本次試驗我組主要是想通過運用補碼來表示整數，我主要的工作是將十進制整數轉化成補碼及其加減運算和溢出的討論。
一、原理
人類習慣使用十進制數進行數值計算，而計算機則采用二進制，所以為了讓計算機幫助人類計算，首先要把十進制數轉換為二進制數。本次說明以最簡單的8位定點整數為例，分析了計算機存儲和計算數值的方法。
整數有正負之分，但計算機卻只認得“0”“1”，不知道符號“+”和“-”，所以有必要用“0”“1”來表示“+”“-”。人們規定用“0”表示“+”，用“1”表示“-”。
這樣，就可以表示出計算機能識別的整數了，把符號數值化后的二進制數稱為機器數，相對應的，符號沒有數值化（即仍用“+”“-”號表示）的二進制數稱為真值。計算機只能處理機器數。
（一）原碼
機器數有三種編碼形式，分別稱為：原碼，補碼和反碼。其實篇頭已經介紹了機器碼的一種形式——原碼，它的特點是有效數值部分照抄真值，符號“+”“-”分別用“0”“1”表示。
例如：
+6D，它的真值是+000 0110（注意：8位二進制數最高位是符號位，所以其真值只有7 位），對應的原碼就是0000 0110。
-6D，它的真值是-000 0110，對應的原碼就是1000 0110。
原碼表示法比較直觀，它的數值部分就是該數的絕對值，而且與真值的轉換十分方便。
（二）補碼
機器數的補碼可由原碼得到。如果機器數是正數，則該機器數的補碼與原碼一樣；如果機器數是負數，則該機器數的補碼是對它的原碼（除符號位外）各位取反，并在未位加1而得到的。設有一數X，則X的補碼表示記作［X］補。
那補碼是如何編碼的，對于十進制+6。它真值是+000 0110，原碼是0000 0110。用數學表達式來表示真值和原碼的關系，這就是：
設機器字長為N位，真值為X，則：
[X]原 = X， 0 <= X < 2^(n-1)
[X]原 = 2^(n-1) - X， -2^(n-1) < X <= 0
例如：[+6]原 = 6，把6轉換為8位二進制數，就得到原碼0000 0110。（本此說明的最后將會提供一個把十進制數轉換為機器碼的C++算法實現）。
[-6]原 = 2^(8-1) – (-6) = 256 + 6 = 262，，把262轉換為8位二進制數，就得到原碼1000 0110。即最高位本來是0，加了一個2^(8-1)后，最高位就變成1了。
同樣給出補碼的數學表達式：
[X]補 = X， 0 <= X < 2^(n-1)
[X]補 = 2^n + X， -2^(n-1) <= X < 0
和原碼一樣，正數的補碼就等于真值。負數的補碼則該機器數的補碼是對它的原碼（除符號位外）各位取反，并在未位加1而得到的。
（三）反碼
機器數的反碼可由原碼得到。如果機器數是正數，則該機器數的反碼與原碼一樣；如果機器數是負數，則該機器數的反碼是對它的原碼（符號位除外）各位取反而得到的。設有一數X，則X的反碼表示記作［X］反。反碼和原碼的關系很緊密，反碼表示法規定：正數的反碼與其原碼相同；負數的反碼是對其原碼逐位取反，但符號位除外。
（四）補碼的加法運算規則
[X＋Y]補= [X]補＋[Y]補該式表明，當有符號的兩個數采用補碼形式表示時，進行加法運算可以把符號位和數值位一起進行運算（若符號位有進位，則丟掉），結果為兩數之和的補碼形式。
例如用補碼進行下列運算：（＋33）補＋（＋15）補；（＋33）補＋（－15）補。
計算這樣一個補碼數時，首先要記得把相應的補碼數寫成二進制數（有符號位）。如圖所示的就是以上兩個補碼加法運算式。最終的結果分別是[+48]補和[+18] 補。
00100001 【+33】 00100001 【+33】
00001111 【+15】 11110001 【-15】
---------------------------------------------------------------------------
00110000 【+48】 100010010 【+18】
圖 兩個補碼加法運算示例
（五）補碼的減法運算規則
[X-Y]補=[X]補+[-Y]補
該式表明，求[X-Y]補可以用[X]補與[-Y]補相加來實現。
[-Y]補是對減數進行求負操作。一般稱已知[Y]補求得[-Y]補的過程叫變補或求負。已知[+Y]補求[-Y]補的規則是全部位（含符號位）按位取反后再加1。
例如：已知[+15]補=00001111B，則[-15]補=11110000B+1=11110001B
