全排列的生成算法就是對(duì)于給定的字符集，用有效的方法將所有可能的全排列無(wú)重復(fù)無(wú)遺漏地枚舉出來(lái)。任何n個(gè)字符集的排列都可以與1～n的n個(gè)數(shù)字的排列一一對(duì)應(yīng)，因此在此就以n個(gè)數(shù)字的排列為例說(shuō)明排列的生成法。
n個(gè)字符的全體排列之間存在一個(gè)確定的線(xiàn)性順序關(guān)系。所有的排列中除最后一個(gè)排列外，都有一個(gè)后繼；除第一個(gè)排列外，都有一個(gè)前驅(qū)。每個(gè)排列的后繼都可以從 它 的前驅(qū)經(jīng)過(guò)最少的變化而得到，全排列的生成算法就是從第一個(gè)排列開(kāi)始逐個(gè)生成所有的排列的方法。
全排列的生成法通常有以下幾種：
字典序法
遞增進(jìn)位數(shù)制法
遞減進(jìn)位數(shù)制法
鄰位交換法
遞歸類(lèi)算法
1.字典序法
字典序法中，對(duì)于數(shù)字1、2、3......n的排列，不同排列的先后關(guān)系是從左到右逐個(gè)比較對(duì)應(yīng)的數(shù)字的先后來(lái)決定的。例如對(duì)于5個(gè)數(shù)字的排列12354和12345，排列12345在前，排列12354在后。按照這樣的規(guī)定，5個(gè)數(shù)字的所有的排列中最前面的是12345，最后面的是54321。
字典序算法如下：
設(shè)P是1～n的一個(gè)全排列:p=p1p2......pn=p1p2......pj-1pjpj+1......pk-1pkpk+1......pn
1）從排列的右端開(kāi)始，找出第一個(gè)比右邊數(shù)字小的數(shù)字的序號(hào)j（j從左端開(kāi)始計(jì)算），即? j=max{i|pi<pi+1}
2）在pj的右邊的數(shù)字中，找出所有比pj大的數(shù)中最小的數(shù)字pk，即 k=max{i|pi>pj}（右邊的數(shù)從右至左是遞增的，因此k是所有大于pj的數(shù)字中序號(hào)最大者）
3）對(duì)換pi，pk
4）再將pj+1......pk-1pkpk+1pn倒轉(zhuǎn)得到排列p''=p1p2.....pj-1pjpn.....pk+1pkpk-1.....pj+1，這就是排列p的下一個(gè)下一個(gè)排列。
例如839647521是數(shù)字1～9的一個(gè)排列。從它生成下一個(gè)排列的步驟如下：
自右至左找出排列中第一個(gè)比右邊數(shù)字小的數(shù)字4??????????? 839647521
在該數(shù)字后的數(shù)字中找出比4大的數(shù)中最小的一個(gè)5??????? 839647521
將5與4交換??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 839657421
將7421倒轉(zhuǎn)????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 839651247
所以839647521的下一個(gè)排列是839651247。
2.遞增進(jìn)位數(shù)制法
在遞增進(jìn)位制數(shù)法中，從一個(gè)排列求另一個(gè)排列需要用到中介數(shù)。如果用 ki表示排列p1p2...pi...pn中元素pi的右邊比pi小的數(shù)的個(gè)數(shù)，則排列的中介數(shù)就是對(duì)應(yīng)的排列k1 ...... ki...... kn-1。
例如排列839647521的中介數(shù)是72642321，7、2、6、......分別是排列中數(shù)字8、3、9、......的右邊比它小的數(shù)字個(gè)數(shù)。
中介數(shù)是計(jì)算排列的中間環(huán)節(jié)。已知一個(gè)排列，要求下一個(gè)排列，首先確定其中介數(shù)，一個(gè)排列的后繼，其中介數(shù)是原排列中介數(shù)加1，需要注意的是，如果中介數(shù)的末位kn-1+1=2，則要向前進(jìn)位，一般情形，如果ki+1=n-i+1，則要進(jìn)位，這就是所謂的遞增進(jìn)位制。例如排列839647521的中介數(shù)是72642321，則下一個(gè)排列的中介數(shù)是67342221+1=67342300（因?yàn)?+1=2，所以向前進(jìn)位，2+1=3，又發(fā)生進(jìn)位，所以下一個(gè)中介數(shù)是67342300）。
