本次試驗(yàn)我組主要是想通過運(yùn)用補(bǔ)碼來表示整數(shù)，我主要的工作是將十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)化成補(bǔ)碼及其加減運(yùn)算和溢出的討論。

一、原理

    人類習(xí)慣使用十進(jìn)制數(shù)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，而計(jì)算機(jī)則采用二進(jìn)制，所以為了讓計(jì)算機(jī)幫助人類計(jì)算，首先要把十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。本次說明以最簡(jiǎn)單的8位定點(diǎn)整數(shù)為例，分析了計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)和計(jì)算數(shù)值的方法。

整數(shù)有正負(fù)之分，但計(jì)算機(jī)卻只認(rèn)得“0”“1”，不知道符號(hào)“+”和“-”，所以有必要用“0”“1”來表示“+”“-”。人們規(guī)定用“0”表示“+”，用“1”表示“-”。

       這樣，就可以表示出計(jì)算機(jī)能識(shí)別的整數(shù)了，把符號(hào)數(shù)值化后的二進(jìn)制數(shù)稱為機(jī)器數(shù)，相對(duì)應(yīng)的，符號(hào)沒有數(shù)值化（即仍用“+”“-”號(hào)表示）的二進(jìn)制數(shù)稱為真值。計(jì)算機(jī)只能處理機(jī)器數(shù)。

（一）原碼

       機(jī)器數(shù)有三種編碼形式，分別稱為：原碼，補(bǔ)碼和反碼。其實(shí)篇頭已經(jīng)介紹了機(jī)器碼的一種形式——原碼，它的特點(diǎn)是有效數(shù)值部分照抄真值，符號(hào)“+”“-”分別用“0”“1”表示。

例如：

+6D，它的真值是+000 0110（注意：8位二進(jìn)制數(shù)最高位是符號(hào)位，所以其真值只有7 位），對(duì)應(yīng)的原碼就是0000 0110。

-6D，它的真值是-000 0110，對(duì)應(yīng)的原碼就是1000 0110。

原碼表示法比較直觀，它的數(shù)值部分就是該數(shù)的絕對(duì)值，而且與真值的轉(zhuǎn)換十分方便。

（二）補(bǔ)碼

    機(jī)器數(shù)的補(bǔ)碼可由原碼得到。如果機(jī)器數(shù)是正數(shù)，則該機(jī)器數(shù)的補(bǔ)碼與原碼一樣；如果機(jī)器數(shù)是負(fù)數(shù)，則該機(jī)器數(shù)的補(bǔ)碼是對(duì)它的原碼（除符號(hào)位外）各位取反，并在未位加1而得到的。設(shè)有一數(shù)X，則X的補(bǔ)碼表示記作［X］_補(bǔ)。

那補(bǔ)碼是如何編碼的，對(duì)于十進(jìn)制+6。它真值是+000 0110，原碼是0000 0110。用數(shù)學(xué)表達(dá)式來表示真值和原碼的關(guān)系，這就是：

設(shè)機(jī)器字長(zhǎng)為N位，真值為X，則：

[X]原  = X，         0 <= X < 2^(n-1)

[X]原  = 2^(n-1) - X， -2^(n-1) < X <= 0   

例如：[+6]原  = 6，把6轉(zhuǎn)換為8位二進(jìn)制數(shù)，就得到原碼0000 0110。（本此說明的最后將會(huì)提供一個(gè)把十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為機(jī)器碼的C++算法實(shí)現(xiàn)）。

[-6]原  = 2^(8-1) – (-6) = 256 + 6 = 262，，把262轉(zhuǎn)換為8位二進(jìn)制數(shù)，就得到原碼1000 0110。即最高位本來是0，加了一個(gè)2^(8-1)后，最高位就變成1了。

同樣給出補(bǔ)碼的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

[X]補(bǔ)  = X，         0 <= X < 2^(n-1)

[X]補(bǔ)  = 2^n + X，   -2^(n-1) <= X < 0

和原碼一樣，正數(shù)的補(bǔ)碼就等于真值。負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼則該機(jī)器數(shù)的補(bǔ)碼是對(duì)它的原碼（除符號(hào)位外）各位取反，并在未位加1而得到的。

（三）反碼

機(jī)器數(shù)的反碼可由原碼得到。如果機(jī)器數(shù)是正數(shù)，則該機(jī)器數(shù)的反碼與原碼一樣；如果機(jī)器數(shù)是負(fù)數(shù)，則該機(jī)器數(shù)的反碼是對(duì)它的原碼（符號(hào)位除外）各位取反而得到的。設(shè)有一數(shù)X，則X的反碼表示記作［X］_反。反碼和原碼的關(guān)系很緊密，反碼表示法規(guī)定：正數(shù)的反碼與其原碼相同；負(fù)數(shù)的反碼是對(duì)其原碼逐位取反，但符號(hào)位除外。

