群結構
定理1：若G為一個循環群，則G內每個滿足ord(
α)=s的元素
α都是擁有s個元素的循環子群的生成元
證明：
定理2：若G為一個階為n的有限循環群，g為對應的生成元，則對整除n的每個整數k，G都存在一個唯一的階為k的循環子群H。
這個子群是由g
n/k生成的。H是由G內滿足條件
αk=1的元素組成的，且G不存在其它子群
證明：
推論：從上述兩定理可知有限循環群、子群及生成元的關系如下
例子：依據上述推論得如下
生成元判定算法
輸入：循環群G、某子群的階k
1）若k=1，則直接輸出e。否則轉到2）
2）隨機從G-{e}中選擇一元素x
3）若x
k≠e，則轉回2）。否則若k為素數，則跳到5）；若k為合數，則轉到4）
4）遍歷整除k的真因子d，若x
d=e，則轉回2）
5）輸出x
posted on 2024-03-20 22:49
春秋十二月 閱讀(626)
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