得到中介數(shù)后，可根據(jù)它還原對(duì)應(yīng)得排列。算法如下：
中介數(shù)k1、k2、......、kn-1的各位數(shù)字順序表示排列中的數(shù)字n、n-1、......、2在排列中距右端的的空位數(shù)，因此，要按k1、k2、......、kn-1的值從右向左確定n、n-1、......、2的位置，并逐個(gè)放置在排列中：i放在右起的ki+1位，如果某位已放有數(shù)字，則該位置不算在內(nèi)，最后一個(gè)空位放1。
因此從67342300可得到排列849617523，它就是839647521的后一個(gè)排列。因?yàn)?最先放置，k1=6，9放在右起第7位，空出6個(gè)空位，然后是放8，k2=7，8放在右起第8位，但9占用一位，故8應(yīng)放在右起第9位，余類(lèi)推。
3.遞減進(jìn)位制數(shù)法
在遞增進(jìn)位制數(shù)法中，中介數(shù)的最低位是逢2進(jìn)1，進(jìn)位頻繁，這是一個(gè)缺點(diǎn)。把遞增進(jìn)位制數(shù)翻轉(zhuǎn),就得到遞減進(jìn)位制數(shù)。
839647521的中介數(shù)是67342221(k1k2…kn-1)，倒轉(zhuǎn)成為12224376(kn-1…k2k1)，這是遞減進(jìn)位制數(shù)的中介數(shù)：ki(i=n-1,n-2,…,2)位逢i向ki-1位進(jìn)1。給定排列p，p的下一個(gè)排列的中介數(shù)定義為p的中介數(shù)加1。例如p=839647521，p的中介數(shù)為12224376，p的下一個(gè)排列的中介數(shù)為12224376+1=12224377，由此得到p的下一個(gè)排列為893647521。
給定中介數(shù)，可用與遞增進(jìn)位制數(shù)法類(lèi)似的方法還原出排列。但在遞減進(jìn)位制數(shù)中，可以不先計(jì)算中介數(shù)就直接從一個(gè)排列求出下一個(gè)排列。具體算法如下：
1）如果p(i)=n且i<>n，則p(i)與p(i-1)交換
2）如果p(n)=n，則找出一個(gè)連續(xù)遞減序列9、8、......、i，將其從排列左端刪除，再以相反順序加在排列右端，然后將i-1與左邊的數(shù)字交換
例如p=893647521的下一個(gè)排列是983647521。求983647521的下一個(gè)排列時(shí)，因?yàn)?在最左邊且第2位為8，第3位不是7，所以將8和9從小到大排于最右端364752189，再將7與其左方數(shù)字對(duì)調(diào)得到983647521的下一個(gè)排列是367452189。又例如求987635421的下一個(gè)排列，只需要將9876從小到大排到最右端并將5與其左方數(shù)字3對(duì)調(diào)，得到534216789。
4.鄰位對(duì)換法
鄰位對(duì)換法中下一個(gè)排列總是上一個(gè)排列某相鄰兩位對(duì)換得到的。以4個(gè)元素的排列為例，將最后的元素4逐次與前面的元素交換，可以生成4個(gè)新排列：
1 2 3 4? 1 2 4 3? 1 4 2 3? 4 1 2 3
然后將最后一個(gè)排列的末尾的兩個(gè)元素交換，再逐次將排頭的4與其后的元素交換，又生成四個(gè)新排列：
? 4 1 3 2? 1 4 3 2? 1 3 4 2? 1 3 2 4
再將最后一個(gè)排列的末尾的兩個(gè)元素交換，將4從后往前移：
3 1 2 4? 3 1 4 2? 3 4 1 2?? 4 3 1 2
如此循環(huán)既可求出全部排列。
5.元素增值法（n進(jìn)制法）
1）從原始排列p=p1p2......pn開(kāi)始，第n位加n-1，如果該位的值超過(guò)n，則將它除以n，用余數(shù)取代該位，并進(jìn)位（將第n-1位加1）
2）再按同樣方法處理n-1位，n-2位，......，直至不再發(fā)生進(jìn)位為止，處理完一個(gè)排列就產(chǎn)生了一個(gè)新的排列
