Posted on 2011-09-17 02:00
hoshelly 閱讀(2415)
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C
輾轉相除法，又名歐幾里得算法，是求最大公約數的算法。
原理及其詳細證明
設兩數為a、b(b<a)，用gcd(a,b)表示a，b的最大公約數，r=a mod b 為a除以b以后的余數，輾轉相除法即是要證明gcd(a,b)=gcd(b,r)。
第一步：令c=gcd(a,b)，則設a=mc，b=nc
第二步：根據前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c
第三步：根據第二步結果可知c也是r的因數
第四步：可以斷定m-kn與n互素【否則，可設m-kn=xd，n=yd，(d>1)，則m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，則a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a與b最大公約數成為cd，而非c】
從而可知gcd(b,r)=c，繼而gcd(a,b)=gcd(b,r)。
證畢。
用C表示則：
int gcd(int a,int b)
{
int temp;
if(a<b)/*交換兩個數，使大數放在a上*/
{
temp=a;
a=b;
b=temp;
}
while(b!=0)/*利用輾除法，直到b為0為止*/
{
temp=a%b;
a=b;
b=temp;
}
return a;
}