 

（四）補(bǔ)碼的加法運(yùn)算規(guī)則

 [X＋Y]補(bǔ)= [X]補(bǔ)＋[Y]補(bǔ)該式表明，當(dāng)有符號(hào)的兩個(gè)數(shù)采用補(bǔ)碼形式表示時(shí)，進(jìn)行加法運(yùn)算可以把符號(hào)位和數(shù)值位一起進(jìn)行運(yùn)算（若符號(hào)位有進(jìn)位，則丟掉），結(jié)果為兩數(shù)之和的補(bǔ)碼形式。

例如用補(bǔ)碼進(jìn)行下列運(yùn)算：（＋33）補(bǔ)＋（＋15）補(bǔ)；（＋33）補(bǔ)＋（－15）補(bǔ)。

計(jì)算這樣一個(gè)補(bǔ)碼數(shù)時(shí)，首先要記得把相應(yīng)的補(bǔ)碼數(shù)寫成二進(jìn)制數(shù)（有符號(hào)位）。如圖所示的就是以上兩個(gè)補(bǔ)碼加法運(yùn)算式。最終的結(jié)果分別是[+48]補(bǔ)和[+18] 補(bǔ)。

 

00100001   【+33】          00100001    【+33】

 

00001111    【+15】         11110001     【-15】

---------------------------------------------------------------------------

00110000    【+48】        100010010     【+18】

圖 兩個(gè)補(bǔ)碼加法運(yùn)算示例

（五）補(bǔ)碼的減法運(yùn)算規(guī)則
[X-Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[-Y]補(bǔ)

該式表明，求[X-Y]補(bǔ)可以用[X]補(bǔ)與[-Y]補(bǔ)相加來實(shí)現(xiàn)。

 [-Y]補(bǔ)是對(duì)減數(shù)進(jìn)行求負(fù)操作。一般稱已知[Y]補(bǔ)求得[-Y]補(bǔ)的過程叫變補(bǔ)或求負(fù)。已知[+Y]補(bǔ)求[-Y]補(bǔ)的規(guī)則是全部位（含符號(hào)位）按位取反后再加1。

例如：已知[+15]補(bǔ)=00001111B，則[-15]補(bǔ)=11110000B+1=11110001B
或：0- [+15]補(bǔ)=0–10001111B=11110001B

現(xiàn)在例舉補(bǔ)碼減法運(yùn)算示例。仍假設(shè)X=+33，Y=+15，現(xiàn)要求[X-Y]補(bǔ)。

先求得[X]補(bǔ)=00100001B，[Y]補(bǔ)=00001111B，根據(jù)以上介紹的補(bǔ)碼負(fù)操作規(guī)則，可以得到[-Y]補(bǔ)=11110001B。然后再用[X]補(bǔ)＋[-Y]補(bǔ)公式即可得到最終的[X–Y]補(bǔ)。運(yùn)算過程如圖所示。如果是X= -33，Y= -15，如果仍要求[X-Y]補(bǔ)，則同樣需要求[-Y]補(bǔ)，也即[-（-15）]補(bǔ)，實(shí)際上是要求[+15]的補(bǔ)碼。因?yàn)橐阎?/span>[-15]補(bǔ)=11110001B，根據(jù)前面介紹的補(bǔ)碼負(fù)操作規(guī)則，可以很快得出[＋15]補(bǔ)=00001111B。這樣[X-Y]補(bǔ)就等于[-33]補(bǔ)+[+15]補(bǔ)，運(yùn)算過程如圖2-15右圖所示。

001000001     【X】補(bǔ)                 11011111        【-33】

 

+1111000 1      【-Y】補(bǔ)             + 00001111       【+15】

-----------------------------------------------------------------------------------------

100010010      【+18】                11101110        【-18】

圖 兩個(gè)補(bǔ)碼減法運(yùn)算示例

（六）溢出討論

　下面的問題是如何檢查加減運(yùn)算中的溢出問題。通常有三種表述方式（說法）：
　　(1) 兩個(gè)符號(hào)相同的補(bǔ)碼數(shù)相加，如果和的符號(hào)與加數(shù)的符號(hào)相反，或兩個(gè)符號(hào)相反的補(bǔ)碼數(shù)相減，差的符號(hào)與減數(shù)的符號(hào)相同，都屬于運(yùn)算結(jié)果溢出。這種判別方法比較復(fù)雜，要區(qū)別加還是減兩種不同運(yùn)算情況，還要檢查結(jié)果的符號(hào)與其中一個(gè)操作數(shù)的符號(hào)的同異，故很少使用；

