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　　遞歸數列a(n) = r1*a(n-1) + r2*a(n-2)
　　其中r1 r2是常數，a1 a2已知，按照順序a1 a2 r1 r2 n輸入參數，則返回這樣一個遞歸數列的第n項值。類型均為double
#ifndef FINDAN_H
#define FINDAN_H

#include <cmath>

// a(n) = r1*a(n-1) + r2*a(n-2), give the a1, a2, r1, r2 and n
double findAnWithDegreeOfTwo( double a1, double a2, double r1, double r2, int n )
{
    double x1;
    double x2;
    double u1;
    double u2;
    double det = r1*r1 + 4*r2;
    double result;

    if ( det < 0 )
        return 0;
    else if ( det > 0 )
    {
        det = sqrt( det );
        x1 = ( r1 + det ) / 2;
        x2 = ( r1 - det ) / 2;
        u1 = ( a1*x2 - a2 ) / ( x1*( x2 - x1 ) );
        u2 = ( a2*x1 - a1 ) / ( x2*( x1 - x2 ) );
        result = u1*pow( x1, n ) + u2*pow( x2, n );
        return result;
    }
    else
    {
        x1 = r1 / 2;
        u2 = ( a2 - x1*a1 ) / x1*x1;
        u1 = a1 / x1 - u2;
        result = ( u1 + u2*n ) * pow( x1, n );
        return result;
    }
}

#endif
posted on 2011-04-03 19:53 今晚打老虎 閱讀(1058) 評論(4)  編輯 收藏 引用 所屬分類: 我的開源庫

評論

# re: findAnWithDegreeOfTwo(計算度數為2的齊次遞歸數列的第n項) 2011-04-05 15:24 Singa
這樣做的時間復雜度是O(n)，可以利用矩陣乘法來做，把時間復雜度降低到O(logn)。  回復  更多評論
  

# re: findAnWithDegreeOfTwo(計算度數為2的齊次遞歸數列的第n項) 2011-04-08 10:00 今晚打老虎
@Singa
矩陣乘法么，沒學過耶，能指點一下么  回復  更多評論
  

# re: findAnWithDegreeOfTwo(計算度數為2的齊次遞歸數列的第n項) 2011-04-11 17:47 Singa
@今晚打老虎
就這個問題的話
a[n] a[n-1] r1 1 a[n+1] a[n]
a[n-1] a[n-2] r2 0 a[n] a[n-1]
上面分別是三個2*2的矩陣，前兩個相乘得到第三個
這樣子就得到一個類似等比數列的遞推式了
r1 1
r2 0 類似于公比

a[2] a[1]
a[1] a[0] 類似于數列首項
然后算公比的n次方的時候用下快速冪取模，就實現O(logn)的復雜度了  回復  更多評論
  

# re: findAnWithDegreeOfTwo(計算度數為2的齊次遞歸數列的第n項) 2011-04-12 00:24 今晚打老虎
@Singa
感謝指點！  回復  更多評論
  

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