物理學----碰撞
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現在你已了解了粒子和剛體的運動，接著要看當它們撞在一起時會發生什幺事情.這就是本章計論的主題，物別是告訴你如何處理粒子和剛體的碰撞反應。
在開始之前,先將碰撞“偵測”和碰撞“反應”做個區分。做個區分。碰撞偵測是計算的幾何問題，這牽扯到判斷兩物體(或更多)是否碰撞及在何處碰撞。而碰撞反應是物理問題，牽涉到兩物體(或更多)在碰撞之后的運動。雖然這兩類問題密切相關，而本章將著重討論碰撞反應方面的問題。
然而我必須說，碰撞偵測并沒有被忽略：它是假定物體不能互相穿透的實時仿真中要考慮的重要方面。碰撞反應算法依據碰撞偵測算法的結果，以準確地判斷任何碰撞的適當反應；因此，應確定你的碰撞偵測法則是準確而可靠的。也就是說，碰撞偵測不是件簡單的差事，我發現要完整地實現它比剛體仿真的物理層面還難上許多。就游戲應用而言，執行速度也是主要的議題，相信你是知道的，十分精確的碰撞偵測會很慢。正是由于速度和簡單的緣故，我們將利用邊界球體(以及邊界方塊)與邊和面的碰撞偵測法則。在第十三章、第十六章的范例仿真中將談到更多關于此主題的內容。
本章中對剛體碰撞反應的處理是根據標準的(牛頓)碰撞定律。碰撞的物體無論其結構與材質皆視為剛體。如同前幾章一樣，這里討論的剛體即使在碰撞時也不改變其外形。當然，這只是理想化的情況。從日常經驗中可知，當物體相撞時它們會凹冊陷、彎曲、壓縮或起皺。例如，當棒球擊中球棒時，棒球在撞擊的毫秒間會壓縮3/4英寸。盡管這是事實，我們仍依賴完整的分析及經驗方法來估算剛體碰撞。
這種標準的方法廣泛地應用于工程機械設計、分析和仿真；然而，就剛體仿真而言，有另一套方法可使用，就是“懲罰法”(penalty method) (注1)。
懲罰法中，撞擊力就是使撞擊點上的物體間壓縮的暫時彈力。此彈力壓縮經過很短暫的時間，并將大小相等且方向相反的力作用于碰撞物體上以仿真碰撞反應。此方法的提議者說它有容易實現的好處。然而實現上碰到的困難之一是數值的不穩定。懲罰法的使用還有其它爭議，在這里不加以討論。我將許多參考資料加入參考文獻中，若你有興趣可以看看。
沖量/動量定律
沖力的定義是作用時間非常短暫的力。例如，開槍時施加在子彈上的力稱為沖力。兩碰撞物體間的碰撞力也稱為沖力，當你踢足球或以球棒擊中棒球時也是沖力。
沖量是一個向量，其大小等于動量的變化量。所謂的“沖量/動量”定律，就是力矩的變化等于所作用的沖量。關于定質量及轉動慣量的問題。可寫成
線性沖量= F dt=m( -v )
角沖量= M dt=I( - )
這些等式中。F是沖力，M是沖力的力矩，t是時間，v是速度，下標符號 ﹣表示沖撞前的瞬間， 上標符號+表示沖撞后的瞬間。用下列等式便可求出平均沖力及力矩：
F=m( -v )/( - )
M=I( - )/( - )
考慮下面這個簡單的例子：150g (0.01028 slug)的子彈以槍口速度2480ft/s發射出去，通過24in.長的槍管共花了0.0008s；求子彈受到的沖量及平均沖力。本例中，子彈的質量固定為150g，而其初速度為0；因此，其初動量為0。在開槍后一瞬間，子彈的動量為其質量乘以槍口速度2480ft/s，得到動量等于25.2 slug.ft/s。沖量等于動量的變化量，所以是25.5 slug.ft/s。平均沖力等于沖量除以力作用的時間，本例為：
平均沖力=(25.5 slug-ft/s)/(0.0008s)
平均沖力 = lb
注：本文章用此準方法并提到懲罰法，只是要讓你知道將示范的方法不只一個。大致來說，“懲罰法”中的“懲罰法”是指反彈常數，它通常很大，用來表示反彈的的僵硬程度從而表示碰撞物體的硬度(或軟度)。這些常數會在描述物體碰撞前后的運動等式中用到。
這是對沖量概念簡單而重要的說明，而在你處理剛體碰撞時也會用到相同的定律。撞擊期間，沖撞力通常很大，而撞擊時間很短。當兩物體相撞時，兩者均施沖力于對方；這些力大小相等而方向相反。在步槍范例中，施于子彈上的沖量，也以反方向施于步槍上而產生后坐力。這就是牛頓第三運動定律。
