寬度優先搜索 BFS

寬度優先搜索算法（又稱廣度優先搜索）是最簡便的圖的搜索算法之一，這一算法也是很多重要的圖的算法的原型。Dijkstra單源最短路徑算法和Prim最小生成樹算法都采用了和寬度優先搜索類似的思想。

已知圖G=(V,E)和一個源頂點s，寬度優先搜索以一種系統的方式探尋G的邊，從而“發現”s所能到達的所有頂點，并計算s到所有這些頂點的距離(最少邊數)，該算法同時能生成一棵根為s且包括所有可達頂點的寬度優先樹。對從s可達的任意頂點v，寬度優先樹中從s到v的路徑對應于圖G中從s到v的最短路徑，即包含最小邊數的路徑。該算法對有向圖和無向圖同樣適用。

之所以稱之為寬度優先算法，是因為算法自始至終一直通過已找到和末找到頂點之間的邊界向外擴展，就是說，算法首先搜索和s距離為k的所有頂點，然后再去搜索和S距離為k+l的其他頂點。

為了保持搜索的軌跡，寬度優先搜索為每個頂點著色：白色、灰色或黑色。算法開始前所有頂點都是白色，隨著搜索的進行，各頂點會逐漸變成灰色，然后成為黑色。在搜索中第一次碰到一頂點時，我們說該頂點被發現，此時該頂點變為非白色頂點。因此，灰色和黑色頂點都已被發現，但是，寬度優先搜索算法對它們加以區分以保證搜索以寬度優先的方式執行。若(u,v)∈E且頂點u為黑色，那么頂點v要么是灰色，要么是黑色，就是說，所有和黑色頂點鄰接的頂點都已被發現。灰色頂點可以與一些白色頂點相鄰接，它們代表著已找到和未找到頂點之間的邊界。

在寬度優先搜索過程中建立了一棵寬度優先樹，起始時只包含根節點，即源頂點s.在掃描已發現頂點u的鄰接表的過程中每發現一個白色頂點v，該頂點v及邊(u,v)就被添加到樹中。在寬度優先樹中，我們稱結點u 是結點v的先輩或父母結點。因為一個結點至多只能被發現一次，因此它最多只能有--個父母結點。相對根結點來說祖先和后裔關系的定義和通常一樣：如果u處于樹中從根s到結點v的路徑中，那么u稱為v的祖先，v是u的后裔。

下面的寬度優先搜索過程BFS假定輸入圖G=(V,E)采用鄰接表表示，對于圖中的每個頂點還采用了幾種附加的數據結構，對每個頂點u∈V，其色彩存儲于變量color[u]中，結點u的父母存于變量π[u]中。如果u沒有父母(例如u=s或u還沒有被檢索到)，則 π[u]=NIL，由算法算出的源點s和頂點u之間的距離存于變量d[u]中，算法中使用了一個先進先出隊列Q來存放灰色節點集合。其中head[Q]表示隊列Q的隊頭元素，Enqueue(Q,v)表示將元素v入隊， Dequeue(Q)表示對頭元素出隊；Adj[u]表示圖中和u相鄰的節點集合。

procedure BFS(G,S);

begin

1.   for 每個節點u∈V[G]- do

begin

2.        color[u]←White;

3.        d[u]←∞;

4.        π[u]←NIL;

end;

5.   color[s]←Gray;

6.   d[s]←0;

7.   π[s]←NIL;

8.   Q←

9.   while Q≠φ do

begin

10.      u←head[Q];

11.      for 每個節點v∈Adj[u] do

12.        if color[v]=White then

begin

13.             color[v]←Gray;        

14.             d[v]←d[v]+1;

15.             π[v]←u;

16.             Enqueue(Q,v);

end;   

17.      Dequeue(Q);

18.      color[u]←Black;

end;

end;

圖1展示了用BFS在例圖上的搜索過程。黑色邊是由BFS產生的樹枝。每個節點u內的值為d[u]，圖中所示的隊列Q是第9-18行while循環中每次迭代起始時的隊列。隊列中每個結點下面是該結點與源結點的距離。

圖1 BFS在一個無向圖上的執行過程

過程BFS按如下方式執行，第1-4行置每個結點為白色，置d[u]為無窮大，每個結點的父母置為NIL，第5行置源結點S為灰色，即意味著過程開始時源結點已被發現。第6行初始化d[s]為0，第7行置源結點的父母結點為NIL，第8行初始化隊列0，使其僅含源結點s，以后Q隊列中僅包含灰色結點的集合。

程序的主循環在9-18行中，只要隊列Q中還有灰色結點，即那些已被發現但還沒有完全搜索其鄰接表的結點，循環將一直進行下去。第10行確定隊列頭的灰色結點為u。第11-16行的循環考察u的鄰接表中的每一個頂點v。如果v是白色結點，那么該結點還沒有被發現過，算法通過執行第13-16行發現該結點。首先它被置為灰色，距離d[v]置為d[u]+1，而后u被記為該節點的父母，最后它被放在隊列Q的隊尾。當結點u的鄰接表中的所有結點都被檢索后，第17 -18行使u彈出隊列并置成黑色。

分析

在證明寬度優先搜索的各種性質之前，我們先做一些相對簡單的工作 ——分析算法在圖G=(V,E)之上的運行時間。在初始化后，再沒有任何結點又被置為白色。因此第12行的測試保證每個結點至多只能迸人隊列一次，因而至多只能彈出隊列一次。入隊和出隊操作需要O(1)的時間，因此隊列操作所占用的全部時間為O(V)，因為只有當每個頂點將被彈出隊列時才會查找其鄰接表，因此每個頂點的鄰接表至多被掃描一次。因為所有鄰接表的長度和為Q(E)，所以掃描所有鄰接表所花費時間至多為O(E)。初始化操作的開銷為O(V)，因此過程BFS的全部運行時間為O(V+E)，由此可見，寬度優先搜索的運行時間是圖的鄰接表大小的一個線性函數。