　　(2) 兩個(gè)補(bǔ)碼數(shù)相加減時(shí)，若最高數(shù)值位向符號(hào)位送的進(jìn)位值與符號(hào)位送向更高位的進(jìn)位值不相同，也是運(yùn)算結(jié)果溢出。

　　(3) 在采用雙符號(hào)位（如定點(diǎn)小數(shù)的模4補(bǔ)碼）運(yùn)算時(shí)，若兩個(gè)符號(hào)位的得值不同（01或10）則是溢出。01表明兩個(gè)正數(shù)相加，結(jié)果大于機(jī)器所能表示的最大正數(shù)，稱為"上溢"；10表明兩個(gè)負(fù)數(shù)相加，結(jié)果小于機(jī)器所能表示的最小負(fù)數(shù)，稱為"下溢"；雙符號(hào)位的高位符號(hào)位，不管結(jié)果溢出否，均是運(yùn)算結(jié)果正確的符號(hào)位，這個(gè)結(jié)論在乘法運(yùn)算過程中是很有實(shí)際意義的。請(qǐng)注意，在采用雙符號(hào)位的方案中，在寄存器和內(nèi)存儲(chǔ)器存儲(chǔ)數(shù)據(jù)時(shí)，只需存一位符號(hào)，雙符號(hào)位僅用在加法器線路部分。

 

二、思路

  本次實(shí)驗(yàn)的的思路主要是根據(jù)數(shù)值間的轉(zhuǎn)化設(shè)計(jì)，運(yùn)用原理的思想將十進(jìn)制轉(zhuǎn)化成二進(jìn)制，進(jìn)而求出原碼和補(bǔ)碼。

首先，定義一個(gè)函數(shù)void Binary(int n)將正整數(shù)轉(zhuǎn)化成二進(jìn)制（負(fù)數(shù)的比較特別，后面用另外的函數(shù)求得）其中的變量n是輸入的十進(jìn)制正整數(shù)。其轉(zhuǎn)化方式主要是運(yùn)用除2取余法！將結(jié)果保留在一維數(shù)組中，方便以后使用。其次定義了輸出函數(shù)void Print(int a[])主要是輸出最后求出的二進(jìn)制、原碼。由于補(bǔ)碼的輸出特別些，我目前想不到更好的方法就另加啦個(gè)輸出補(bǔ)碼的輸出函數(shù)void Printbm(int a[])，其主要原因是將最高位置1（用了||運(yùn)算符）。最后，就是再定義了一個(gè)求負(fù)數(shù)的二進(jìn)制的函數(shù)void Nbinary(int a[])主要是對(duì)應(yīng)負(fù)數(shù)的二進(jìn)制的各位作啦相應(yīng)變換。其一負(fù)數(shù)的二進(jìn)制是其正數(shù)二進(jìn)制的各位取反再加1，其二就是對(duì)進(jìn)位的處理，從低到高一次掃描，發(fā)現(xiàn)2時(shí)就將其置1，再將其下一位加1，依次類推，則可以求出負(fù)整數(shù)的二進(jìn)制碼，再運(yùn)用相應(yīng)的運(yùn)算求出其原碼，補(bǔ)碼。

程序的結(jié)尾就是運(yùn)用main（）函數(shù)調(diào)用函數(shù)輸出結(jié)果。

三、流程圖

四、存在問題

對(duì)于本次試驗(yàn)程序，本人覺得存在很多的不足，很多地方自己覺得繁瑣但又不知道怎樣修整比較好，也就是勉強(qiáng)能調(diào)試出結(jié)果。在很多方法上應(yīng)該有更簡(jiǎn)便的方法，但卻不知道怎么修改。望老師指點(diǎn)、修整。

五、程序源代碼

#include "iostream"

Using namespace std;

const int MAX=32;

 

int a[MAX]={0};

int c[MAX]={0};

void Delete(int a[])//主要是清除運(yùn)行時(shí)修改的，將其賦成¨

 {

          for(int i=0;i<MAX;i++)

                    a[i]=0;

 }

void Binary(int a[],int n)//正數(shù)的二進(jìn)制轉(zhuǎn)換

{

         Delete(a);

         int b,i=0;

 while(n>0)//除取余法

   {

         b=n%2;

    n=(n-b)/2;

    a[i]=b;

    i++;

