幾乎所有的程序員都寫過類似于“洗牌”的算法，也就是將一個數(shù)組隨機(jī)打亂后輸出，雖然很簡單，但是深入研究起來，這個小小的算法也是大有講究。我在面試程序員的時候，就會經(jīng)常讓他們當(dāng)場寫一個洗牌的函數(shù)，從中可以觀察到他們對于這個問題的理解和寫程序的基本功。
在深入討論之前，必須先定義出一個基本概念：究竟洗牌算法的本質(zhì)是什么？也就是說，什么樣的洗牌結(jié)果是“正確”的？
云風(fēng)曾經(jīng)有一篇博文，專門討論了這個問題，他也給出了一個比較確切的定義，在經(jīng)過洗牌函數(shù)后，如果能夠保證每一個數(shù)據(jù)出現(xiàn)在所有位置的概率是相等的，那么這種算法是符合要求的。在這個前提下，盡量降低時間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度就能得到好的算法。
第一個洗牌算法：
隨機(jī)抽出一張牌，檢查這張牌是否被抽取過，如果已經(jīng)被抽取過，則重新抽取，直到找到?jīng)]被抽出過的牌，然后把這張牌放入洗好的隊(duì)列中，重復(fù)該過程，直到所有的牌被抽出。
大概是比較符合大腦對于洗牌的直觀思維，這個算法經(jīng)常出現(xiàn)在我遇到的面試結(jié)果中，雖然它符合我們對于洗牌算法的基本要求，但這個算法并不好，首先它的復(fù)雜度為O(N2)，而且需要額外的內(nèi)存空間保存已經(jīng)被抽出的牌的索引。所以當(dāng)數(shù)據(jù)量比較大時，會極大降低效率。
第二個算法：
設(shè)牌的張數(shù)為n，首先準(zhǔn)備n個不容易碰撞的隨機(jī)數(shù)，然后進(jìn)行排序，通過排序可以得到一個打亂次序的序列，按照這個序列將牌打亂。
這也是一個符合要求的算法，但是同樣需要額外的存儲空間，在復(fù)雜度上也會取決于所采用的排序算法，所以仍然不是一個好的算法。
第三個算法：
每次隨機(jī)抽出兩張牌交換，重復(fù)交換一定次數(shù)次后結(jié)束
void shuffle(int* data, int length)
{
for(int i=0; i<SWAP_COUNTS; i++)
{
//Rand(min, max)返回[min, max)區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)數(shù)
int index1 = Rand(0, length);
int index2 = Rand(0, length);
std::swap(data[index1], data[index2]);
}
}
這又是一個常見的洗牌方法，比較有意思的問題是其中的“交換次數(shù)”，我們該如何確定一個合適的交換次數(shù)？簡單的計(jì)算，交換m次后，具體某張牌始終沒有被抽到的概率為((n-2)/n)^m，如果我們要求這個概率小于1/1000,那么m>-3*ln(10)/ln(1-2/n),對于52張牌，這個數(shù)大約是176次，需要注意的是，這是滿足“具體某張牌”始終沒有被抽到的概率，如果需要滿足“任意一張牌”沒被抽到的概率小于1/1000，需要的次數(shù)還要大一些，但這個概率計(jì)算起來比較復(fù)雜，有興趣的朋友可以試一下。
Update: 這個概率是
，推算過程可以參考這里，根據(jù)這個概率，需要交換280次才能符合要求
第四個算法：
從第一張牌開始，將每張牌和隨機(jī)的一張牌進(jìn)行交換
void shuffle(int* data, int length)
{
for(int i=0; i<length; i++)
{
int index = Rand(0, length);
std::swap(data[i], data[index]);
}
}
很明顯，這個算法是符合我們先前的要求的，時間復(fù)雜度為O(N)，而且也不需要額外的臨時空間，似乎我們找到了最優(yōu)的算法，然而事實(shí)并非如此，看下一個算法。
第五個算法：
void shuffle(int* data, int length)
{
for(int i=1; i<length; i++)
{
int index = Rand(0, i);
std::swap(data[i], data[index]);
}
}
一個有意思的情況出現(xiàn)了，這個算法和第三種算法非常相似，從直覺來說，似乎使數(shù)據(jù)“雜亂”的能力還要弱于第三種，但事實(shí)上，這種算法要強(qiáng)于第三種。要想嚴(yán)格的證明這一點(diǎn)并不容易，需要一些數(shù)學(xué)功底，有興趣的朋友可以參照一下這篇論文，或者matrix67大牛的博文，也可以這樣簡單理解一下，對于n張牌的數(shù)據(jù)，實(shí)際排列的可能情況為n! 種，但第四種算法能夠產(chǎn)生n^n種排列，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于實(shí)際的排列情況，而且n^n不能被n!整除，所以經(jīng)過算法四所定義的牌與牌之間的交換程序，很可能一張牌被換來換去又被換回到原來的位置，所以這個算法不是最優(yōu)的。而算法五輸出的可能組合恰好是n!種，所以這個算法才是完美的。
事情并沒有結(jié)束，如果真的要找一個最優(yōu)的算法，還是請出最終的冠軍吧！
第六個算法：
void shuffle(int* data, int length)
{
std::random_shuffle(data, data+length);
}
沒錯，用c++的標(biāo)準(zhǔn)庫函數(shù)才是最優(yōu)方案，事實(shí)上，std::random_shuffle在實(shí)現(xiàn)上也是采取了第四種方法，看來還是那句話，“不要重復(fù)制造輪子”