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動力學(xué)模擬基礎(chǔ)—細(xì)長桿
BY：張皓(ZH1110)
動力學(xué)是以牛頓運(yùn)動定律為基礎(chǔ)全面的研究物體的運(yùn)動與作用與物體上的力的關(guān)系，其對象被理想化為質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系，研究剛性、彈性碰撞，當(dāng)然也包括變形的固體和流體。借助與計算機(jī)可模擬各種真實(shí)的運(yùn)動，如飛機(jī)在天空受空氣阻力及慣性作用下的飛行姿勢，篩子落到桌面后的滾動等均可用其模擬，對于現(xiàn)代游戲開發(fā)具有一定意義。
本章介紹了動力學(xué)中剛性運(yùn)動的模擬過程，碰撞采用離散碰撞檢測算法。
首先我們研究細(xì)長桿的運(yùn)動，查物理用表或積分得到細(xì)長桿運(yùn)動時慣性量度，當(dāng)我們已知剛體受的力矩（或外力）就可通過其求解出運(yùn)動規(guī)律。
細(xì)長桿在未受任何外力的情況下屬于平面運(yùn)動（可以看作是在宇宙空間中），其任意點(diǎn)角度位置是相對于重心的單值連續(xù)函數(shù)，具此可求出所有離散點(diǎn)上細(xì)長桿兩端點(diǎn)位置：
D3DXVec3Add l.p, l.p, l.V '平動的位置
l.ang = l.ang - l.angv '轉(zhuǎn)動角度，這里我們假設(shè)順時針旋轉(zhuǎn)為正方向
l.ver1.x = l.p.x + Cos(l.ang) '第一個端點(diǎn)的位置(不妨設(shè)桿長為2)
l.ver1.y = l.p.y + Sin(l.ang)
l.ver2.x = l.p.x - Cos(l.ang) '第二個端點(diǎn)的位置
l.ver2.y = l.p.y - Sin(l.ang)
細(xì)長桿剛體的動能包括平動的動能和轉(zhuǎn)動的動能，當(dāng)其與其他物體發(fā)生碰撞后兩個動能都會發(fā)生改變，但總動能與動量是平衡的
如計算桿與地面碰撞,因地面的質(zhì)量無限大,不吸收動能,碰撞后桿完全反彈,得到第一個式子:
1.
這個式子有兩個未知量,求解還須其他方程.
如圖,我們假設(shè)碰撞生產(chǎn)的力為F，作用時間為t,桿質(zhì)量為M. 力F可分解為作用于重心力矩和對桿產(chǎn)生平移的力.
得到第二,第三個式子:
2.
3.
現(xiàn)在通過以上三個式子求解碰撞后的速度V'及角速度ω':
將2,3兩式削去Ft/M,合并得:
將ω'代入第一個方程,簡化方程...
最后,用求根公式解出我們所要的速度V',再用V'去求我們需要的其他兩個答案:
式中d為重心到撞擊力的垂直距離，可以通過兩個單位向量的點(diǎn)積求出，從中我們還可看到結(jié)果與物體的質(zhì)量并無直接的關(guān)系。改變相應(yīng)旋轉(zhuǎn)半徑數(shù)值,公式也可適用于非細(xì)長桿物體.
桿與桿之間的碰撞：
桿與桿之間的碰撞與上面類似，動能平衡方程應(yīng)建立在兩個桿上，且因?yàn)樽饔昧εc反作用力的關(guān)系，受反作用力一方F取負(fù)值
建立方程組如下：
計算得到的V1'如下,代入另幾個方程計算出需要的其他答案
計算碰撞的精確位置
我們檢測到的狀態(tài)兩桿已經(jīng)相交，但我們需要的是碰撞一剎那或即將發(fā)生碰撞的位置，這可通過二分法計算，對于任意狀態(tài)：
1.判斷如果已經(jīng)相交則兩桿狀態(tài)向后T=T/2周期
2.判斷如果未相交則兩桿狀態(tài)向前T=T/2周期
3.計算誤差是否達(dá)到允許值，如果達(dá)到退出循環(huán)
4.轉(zhuǎn)到過程1
經(jīng)過幾次的細(xì)分計算后誤差就基本達(dá)到我們的要求了
有待解決的問題：當(dāng)一桿穿過另一桿即發(fā)生'刺穿'現(xiàn)象，程序未檢測到相交，產(chǎn)生錯誤的判斷，對于扁平的物體這個問題尤其突出，考慮使用連續(xù)算法進(jìn)行輔助的計算。還有一個問題既當(dāng)多個物體同時發(fā)生碰撞時不能很有效的處理。
盡管離散碰撞檢測算法存在一些問題，但由于其檢測過程的快速性能較好，所以仍是目前碰撞檢測算法研究的重點(diǎn)。
最后，如果有什么問題(本文包括代碼)可以告訴我(ZH1110)。