)是一個(gè)坐標(biāo)軸了，我們可以用旋轉(zhuǎn)矩陣來做。
p’’ = RotMatrix * p’
[1 0 0] |p’x|
p’’ = [0 cos60 -sin60] * |p’y|
[0 sin60 cos60] |p’z|
最后，我們把p’’再次變換回xyz坐標(biāo)系，得到最終的p’’’
|a b c| * p’’ = |x y z| * p’’’
p’’’ = |x y z|^-1 * |a b c| * p’’
p’’’ = |a b c| * p’’
最后
p’’’ = |a b c| * RotMatrix * |a b c|^T * p = M * p
這樣就得到了xyz坐標(biāo)系中點(diǎn)p圍繞a旋轉(zhuǎn)60度后的點(diǎn)。
最后，我用Quake3引擎的相應(yīng)函數(shù)(來自idSoftware ——quake3-1[1].32b-source——mathlib.c)來完成對(duì)這個(gè)算法的說明：
/*
===============
RotatePointAroundVector
dst是一個(gè)float[3]，也就是p’’’
dir相當(dāng)于a，point就是p，degrees是旋轉(zhuǎn)度數(shù)
===============
*/
void RotatePointAroundVector( vec3_t dst, const vec3_t dir, const vec3_t point,
float degrees ) {
float m[3][3];
float im[3][3];
float zrot[3][3];
float tmpmat[3][3];
float rot[3][3];
int i;
vec3_t vr, vup, vf;
float rad;
vf[0] = dir[0];
vf[1] = dir[1];
vf[2] = dir[2];
// 首先通過dir得到一個(gè)和它垂直的vr
// PerpendicularVector()函數(shù)用于構(gòu)造和dir垂直的向量
// 也就是我們上面的第1步
PerpendicularVector( vr, dir );
// 通過cross multiply得到vup
// 現(xiàn)在已經(jīng)構(gòu)造出坐標(biāo)軸向量vr, vup, vf
CrossProduct( vr, vf, vup );
// 把這三個(gè)單位向量放入矩陣中
m[0][0] = vr[0];
m[1][0] = vr[1];
m[2][0] = vr[2];
m[0][1] = vup[0];
m[1][1] = vup[1];
m[2][1] = vup[2];
m[0][2] = vf[0];
m[1][2] = vf[1];
m[2][2] = vf[2];
// 產(chǎn)生轉(zhuǎn)置矩陣im
memcpy( im, m, sizeof( im ) );
im[0][1] = m[1][0];
im[0][2] = m[2][0];
im[1][0] = m[0][1];
im[1][2] = m[2][1];
im[2][0] = m[0][2];
im[2][1] = m[1][2];
// 構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣zrot
memset( zrot, 0, sizeof( zrot ) );
zrot[0][0] = zrot[1][1] = zrot[2][2] = 1.0F;
rad = DEG2RAD( degrees );
zrot[0][0] = cos( rad );
zrot[0][1] = sin( rad );
zrot[1][0] = -sin( rad );
zrot[1][1] = cos( rad );
// 開始構(gòu)造變換矩陣M
// tmpmat = m * zrot
MatrixMultiply( m, zrot, tmpmat );
// rot = m * zrot * im
MatrixMultiply( tmpmat, im, rot );
// 則 rot = m * zrot * im 和我們上面推出的
// M = |a b c| * RotMatrix * |a b c|^T 一致
// 變換point這個(gè)點(diǎn)
// p’’’ = M * p
for ( i = 0; i < 3; i++ ) {
dst[i] = rot[i][0] * point[0] + rot[i][1] * point[1] + rot[i][2] * point[2];
}
}
四、世界空間到相機(jī)空間的變換