3）將其中有相同元素的排列去掉
4）當(dāng)?shù)谝粋€(gè)元素的值>n則結(jié)束
以3個(gè)數(shù)1、2、3的排列為例：原始排列是1? 2? 3，從它開(kāi)始，第3個(gè)元素是3，3+2=5，5 Mod 3=2，第2個(gè)元素是2，2+1=3，所以新排列是1 3 2。通過(guò)元素增值，順序產(chǎn)生的排列是：1? 2? 3，1? 3? 2，2? 1? 1，2? 1? 3，2? 2? 2，2? 3? 1，2? 3? 3，3? 1? 2，3? 2? 1
有下劃線(xiàn)的排列中存在重復(fù)元素，丟棄，余下的就是全部排列。
6.遞歸類(lèi)算法
全排列的生成方法用遞歸方式描述比較簡(jiǎn)潔，實(shí)現(xiàn)的方法也有多種。
1）回溯法
回溯法通常是構(gòu)造一顆生成樹(shù)。以3個(gè)元素為例；樹(shù)的節(jié)點(diǎn)有個(gè)數(shù)據(jù)，可取值是1、2、3。如果某個(gè)為0，則表示尚未取值。
初始狀態(tài)是(0，0，0)，第1個(gè)元素值可以分別挑選1，2，3，因此擴(kuò)展出3個(gè)子結(jié)點(diǎn)。用相同方法找出這些結(jié)點(diǎn)的第2個(gè)元素的可能值，如此反復(fù)進(jìn)行，一旦出現(xiàn)新結(jié)點(diǎn)的3個(gè)數(shù)據(jù)全非零，那就找到了一種全排列方案。當(dāng)嘗試了所有可能方案，即獲得了問(wèn)題的解答。
2）遞歸算法
如果用P表示n個(gè)元素的排列，而Pi表示不包含元素i的排列，(i)Pi表示在排列Pi前加上前綴i的排列，那么，n個(gè)元素的排列可遞歸定義為：
如果n=1，則排列P只有一個(gè)元素i
如果n>1，則排列P由排列(i)Pi構(gòu)成（i=1、2、....、n-1）。
根據(jù)定義，容易看出如果已經(jīng)生成了k-1個(gè)元素的排列，那么，k個(gè)元素的排列可以在每個(gè)k-1個(gè)元素的排列Pi前添加元素i而生成。例如2個(gè)元素的排列是1? 2和2?? 1，對(duì)與個(gè)元素而言，p1是2? 3和3? 2，在每個(gè)排列前加上1即生成1 2 3和1 3 2兩個(gè)新排列，p2和p3則是1? 3、3? 1和1? 2、2? 1，按同樣方法可生成新排列2 1 3、2 3 1和3 1 2、3 2 1。
3）循環(huán)移位法
如果已經(jīng)生成了k-1個(gè)元素的排列，則在每個(gè)排列后添加元素k使之成為k個(gè)元素的排列，然后將每個(gè)排列循環(huán)左移（右移），每移動(dòng)一次就產(chǎn)生一個(gè)新的排列。
例如2個(gè)元素的排列是1 2和2 1。在1 2 后加上3成為新排列1 2 3，將它循環(huán)左移可再生成新排列2 3 1、3 1 2，同樣2 1 可生成新排列2 1 3、1 3 2和3 2 1。
上述算法的程序代碼如下：
#include
<
iostream.h
>
#include
<
time.h
>
const
?maxn
=
100
;
void
?outp(
int
?p[],
int
?n)?????????
//
輸出一個(gè)排列????
{
?
int
?i;
?cout
<<
"
?
"
;
?
for
(i
=
1
;i
<=
n;i
++
)
???cout
<<
p[i]
<<
"
?
"
;
??cout
<<
endl;
}
void
?swap(
int
?
&
?x,
int
?
&
?y)
{
?
int
?t
=
x;
?x
=
y;
?y
=
t;
}
void
?dict(
int
?p[],
int
?n)?????????
//
字典序法
{
?
int
?i,j;
?outp(p,n);
?i
=
n
-
1
;
?
while
(i
>
0
)
?
{
??
if
?(p[i]
<
p[i
+
1
])
??
{
???
for
(j
=
n;j
>=
i
+
1
;j
--
)
????
if
(p[i]
<=
p[j])?
break
;
???swap(p[i],p[j]);
???
for
(j
=
n;j
>=
1
;j
--
)
???