   }

}

 void Print(int a[])//輸º出函數(shù)

 { 

          

          for( int i=MAX-1;i>=0;i--)

                   {

               cout<<a[i];

             }

 }

 void Nbinary(int a[],int x)//負(fù)數(shù)º的二進(jìn)制轉(zhuǎn)換函¡數(shù)

 {

                   Delete(a);

          int b,i=0;

          x=-x;

 while(x>0)//除取¨余法

   {

         b=x%2;

    x=(x-b)/2;

    a[i]=b;

    i++;

   }

          for(int i=0;i<MAX;i++)//相應(yīng)位取反

         {

                   if(a[i]==0)

                             a[i]=1;

                    else

                             a[i]=0;

          }

          a[0]=a[0]+1;//取反¤后¨再在¨末位加¨一，轉(zhuǎn)換成負(fù)數(shù)的二進(jìn)制碼

          for(int i=0;i<MAX;i++)

          {

                    if(a[MAX-1]==2)

                             a[MAX-1]=0;

                    else

              if(a[i]==2)//處理相¨加¨后¨的進(jìn)位?

                             {

                                      a[i]=0;

                    a[i+1]=a[i+1]+1;

                    }

                    else

                             break;

          }    

 }

 

 void Printf(int x)

{

if(x>=0)

         {

                   Binary(a,x);//正y數(shù)ºy的Ì?二t進(jìn)?制?和¨ª補(bǔ)1碼?一°?致?

                   cout<<"二t進(jìn)?制?：êo";

        Print(a);

                   cout<<endl;

                   cout<<" 補(bǔ)1碼?：êo";

        Print(a);

                   cout<<endl;

}

else

    {

            Nbinary(a,x);//負(fù)o數(shù)ºy的Ì?補(bǔ)1碼?和¨ª二t進(jìn)?制?也°2一°?樣¨´

            cout<<"二t進(jìn)?制?：êo";

            Print(a);

            cout<<endl;

            cout<<" 補(bǔ)1碼?：êo";

        Print(a);

                   cout<<endl;  

}

}

 void add(int a[],int b[])//補(bǔ)1碼?加¨®法¤¡§

{

         int d[MAX]={0};

         for(int i=0;i<MAX;i++)

         {

                   d[i]=d[i]+a[i]+b[i];

                   if(d[i]==2)//處ä|理¤¨ª相¨¤加¨®后¨®的Ì?進(jìn)?位?

                             {

                                      d[i]=0;

                           d[i+1]=d[i+1]+1;

                         }

                   else if(d[i]==3){

                            d[i]=1;

                       d[i+1]=d[i+1]+1;

                   }

         }

         for(int i=MAX-1;i>=0;i--){

                   cout<<d[i];}

         cout<<endl;

}

 void sub(int a[],int b[])//補(bǔ)1碼?減?法¤¡§

 {

          for(int i=0;i<MAX;i++)//相¨¤應(yīng)®|位?取¨?反¤¡ä

         {

                   if(b[i]==0)

                             b[i]=1;

                    else

                             b[i]=0;

          }

          b[0]=b[0]+1;//取¨?反¤¡ä后¨®再¨´在¨²末?位?加¨®一°?，ê?轉(zhuǎn)Áa換?成¨¦負(fù)o數(shù)ºy的Ì?-[Y]補(bǔ)1

          for(int i=0;i<MAX;i++)

          {

                    if(b[MAX-1]==2)

                             b[MAX-1]=0;

                    else

              if(b[i]==2)//處ä|理¤¨ª相¨¤加¨®后¨®的Ì?進(jìn)?位?

                             {

                                      b[i]=0;

                    b[i+1]=b[i+1]+1;

                    }

                    else

                             break;

          }    

          add(a,b);

 }

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

{

int x,y,z;

 

cout<<" Please input the first integer :";

cin>>x;

Printf(x);//輸º?出?第̨²一°?個(gè)?數(shù)ºy

for(int i=0;i<MAX;i++){

         c[i]=a[i];

}

cout<<" Please input the second integer :";

cin>>y; 

Printf(y);//輸º?出?第̨²二t個(gè)?數(shù)ºy

cout<<endl;

cout<<"The Result of the addition (a+b) is :";

add(c,a);

cout<<"TheResult of the subtraction (a-b) is :";

sub(c,a);

 return 0;

system("pause");

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

六、程序結(jié)果

 

 

 

 

王秋林

3100200089