空間坐標(biāo)系XYZ，相機(jī)坐標(biāo)系UVN。這時(shí)候相機(jī)空間的基（以下簡(jiǎn)稱相機(jī)）在空間坐標(biāo)系中圍繞各個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)了一定角度<a,b,c>，然后移動(dòng)了<x,y,z>。對(duì)于模型我們可以看作相對(duì)于相機(jī)的逆運(yùn)動(dòng)，即模型旋轉(zhuǎn)了一定角度<-a,-b,-c>，然后移動(dòng)了<-x,-y,-z>，可以把相機(jī)和物體的運(yùn)動(dòng)看成兩個(gè)互逆的變換。這樣，可以通過對(duì)相機(jī)的變換矩陣求逆來得到模型的變換矩陣。下面來具體看一下，如何得到相機(jī)變換矩陣，并且求得它的逆矩陣。
首先聲明一下，對(duì)于一個(gè)模型的變換，我們可以給模型矩陣左乘變換矩陣：
M x P = P'
|
| A B C D |
| E F G H |
| I J K L |
| M N O P |
|
x
|
| x |
| y |
| z |
| 1 |
|
=
|
| Ax + By + Cz + D |
| Ex + Fy + Gz + H |
| Ix + Jy + Kz + L |
| Mx + Ny + Oz + P |
|
也可以右乘變換矩陣：
PT x MT = P'T
| | x y z 1| x |
| A E I M |
| B F J N |
| C G K O |
| D H L P |
|
= |Ax+By+Cz+D Ex+Fy+Gz+H Ix+Jy+Kz+L Mx+Ny+Oz+P| |
|
|
可以看出兩種變換方式是一個(gè)轉(zhuǎn)置關(guān)系，結(jié)果只是形式上的不同，但這里我們使用后者，即右乘變換矩陣，因?yàn)楸容^普遍。
很顯然，相機(jī)的變換可以分成兩個(gè)階段：旋轉(zhuǎn)和平移。我們先來看旋轉(zhuǎn)。
在空間坐標(biāo)系中，相機(jī)旋轉(zhuǎn)之前世界坐標(biāo)系xyz和相機(jī)坐標(biāo)系u0v0n0的各個(gè)軸向量的方向相同，有關(guān)系：
| P = |Pu0 Pv0 Pn0| x |
| u0 |
| v0 |
| n0 |
|
= |Px Py Pz| x |
|
| x |
| y |
| z |
|
這里P是空間坐標(biāo)系中的一個(gè)向量。|u0 v0 n0|^T是相機(jī)基矩陣，|Pu0 Pv0 Pn0|是P在相機(jī)基矩陣下的坐標(biāo)。|x y z|^T是
世界基矩陣，|Px Py Pz|是P在它下面的坐標(biāo)。有Pu0 = Px， Pv0 =Py， Pn0 = Pz。
相機(jī)和向量P都旋轉(zhuǎn)之后，有關(guān)系：
| P' = |Pu0 Pv0 Pn0| x |
| u |
| v |
| n |
|
|
= |Px' Py' Pz'| x |
| x |
| y |
| z |
|
P'是P同相機(jī)一起旋轉(zhuǎn)后的向量。|u v n|^T是相機(jī)旋轉(zhuǎn)后的基矩陣，|Pu0 Pv0 Pn0|是P'在它下面的坐標(biāo)，因?yàn)镻是和相機(jī)一起旋轉(zhuǎn)的，所以坐標(biāo)不變。|x y z|^T仍為世界基矩陣，|Px' Py' Pz'|是P'在它下面的坐標(biāo)。
現(xiàn)在看
因?yàn)?span lang=EN-US>|x y z|^T為一個(gè)單位陣，且Pu0 = Px， Pv0 =Py， Pn0 = Pz。 所以得到
| |Pu0 Pv0 Pn0| x |
| u |
| v |
| n |
|
= |Px' Py' Pz'| x |
| x |
| y |
| z |
|
|
| |Px Py Pz| x |
| u |
| v |
| n |
|
= |Px' Py' Pz'| |
|
|
即|Px Py Pz|和相機(jī)一起旋轉(zhuǎn)后變成|Px' Py' Pz'|，即P x R = P'，而旋轉(zhuǎn)變換矩陣R就是：
| u |
| v |
| n |
寫成標(biāo)準(zhǔn)4x4矩陣：
| ux uy uz 0|
| vx vy vz 0|
| nx ny nz 0|
| 0 0 0 1|
平移矩陣T很簡(jiǎn)單：
| 1 0 0 0 |
| 0 1 0 0 |
| 0 0 1 0 |
| x y z 1 |
則相機(jī)矩陣就是：
| ux uy uz 0 | | 1 0 0 0 |
| vx vy vz 0 | | 0 1 0 0 |
C = R x T = x
| nx ny nz 0 | | 0 0 1 0 |
| 0 0 0 1 | | x y z 1 |
它的逆矩陣，即相機(jī)的逆變換矩陣為
| C-1 = T-1 x R-1 = |
| 1 0 0 0 |
| 0 1 0 0 |
| 0 0 1 0 |
| -x -y -z 1 |
|
x |
| ux vx nx 0 |
| uy vy ny 0 |
| uz nz nz 0 |
| 0 0 0 1 |
|
= |
| ux vx nx 0 |
| uy vy ny 0 |
| uz vz nz 0 |
|-T.u -T.v -T.n 1 |
|