或：0- [+15]補=0–10001111B=11110001B
現在例舉補碼減法運算示例。仍假設X=+33，Y=+15，現要求[X-Y]補。
先求得[X]補=00100001B，[Y]補=00001111B，根據以上介紹的補碼負操作規則，可以得到[-Y]補=11110001B。然后再用[X]補＋[-Y]補公式即可得到最終的[X–Y]補。運算過程如圖所示。如果是X= -33，Y= -15，如果仍要求[X-Y]補，則同樣需要求[-Y]補，也即[-（-15）]補，實際上是要求[+15]的補碼。因為已知了[-15]補=11110001B，根據前面介紹的補碼負操作規則，可以很快得出[＋15]補=00001111B。這樣[X-Y]補就等于[-33]補+[+15]補，運算過程如圖2-15右圖所示。
001000001 【X】補 11011111 【-33】
+1111000 1 【-Y】補 + 00001111 【+15】
-----------------------------------------------------------------------------------------
100010010 【+18】 11101110 【-18】
圖 兩個補碼減法運算示例
（六）溢出討論
下面的問題是如何檢查加減運算中的溢出問題。通常有三種表述方式（說法）：
(1) 兩個符號相同的補碼數相加，如果和的符號與加數的符號相反，或兩個符號相反的補碼數相減，差的符號與減數的符號相同，都屬于運算結果溢出。這種判別方法比較復雜，要區別加還是減兩種不同運算情況，還要檢查結果的符號與其中一個操作數的符號的同異，故很少使用；
(2) 兩個補碼數相加減時，若最高數值位向符號位送的進位值與符號位送向更高位的進位值不相同，也是運算結果溢出。
(3) 在采用雙符號位（如定點小數的模4補碼）運算時，若兩個符號位的得值不同（01或10）則是溢出。01表明兩個正數相加，結果大于機器所能表示的最大正數，稱為"上溢"；10表明兩個負數相加，結果小于機器所能表示的最小負數，稱為"下溢"；雙符號位的高位符號位，不管結果溢出否，均是運算結果正確的符號位，這個結論在乘法運算過程中是很有實際意義的。請注意，在采用雙符號位的方案中，在寄存器和內存儲器存儲數據時，只需存一位符號，雙符號位僅用在加法器線路部分。
二、思路
本次實驗的的思路主要是根據數值間的轉化設計，運用原理的思想將十進制轉化成二進制，進而求出原碼和補碼。
首先，定義一個函數void Binary(int n)將正整數轉化成二進制（負數的比較特別，后面用另外的函數求得）其中的變量n是輸入的十進制正整數。其轉化方式主要是運用除2取余法！將結果保留在一維數組中，方便以后使用。其次定義了輸出函數void Print(int a[])主要是輸出最后求出的二進制、原碼。由于補碼的輸出特別些，我目前想不到更好的方法就另加啦個輸出補碼的輸出函數void Printbm(int a[])，其主要原因是將最高位置1（用了||運算符）。最后，就是再定義了一個求負數的二進制的函數void Nbinary(int a[])主要是對應負數的二進制的各位作啦相應變換。其一負數的二進制是其正數二進制的各位取反再加1，其二就是對進位的處理，從低到高一次掃描，發現2時就將其置1，再將其下一位加1，依次類推，則可以求出負整數的二進制碼，再運用相應的運算求出其原碼，補碼。
程序的結尾就是運用main（）函數調用函數輸出結果。
三、流程圖
四、存在問題
對于本次試驗程序，本人覺得存在很多的不足，很多地方自己覺得繁瑣但又不知道怎樣修整比較好，也就是勉強能調試出結果。在很多方法上應該有更簡便的方法，但卻不知道怎么修改。望老師指點、修整。
五、程序源代碼
#include "iostream"
Using namespace std;
const int MAX=32;
int a[MAX]={0};
int c[MAX]={0};
void Delete(int a[])//主要是清除運行時修改的，將其賦成¨
{
for(int i=0;i<MAX;i++)
a[i]=0;
}
void Binary(int a[],int n)//正數的二進制轉換
{
Delete(a);
int b,i=0;
while(n>0)//除取余法