{
????i
+=
1
;
????
if
?(i
>=
j)?
break
;
????swap(p[i],p[j]);
???}
???outp(p,n);
???i
=
n;
??}
??i
-=
1
;
?}
;
}
bool
?midn(
int
?m[],
int
?n)
{
?
int
?k
=
n
-
1
;
?
while
(
1
)
?
{
??m[k]
+=
1
;
??
if
(m[k]
<
n
-
k
+
1
)
break
;
??m[k]
=
0
;
??k
-=
1
;
?}
?
int
?s
=
0
;
?
bool
?b
=
false
;
?
for
(?k
=
1
;k
<=
n;)
??s
+=
m[k
++
];
?
if
(s
==
0
)?b
=
true
;
?
return
?b;
}
void
?incr(
int
?p[],
int
?n)
{
?
int
?m[maxn];
?
int
?i,j,a;
?
for
(i
=
1
;i
<=
n;)
??m[i
++
]
=
0
;
?
while
(i
>
0
)
?
{
??
for
(i
=
1
;i
<=
n;)
???p[i
++
]
=
0
;
??
for
(i
=
1
;i
<=
n;i
++
)
??
{
???a
=
m[i]
+
1
;
???j
=
n;
???
while
(j
>
0
)
???
{
????
if
(p[j]
==
0
)
????
{
?????a
-=
1
;
?????
if
(a
==
0
)?
break
;
????}
????j
-=
1
;
???}
???p[j]
=
n
-
i
+
1
;
??}
??outp(p,n);
??
if
?(midn(m,n)
==
true
)?
break
;??
?}
}
void
?degr(
int
?p[],
int
?n)
{
?
int
?i,j;
?
while
(
1
)
?
{
??outp(p,n);
??
if
(p[
1
]
!=
n)
??
{
???i
=
0
;
???
while
(p[
++
i]
!=
n);????
???swap(p[i],p[i
-
1
]);
??}
??
else
??
{
???i
=
1
;
???
while
(i
<
n)
???
{
????
if
(p[i]
!=
p[i
+
1
]
+
1
)?
break
;
????i
+=
1
;
???}
???
if
(i
==
n)
break
;??????
???j
=
i;
???
while
(p[i]
!=
p[j]
-
1
)
????i
+=
1
;
???swap(p[i],p[i
-
1
]);
???
for
(i
=
1
;i
<=
n
-
j;)
????p[i
++
]
=
p[i
+
j];
???
for
?(i
=
1
;i
<=
j;i
++
)
????p[n
-
i
+
1
]?
=
n
-
i
+
1
;???
??}
?}
}
void
?conv(
int
?p[],
int
?n)
{
?
long
?m
=
1
;
?
for
(
int
?i
=
3
;i
<
n;)
??m
=
m
*
i
++
;
?
for
(i
=
1
;i
<
m;i
++
)
?
{
??outp(p,n);
??
for
(
int
?j
=
n;j
>
1
;j
--
)
??
{
???swap(p[j],p[j
-
1
]);
???outp(p,n);
??}
????????swap(p[n],p[n
-
1
]);
??outp(p,n);
??
for
(j
=
1
;j
<
n;j
++
)
??
{
???swap(p[j],p[j
+
1
]);
????????????outp(p,n);
??}
????????swap(p[
1
],p[
2
]);
?}
}
bool
?test(
int
?p[],?
int
?n)
{
?
bool
?b
=
false
;
?
for
(
int
?i
=
1
;i
<=
n;i
++
)
??
for
(
int
?j
=
i
+
1
;j
<=
n;j
++
)
???
if
(p[i]
==
p[j])?
???
{
????b
=
true
;
????
break
;
???}
????
return
?b;
}
void
?Nnum(
int
?p[],
int
?n)
{
?
while
(n
>
0
)
?
{
??
if
?(test(p,n)
==
false
)?outp(p,n);
??p[n]
+=
n
-
1
;?????????????????????????????
????????
for
(
int
?j
=
n;j
>
1
;j
--
)
??
{
??????????
if
(p[j]
>
n)
????
{
?????p[j]
%=
n;?????????????????????????????
??????????????p[j
-
1
]
+=
1
;?????????????????????
??????????????
if
(p[
1
]
>
n)
?????
{
??????n
=
0
;
??????
break
;
?????}
????}
??}
????????????????????????????????
