周知aes有限域同構于系數為F2域一元多項式環的商環，其理想由不可約多項式m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1生成，即F2^8≌F2[x]/(m(x))。這次進一步用域擴張的觀點分析，可以得知F2[x]/(m(x))正是包涵m(x)零點的擴域，設為K。那么如何理解？
令I=(m(x))，則K=F2[x]/I，理解關鍵是找出m(x)在K上的零點，以及K怎樣包涵F2？
1. 零點為~x。這里用~g(x)表示多項式在K中的陪集，即~g(x)=g(x)+I，所以~x=x+I。把~x代入m(x)，根據商環定義的加乘運算，代換結果為m(x)+I=~m(x)=~0（~0是K的零元）。那么還有嗎？比如~(x+a)（a非0），~x^2，代入這些得到的陪集代表不等于m(x)，所以不是零點。因此零點是唯一的一次多項式x之陪集
2. 構造映射σ，把0對到K中的零多項式即~0，1對到K中的常數多項式即~1，且σ(0+1)=~1=~0+~1=σ(0)+σ(1)，σ(0*1)=~0=~0*~1=σ(0)*σ(1)，又依多項式比較法則得~0不等于~1，故σ是單同態，K包涵F2
小結：商群、商環、商域類似模同余之剩余系，理解這些結構的關鍵是深入理解等價類、陪集，進而可理解正規子群、理想，最后就是商X之類的東西
posted on 2023-09-07 06:39
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