模運算及其應用

goal00001111搜集整理

 

摘要：模運算在數論和程序設計中應用很廣泛，從奇偶數的判別到素數的判別，從模冪運算到最大公約數的求法，從孫子問題到凱撒密碼問題，無不充斥著模運算的身影。本文從模運算的概念，性質，到模運算的基本應用，較為全面的介紹了模運算及其編程方法。

關鍵詞：模運算 程序設計 應用

 

       模運算在數論和程序設計中都有著廣泛的應用，從奇偶數的判別到素數的判別，從模冪運算到最大公約數的求法，從孫子問題到凱撒密碼問題，無不充斥著模運算的身影。雖然很多數論教材上對模運算都有一定的介紹，但多數都是以純理論為主，對于模運算在程序設計中的應用涉及不多。本文以c++語言為載體，對基本的模運算應用進行了分析和程序設計，以理論和實際相結合的方法向大家介紹模運算的基本應用。。

 

一 基本理論：

基本概念：

給定一個正整數p，任意一個整數n，一定存在等式  n = kp + r ；
其中k、r是整數，且 0 ≤ r < p，稱呼k為n除以p的商，r為n除以p的余數。
對于正整數p和整數a,b，定義如下運算： 
取模運算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余數。 

模p加法：(a + b) % p ，其結果是a+b算術和除以p的余數，也就是說，(a+b) = kp +r，則(a + b) % p = r。 

模p減法：(a-b) % p ，其結果是a-b算術差除以p的余數。 

模p乘法：(a * b) % p，其結果是 a * b算術乘法除以p的余數。 
說明：

1. 同余式：正整數a，b對p取模，它們的余數相同，記做 a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。

2. n % p得到結果的正負由被除數n決定,與p無關。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3。

基本性質：

（1）若p|(a-b)，則a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7)

（2）(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)

（3）對稱性：a≡b (% p)等價于b≡a (% p)

（4）傳遞性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，則a≡c (% p)

 

運算規則：

模運算與基本四則運算有些相似，但是除法例外。其規則如下：
        (a + b) % p = (a % p + b % p) % p            （1）
        (a - b) % p = (a % p - b % p) % p             （2） 
        (a * b) % p = (a % p * b % p) % p            （3）
       a^b % p = ((a % p)^b) % p                        （4）

結合率： ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p  （5）

((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p   （6）

交換率： (a + b) % p = (b+a) % p                 （7）

(a * b) % p = (b * a) % p                 （8）

分配率： ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p  （9）

重要定理：若a≡b (% p)，則對于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10）

若a≡b (% p)，則對于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11）

若a≡b (% p)，c≡d (% p)，則 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，

(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)； （12）

若a≡b (% p)，則對于任意的c，都有a^c≡ b^c (%p)；     （13）

 

二 基本應用：

1.判別奇偶數

       奇偶數的判別是模運算最基本的應用，也非常簡單。易知一個整數n對2取模，如果余數為0，則表示n為偶數，否則n為奇數。

C++實現功能函數：

       /*

函數名：IsEven

函數功能：判別整數n的奇偶性。能被2整除為偶數，否則為奇數                        

輸入值：int n，整數n

返回值：bool，若整數n是偶數，返回true，否則返回false

*/

bool IsEven(int n)

{

    return (n % 2 == 0);

}

 

2.判別素數

       一個數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數（或素數）。例如 2，3，5，7 是質數，而 4，6，8，9 則不是，后者稱為合成數或合數。

判斷某個自然數是否是素數最常用的方法就是試除法：用比該自然數的平方根小的正整數去除這個自然數，若該自然數能被整除，則說明其非素數。

C++實現功能函數：

       /*

函數名：IsPrime

函數功能：判別自然數n是否為素數。                                                                         

輸入值：int n，自然數n

返回值：bool，若自然數n是素數，返回true，否則返回false

*/

bool IsPrime(unsigned int n)

{

    unsigned maxFactor = sqrt(n); //n的最大因子

   

    for (unsigned int i=2; i<=maxFactor; i++)

    {

             if (n % i == 0) //n能被i整除，則說明n非素數

             {

               return false;

        }

       }

       return true;

}

 

3. 最大公約數

       求最大公約數最常見的方法是歐幾里德算法（又稱輾轉相除法），其計算原理依賴于定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

證明：a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b

假設d是a,b的一個公約數，則有d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公約數

假設d 是(b,a mod b)的公約數，則d | b , d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公約數

因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證。

C++實現功能函數：

/*

函數功能：利用歐幾里德算法，采用遞歸方式，求兩個自然數的最大公約數          

函數名：Gcd

輸入值：unsigned int a，自然數a

        unsigned int b，自然數b

返回值：unsigned int，兩個自然數的最大公約數

*/

unsigned int Gcd(unsigned int a, unsigned int b)

{

    if (b == 0)

        return a;

    return Gcd(b, a % b);