撞擊
除了上一節討論的沖量/動量定律，標準的撞擊或碰撞反應分析依據另一個基本定律：牛頓的動量守恒定律 － 當剛體系統碰撞時，動量守恒。這表示固定質量的物體，其質量與速度之積的總和在撞擊前后是相等的：
-+ = -+
這里，m代表質量，v代表速度，下標符號1表示物體1、下標符號2表示物體，下標符號 – 表示撞擊前的瞬間，而下標符號 + 表示撞擊后的瞬間。
本方法假設撞擊瞬間主要的力是沖撞力，其它的力都假設為在短時間內可忽略。記住此假設，因為稍后的第十三章實現碰撞反應2D實時仿真范例時，將用到它。先前提到剛體在碰撞時并不會改變外形，而你自身的經中真實的物體在碰撞時確實改變了外形。真實世界中，動能會轉成應變能(strain energy)，使物體變形。當物體的變形是永久的時，能量消失，因此動能不會轉換。
動能
動能是關于移動物體的能量形式。動能等于物體從靜止加速所需的能量，也等于使移動物體靜止所需的能量。動能是物體速率或速度與其質量的函數。線性動能的公式如下：
Kelinear=(1/2)
角或動動能是物體的轉動慣量及角速度的函數：
Keangular=(1/2)
兩碰撞物體間的動能守恒是指，兩物體碰撞的能量總和等于碰撞后的能量總和：
+ + +
牽涉到動量散失的碰撞稱為非彈性碰撞或塑性碰撞。例如，若以相反方向丟出兩個泥球，它們的動能轉化成使泥球變形的應變能，而它們的碰撞反應(即撞擊之后的運動)就沒那幺引人注目。若為完全非彈性碰撞，則兩泥球會粘在一塊且在撞擊后以相同的速度一起移動。動能守恒的碰撞稱為完全彈性碰撞。在這些碰撞中，所有物體動能的總和在撞擊前后是相等的。彈性碰撞(雖非完全彈性)的最佳范例是兩顆撞球間的碰撞，其中球的變形是可忽略的，而且在正常情況下是非永久的。
當然事實上，碰撞大多介于完全彈性和完全非彈性這間。這表示就剛體而言(其外形不會改變)，將利用由經驗得出的關系式為要仿真的碰撞的彈性程度定量。此關系式是碰撞物體的相對分離速度與相對接近速度的比例：
e= － (v - v )/(v - v )
這里，e是恢復系數(coefficient of restitution)且為物體材質、結構、幾何形狀的函數。這個系數可由特殊的碰撞實驗測得，例如，棒球與球棒或高爾夫球棍與球之間的碰撞。對于完全非彈性碰撞，e等于0；而對于完全彈碰撞，e等于1。對于既不是完全彈性也不是完全非彈性的碰撞的情況，e是介于0和1之間的任意值。在這方面，所考慮的速度沿著碰撞的作用線。
在無摩擦力的碰撞中，撞擊的作用線垂直(或正交)于碰撞的接觸面。當物體速度沿著作用線時，這種碰撞稱為“中心碰撞”(central impact)。粒子與質量分布均勻的球體遭受的撞擊都是中心碰撞。而直接中心碰撞發生在作用線通過碰撞物體質心且速度沿著作用線時。當物體速度不沿著作用線時，這種撞擊稱為“傾斜碰撞”(oblique impact)。你可以利用分量坐標來分析傾斜碰撞，擔其中平行于作用線的分量才與撞擊有關，而垂直于作用線的分量則無。圖5-1顯示了這些撞擊。
來看一個例子，考慮圖5-2中兩顆撞球之間的碰撞。
兩顆球直徑都是標準的2.25in.，重量都為5.5oz.，假設碰撞幾乎是完全彈性的且恢復系數是0.9。若當球1撞倒球2時其x方向的速度為20ft/s，如圖5-2所示，求兩球碰撞后的速度(不考慮摩擦力)。
所要做的第一件事就是確認撞擊的作用線是沿著兩球重心聯機，因為兩物體皆為球體，所以其它用線亦垂直于球體表面。則其單位垂直向量可寫成：
n= /|n|
n=(0.866)i - (0.5)j
圖5-1：撞擊的種類
圖5-2：撞球碰撞范例
其中n是單位法線向量，r是球半徑，而i和j分別表示<span lang=EN-US style='font-family:"Trebuchet MS","sans-serif";mso-fareast-font-fami