?}
}
void
?recu(
int
?p[],
int
?n,
int
?k)
{
?
if
(k
==
n)?
??outp?(p,n);
?
else
?
{
??
for
(
int
?i
=
k;i
<=
n;i
++
)
????????
{
???swap?(p[k],p[i]);
???recu(p,?n,k
+
1
);
???swap?(p[k],p[i]);?
??}
????}
}
void
?cyc(
int
?p[],
int
?n,
int
?k)
{
?
if
?(k
>
n)
??outp(p,n);
?
else
?
{
??
for
(
int
?i
=
0
;i
<
k;i
++
)
??
{
???
int
?t
=
p[
1
];
???
for
(
int
?j
=
2
;j
<=
k;j
++
)
????p[j
-
1
]
=
p[j];
????????????p[k]
=
t;
???cyc(p,n,k
+
1
);
????????}
?}
}
void
?remo(
int
?p[],
int
?n,
int
?k)
{
?
bool
?b;
?
if
?(k
>
n)
??outp?(p,n);
?
else
?
{
???????
for
(
int
?i
=
1
;i
<=
n;i
++
)
????
{
?????b
=
false
;
?????p[k]
=
i;??????????????????
???????????
for
(
int
?j
=
1
;j
<
k;j
++
)
??????
if
(i
==
p[j])
????
{
??????b
=
true
;
??????
break
;
????}
???
if
(b
==
false
)?remo(p,n,k
+
1
);?????
????}
????}
}
void
?main()
{
?
int
?i,j,m;
?
int
?p[maxn];
?
int
?n;
?clock_t?start,finish;
?cout
<<
"
輸入排列元素總數(shù)?n=
"
;
?cin
>>
n;
?
for
(i
=
1
;i
<=
n;i
++
)
??p[i]
=
i;?
?cout
<<
"
1——字典序法
"
<<
endl;
?cout
<<
"
2——遞增進(jìn)位數(shù)制法
"
<<
endl;
?cout
<<
"
3——遞減進(jìn)位數(shù)制法
"
<<
endl;
?cout
<<
"
4——鄰位交換法
"
<<
endl;
?cout
<<
"
5——n進(jìn)制數(shù)法
"
<<
endl;
?cout
<<
"
6——遞歸生成法
"
<<
endl;
?cout
<<
"
7——循環(huán)移位法
"
<<
endl;
?cout
<<
"
8——回溯法
"
<<
endl;
?cout
<<
"
請(qǐng)選擇:?
"
;
?cin
>>
m;
?start
=
clock();
?
switch
?(m)
?
{
????
case
?
1
:dict(p,n);
break
;
????
case
?
2
:incr(p,n);
break
;?
???????
case
?
3
:degr(p,n);
break
;??
????
case
?
4
:conv(p,n);
break
;
???????
case
?
5
:Nnum(p,n);
break
;?
???????
case
?
6
:recu(p,n,
1
);
break
;
????
case
?
7
:cyc(p,n,
1
);
break
;????
???????
case
?
8
:remo(p,n,
1
);
?}
?finish
=
clock();
?cout
<<
"
程序執(zhí)行時(shí)間：
"
??
<<
(
double
)(finish
-
start)
/
CLOCKS_PER_SEC
<<
"
秒
"
<<
endl;
}
reference :
http://course.zjnu.cn/quyt/bbs/ftbbs.asp?id=115?void?sort(char?s[]){};
?char?p[]?="????";
?void?perm(char?s[],?int?i,?int?n)
?{
??????int?j;
??????char?temp;
??????printf("perm?i=%d?????????s=%s??p=%s\n",i,s,p);
??????for(j=0;j<n;++j)
??????{
??????????if(j!=0?&&?s[j]==s[j-1]);
??????????else?if(s[j]!='@')
??????????{
??????????????p[i]=s[j];
??????????????s[j]='@';
??????????????if(i==n-1)
??????????????{
??????????????????p[n]='\0';
??????????????????printf("===============output?:?%s\n\n",?p);
??????????????}
??????????????else
??????????????{
??????????????????printf("?????i=%d??j=%d????s=%s??p=%s\n",i,j,s,p);
??????????????????perm(s,i+1,n);
??????????????}
??????????????s[j]=p[i];
??????????}
??????}
?}
?void?Test31()?
?{
??????char?s[]=?"112";
??????sort(s);
??????perm(s,0,strlen(s));
??}