}

/*

函數功能：利用歐幾里德算法，采用迭代方式，求兩個自然數的最大公約數                  函數名：Gcd

輸入值：unsigned int a，自然數a

        unsigned int b，自然數b

返回值：unsigned int，兩個自然數的最大公約數

*/

unsigned int Gcd(unsigned int a, unsigned int b)

{

      unsigned int temp;

    while (b != 0)

    {

        temp = a % b;

        a = b;

        b = temp;

    }

    return a;

}

 

6．模冪運算

       利用模運算的運算規則，我們可以使某些計算得到簡化。例如，我們想知道3333^5555的末位是什么。很明顯不可能直接把3333^5555的結果計算出來，那樣太大了。但我們想要確定的是3333^5555（%10），所以問題就簡化了。

       根據運算規則（4）a^b % p = ((a % p)^b) % p  ，我們知道3333^5555（%10）= 3^5555（%10）。由于3^4 = 81，所以3^4（%10）= 1。

根據運算規則（3） (a * b) % p = (a % p * b % p) % p ，由于5555 = 4 * 1388 + 3，我們得到3^5555（%10）=（3^(4*1388) * 3^3）（%10）=（（3^(4*1388)（%10）* 3^3（%10））（%10）

=（1 * 7）（%10）= 7。

       計算完畢。

       利用這些規則我們可以有效地計算X^N(% P)。簡單的算法是將result初始化為1，然后重復將result乘以X，每次乘法之后應用%運算符（這樣使得result的值變小，以免溢出），執行N次相乘后，result就是我們要找的答案。

       這樣對于較小的N值來說，實現是合理的，但是當N的值很大時，需要計算很長時間，是不切實際的。下面的結論可以得到一種更好的算法。

       如果N是偶數，那么X^N =（X*X）^[N/2]；

       如果N是奇數，那么X^N = X*X^(N-1) = X *（X*X）^[N/2]；

其中[N]是指小于或等于N的最大整數。

C++實現功能函數：

/*

函數功能：利用模運算規則，采用遞歸方式，計算X^N(% P)    

函數名：PowerMod

輸入值：unsigned int x，底數x

        unsigned int n，指數n

        unsigned int p，模p

返回值：unsigned int，X^N(% P)的結果

*/

unsigned int PowerMod(unsigned int x, unsigned int n, unsigned int p)

{

    if (n == 0)

    {

              return 1;

    }

   

    unsigned int temp = PowerMod((x * x)%p, n/2, p); //遞歸計算（X*X）^[N/2]

   

    if ((n & 1) != 0) //判斷n的奇偶性

    {

             temp = (temp * x) % p;

    }

   

    return temp;

}

 

5.《孫子問題(中國剩余定理)》

在我國古代算書《孫子算經》中有這樣一個問題：

“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”意思是，“一個數除以3余2，除以5余3，除以7余2.求適合這個條件的最小數。”

這個問題稱為“孫子問題”.關于孫子問題的一般解法，國際上稱為“中國剩余定理”.

我國古代學者早就研究過這個問題。例如我國明朝數學家程大位在他著的《算法統宗》（1593年）中就用四句很通俗的口訣暗示了此題的解法：

三人同行七十稀，五樹梅花甘一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知。

"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，當所得的數比105大時，就105、105地往下減，使之小于105；這相當于用105去除，求出余數。

這四句口訣暗示的意思是：當除數分別是3、5、7時，用70乘以用3除的余數，用21乘以用5除的余數，用15乘以用7除的余數，然后把這三個乘積相加。加得的結果如果比105大，就除以105，所得的余數就是滿足題目要求的最小正整數解。

根據剩余定理，我把此種解法推廣到有n(n為自然數）個除數對應n個余數，求最小被除數的情況。輸入n個除數（除數不能互相整除）和對應的余數，計算機將輸出最小被除數。

C++實現功能函數：

/*

函數名：ResidueTheorem

函數功能：運用剩余定理，解決推廣了的孫子問題。通過給定n個除數（除數不能互相整除）和對應的余數，返回最小被除數                                                                         

輸入值：unsigned int devisor[]，存儲了n個除數的數組

        unsigned int remainder[]，存儲了n個余數的數組

              int length，數組的長度

返回值：unsigned int， 最小被除數

*/

unsigned int ResidueTheorem(const unsigned int devisor[], const unsigned int remainder[], int length)

{

    unsigned int product = 1; //所有除數之乘積

    for (int i=0; i<length; i++)//計算所有除數之乘積 

       {

             product *= devisor[i];

       }  

      

    //公倍數數組，表示除該元素（除數）之外其他除數的公倍數

    unsigned int *commonMultiple = new unsigned int(length);

       for (int i=0; i<length; i++)//計算除該元素（除數）之外其他除數的公倍數 

       {

             commonMultiple[i] = product / devisor[i];