{
b=n%2;
n=(n-b)/2;
a[i]=b;
i++;
}
}
void Print(int a[])//輸º出函數
{
for( int i=MAX-1;i>=0;i--)
{
cout<<a[i];
}
}
void Nbinary(int a[],int x)//負數º的二進制轉換函¡數
{
Delete(a);
int b,i=0;
x=-x;
while(x>0)//除取¨余法
{
b=x%2;
x=(x-b)/2;
a[i]=b;
i++;
}
for(int i=0;i<MAX;i++)//相應位取反
{
if(a[i]==0)
a[i]=1;
else
a[i]=0;
}
a[0]=a[0]+1;//取反¤后¨再在¨末位加¨一，轉換成負數的二進制碼
for(int i=0;i<MAX;i++)
{
if(a[MAX-1]==2)
a[MAX-1]=0;
else
if(a[i]==2)//處理相¨加¨后¨的進位?
{
a[i]=0;
a[i+1]=a[i+1]+1;
}
else
break;
}
}
void Printf(int x)
{
if(x>=0)
{
Binary(a,x);//正y數ºy的Ì?二t進?制?和¨ª補1碼?一°?致?
cout<<"二t進?制?：êo";
Print(a);
cout<<endl;
cout<<" 補1碼?：êo";
Print(a);
cout<<endl;
}
else
{
Nbinary(a,x);//負o數ºy的Ì?補1碼?和¨ª二t進?制?也°2一°?樣¨´
cout<<"二t進?制?：êo";
Print(a);
cout<<endl;
cout<<" 補1碼?：êo";
Print(a);
cout<<endl;
}
}
void add(int a[],int b[])//補1碼?加¨®法¤¡§
{
int d[MAX]={0};
for(int i=0;i<MAX;i++)
{
d[i]=d[i]+a[i]+b[i];
if(d[i]==2)//處ä|理¤¨ª相¨¤加¨®后¨®的Ì?進?位?
{
d[i]=0;
d[i+1]=d[i+1]+1;
}
else if(d[i]==3){
d[i]=1;
d[i+1]=d[i+1]+1;
}
}
for(int i=MAX-1;i>=0;i--){
cout<<d[i];}
cout<<endl;
}
void sub(int a[],int b[])//補1碼?減?法¤¡§
{
for(int i=0;i<MAX;i++)//相¨¤應®|位?取¨?反¤¡ä
{
if(b[i]==0)
b[i]=1;
else
b[i]=0;
}
b[0]=b[0]+1;//取¨?反¤¡ä后¨®再¨´在¨²末?位?加¨®一°?，ê?轉Áa換?成¨¦負o數ºy的Ì?-[Y]補1
for(int i=0;i<MAX;i++)
{
if(b[MAX-1]==2)
b[MAX-1]=0;
else
if(b[i]==2)//處ä|理¤¨ª相¨¤加¨®后¨®的Ì?進?位?
{
b[i]=0;
b[i+1]=b[i+1]+1;
}
else
break;
}
add(a,b);
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
int x,y,z;
cout<<" Please input the first integer :";
cin>>x;
Printf(x);//輸º?出?第̨²一°?個?數ºy
for(int i=0;i<MAX;i++){
c[i]=a[i];
}
cout<<" Please input the second integer :";
cin>>y;
Printf(y);//輸º?出?第̨²二t個?數ºy
cout<<endl;
cout<<"The Result of the addition (a+b) is :";
add(c,a);
cout<<"TheResult of the subtraction (a-b) is :";
sub(c,a);
return 0;
system("pause");
}
六、程序結果
王秋林
3100200089
posted on 2010-09-26 15:44
王秋林 閱讀(1400)
評論(0) 編輯 收藏 引用