題目：數(shù)組中有三個數(shù)只出現(xiàn)一次，其它的數(shù)恰好出現(xiàn)兩次，找出這三個數(shù)。
先考慮“只有兩個數(shù)出現(xiàn)一次”的情況：可以找到一種方法，將數(shù)組劃分為兩部分，且讓這兩個數(shù)分別在不同部分，這樣每部分所有數(shù)的異或值，恰好分別等于這兩個數(shù)。一種簡單的分法就是，先計算出這兩個數(shù)的異或值M（等價于求數(shù)組中所有數(shù)的異或值），求出M值的二進制表示中的最低位1（其它位的1也可以，只不過麻煩點）在 +k位，然后根據(jù) +k位是否為1，將原數(shù)組分為兩部分。
回到原題，假設這三個不同的數(shù)是：A、B、C，它們的異或值 X = A xor B xor C，X值可能為0，也可能不為0。當X值不為0時（比如：這三個數(shù)為3、5、7，X值為1），很難找到一種方法，將原來的數(shù)組劃分為兩部分，使得這三個數(shù)不都在同一部分。因而，要先對原來的數(shù)組進行一次替換：將每個數(shù)與X進行異或。這樣原來的三個數(shù)就變成了：
B xor C、A xor C、A xor B。記a = B xor C、b = A xor C、c = A xor B。新的異或值 x = a xor b xor c = 0。
由于A、B、C互不相等，顯然它們間的異或值a、b、c都不為0，且互不相等。（若a等于b，則 0 = a xor b = (B xor C) xor (A xor C) = A xor B != 0自相矛盾）
若三個數(shù)的異或值為0，且其中一個數(shù)在 +n位（n為任意值）上為1，則另兩個數(shù)在 +n位上必然一個為1，另一個為0（不然的話，這三個數(shù)的異或值就不會為0），因而根據(jù) +n位為1，可以將這三個數(shù)分成兩部分。
設f(x)為x的二進制表示中最低位1的位置，則f(a)、f(b)、f(c)這三個數(shù)中有且只有兩個數(shù)相等。證明：不妨設f(a)、f(b)、f(c)中最小的是f(a)，k = f(a)，則b、c在 +k位上必然是一個為1，一個為0，不妨設b在 +k位為1，則根據(jù)f(x)的定義以及f(a)最小，可得f(b)等于f(a)，f(c)大于f(a)。因而，新數(shù)組的數(shù)x對應的所有f(x)的總異或值等于f(c)。
假設f(a)等于f(b)，m = f(c)，由于c在 +m位上為1，不妨設 b在 +m位也為1，則a在 +m位為0。根據(jù) +m位是否為1，可將新數(shù)組分為兩部分，每部分的異或值恰好都是 a = B xor C，可以求出數(shù)A（等于a xor X）。 將數(shù)A放入原來的數(shù)組，問題轉為“只有兩個數(shù)出現(xiàn)一次”的情況，利用前面提到的方法算出另兩個數(shù)。總共需遍歷數(shù)組4次。
代碼：
#include <cstdio>
#include <cassert>
static inline int extract_rightmost_one(unsigned value) { return value & -value; }
// if a != b, m = extract_rightmost_one(a), n = extract_rightmost_one(b),
// k = extract_rightmost_one(a ^ b)
// then m == n != k or m == k != n or n == k != m
void print_three_unique_number(const int arr[], unsigned len)
{
assert (len >= 3 && len % 2);
const int* const beg = arr;
const int* const end = arr + len;
int xor3 = 0;
for (const int* p = beg; p != end; ++p) xor3 ^= *p;
int flag1 = 0;
for (const int* p = beg; p != end; ++p) flag1 ^= extract_rightmost_one(*p ^ xor3);
assert(flag1 != 0 && (flag1 & (flag1 - 1u)) == 0u); // flag1 == 2^^k
int xor2 = 0;
for (const int* p = beg; p != end; ++p) {
const int value = *p ^ xor3;
if (value & flag1) xor2 ^= value; //or:
// if ((value & flag1) == 0) xor2 ^= value;
}
const int number1 = xor2 ^ xor3;
const int flag2 = extract_rightmost_one(xor2);
int number2 = (number1 & flag2) ? number1 : 0; // put number1 into the array
for (const int* p = beg; p != end; ++p) {
if (*p & flag2) number2 ^= *p;
}
const int number3 = xor2 ^ number2;
printf("%d %d %d\n", number1, number2, number3);
}
上面的代碼并不嚴格符合C++標準，而是假定機器采用補碼表示負數(shù)（不采用補碼表示的老古董，一般人也碰不到）。 另外要特別注意的是，一些計算最好先轉為無符號數(shù)，避免溢出，最后再轉回有符號數(shù)。因為標準假定有符號數(shù)間的計算不發(fā)生溢出，當實際上發(fā)生溢出時，就是UB行為，編譯器若進行些激進的優(yōu)化就得不到正確結果。