       } 

      

       unsigned int dividend = 0;  //被除數，就是函數要返回的值

       for (int i=0; i<length; i++)//計算被除數，但此時得到的不是最小被除數

       {

             unsigned int tempMul = commonMultiple[i];

             //按照剩余理論計算合適的公倍數，使得tempMul % devisor[i] == 1

             while (tempMul % devisor[i] != 1)

             {

            tempMul += commonMultiple[i];

           }

          

           dividend += tempMul * remainder[i]; //用本除數得到的余數乘以其他除數的公倍數

       }

   

    delete []commonMultiple;

    return (dividend % product);  //返回最小被除數

}

6. 凱撒密碼

凱撒密碼（caeser）是羅馬擴張時期朱利斯o凱撒（Julius Caesar）創造的，用于加密通過信使傳遞的作戰命令。

它將字母表中的字母移動一定位置而實現加密。注意26個字母循環使用，z的后面可以堪稱是a。

例如，當密匙為k = 3，即向后移動3位時，若明文為”How are you!”，則密文為”Krz duh btx!”。

凱撒密碼的加密算法極其簡單。其加密過程如下：

在這里，我們做此約定：明文記為m，密文記為c，加密變換記為E(key1,m)（其中key1為密鑰），

解密變換記為D(key2,m)（key2為解密密鑰）（在這里key1=key2,不妨記為key）。

凱撒密碼的加密過程可記為如下一個變換：c≡m+key (mod n） （其中n為基本字符個數）

同樣，解密過程可表示為：m≡c+key (mod n） （其中n為基本字符個數）
C++實現功能函數：

/*

函數功能：使用凱撒密碼原理，對明文進行加密，返回密文                                          函數名：Encrypt

輸入值：const char proclaimedInWriting[]，存儲了明文的字符串

        char cryptograph[]，用來存儲密文的字符串

              int keyey，加密密匙，正數表示后移，負數表示前移

返回值：無返回值，但是要將新的密文字符串返回

*/

void Encrypt(const char proclaimedInWriting[], char cryptograph[], int key)

{

    const int NUM = 26; //字母個數

    int len = strlen(proclaimedInWriting);

   

    for (int i=0; i<len; i++)

    {

             if (proclaimedInWriting[i] >= 'a' && proclaimedInWriting[i] <= 'z')

             {//明碼是大寫字母，則密碼也為大寫字母

            cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - 'a' + key) % NUM + 'a';

        }

             else if (proclaimedInWriting[i] >= 'A' && proclaimedInWriting[i] <= 'Z')

             {//明碼是小寫字母，則密碼也為小寫字母

            cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - 'A' + key) % NUM + 'A';

        }

        else

        {//明碼不是字母，則密碼與明碼相同

            cryptograph[i] = proclaimedInWriting[i];

        }

       }

       cryptograph[len] = '\0';

}

 

/*

函數功能：使用凱撒密碼原理，對密文進行解密，返回明文                                          函數名：Decode

輸入值：char proclaimedInWriting[]，用來存儲明文的字符串

        const char cryptograph[]，存儲了密文的字符串

              int keyey，解密密匙，正數表示前移，負數表示后移（與加密相反）

返回值：無返回值，但是要將新的明文字符串返回

*/

void Decode(const char cryptograph[], char proclaimedInWriting[], int key)

{

    const int NUM = 26; //字母個數

    int len = strlen(cryptograph);

   

    for (int i=0; i<len; i++)

    {

             if (cryptograph[i] >= 'a' && cryptograph[i] <= 'z')

             {//密碼是大寫字母，則明碼也為大寫字母，為防止出現負數，轉換時要加個NUM

          proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - 'a' - key + NUM) % NUM + 'a';

        }

             else if (cryptograph[i] >= 'A' && cryptograph[i] <= 'Z')

             {//密碼是小寫字母，則明碼也為小寫字母

            proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - 'A' - key + NUM) % NUM + 'A';

        }

        else

        {//密碼不是字母，則明碼與明密相同

            proclaimedInWriting[i] = cryptograph[i];

        }

       }

       proclaimedInWriting[len] = '\0';

}

 

       模運算及其簡單應用就先講到這了，其實模運算在數學及計算機領域的應用非常廣泛，我這這里搜集整理了一些最最基本的情形，希望能夠起到一個拋磚引玉的作用，讓更多的人關注模運算，并及其應用到更廣闊的領域中。      

 

參考文獻：

1.       《模運算》百度貼吧http://tieba.baidu.com/f?kz=30549931；

2.       《模運算性質》 中國百科網

http://www.chinabaike.com/article/316/shuxue/2007/20071005554776.html

3.       《數據結構與問題求解》 Mark Allen Weiss清華大學出版社

4.       《孫子問題(中國剩余定理)》

http://hi.baidu.com/bjxiaoyao/blog/item/55ce951001d57d00213f2e30.html

5.       《破解凱撒kaiser密碼》

http://bbs.sei.ynu.edu.cn/viewthread.php?tid=5734