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梅森素數(shù)--美麗的貝殼

一、價值五萬美元的素數(shù)

? ?2000年4月6日，住在美國密歇根州普利茅茨的那揚·哈吉拉特瓦
拉(Nayan Hajratwala)先生得到了一筆五萬美元的數(shù)學獎金，因為他
找到了迄今為止已知的最大素數(shù)，這是一個梅森素數(shù)：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2^6972593-1。
這也是我們知道的第一個位數(shù)超過一百萬位的素數(shù)。精確地講，如果
把這個素數(shù)寫成我們熟悉的十進制形式的話，它共有兩百零九萬八千
九百六十位數(shù)字，如果把它以這個形式寫下來，大約需要150到200篇
本文的篇幅。

? ?可是哈吉拉特瓦拉先生并不是一個數(shù)學家，他甚至很可能對尋找
素數(shù)的數(shù)學理論一無所知——雖然這使他贏得了這筆獎金。他所做的
一切，就是從互聯(lián)網(wǎng)上下載了一個程序。這個程序在他不使用他的奔
騰II350型計算機時悄悄地運行。在經(jīng)過111天的計算后，上面所說的
這個素數(shù)被發(fā)現(xiàn)了。

二、梅森素數(shù)

? ?我們把一個大于1的自然數(shù)叫作素數(shù)，如果只有1和它本身可以整
除它。如果一個比1大的自然數(shù)不是素數(shù)，我們就叫它合數(shù)。1既不是
素數(shù)，也不是合數(shù)。

? ?比如說，你很容易就可以驗證7是一個素數(shù)；而15是一個合數(shù)，因
為除了1和15外，3和5都可以整除15。根據(jù)定義，2是一個素數(shù)，它是
唯一的偶素數(shù)。早在公元前三百年的古希臘時代，偉大的數(shù)學家歐幾
里德就證明了存在著無窮多個素數(shù)。

? ?關于素數(shù)，有許多既簡單又美麗，但是極為困難的，到現(xiàn)在還沒
有答案的問題。其中有著名的哥德巴赫猜想，它是說任何一個大于6的
偶數(shù)，都能表示為兩個奇素數(shù)之和。還有孿生素數(shù)問題。象5和7，41
和43這樣相差2的素數(shù)對，被稱為孿生素數(shù)。孿生素數(shù)問題是說：是不
是有無窮多對孿生素數(shù)？這里要順便提一下的是，這些看起來很簡單
的數(shù)學問題，它們的解決方法將一定是極其復雜的，需要最先進的數(shù)
學工具。如果你不是狂妄到認為幾百甚至幾千年來所有在這些問題上
耗費了無數(shù)聰明才智的數(shù)學家（有許多是非常偉大的）和數(shù)學愛好者
加起來都不如你聰明，就不要試圖用初等方法去解決這些問題，徒費
時間和精力。

? ?古希臘人還對另一種數(shù)感興趣。他們將它稱為完美數(shù)。一個大于1
的自然數(shù)叫完美數(shù)，如果它的所有因子（包括1，但不包括本身）之和
等于它本身。比如說6=1+2+3就是最小的完美數(shù)，古希臘人把它看作維
納斯也就是愛情的象征。28=1+2+4+7+14是另一個完美數(shù)。歐幾里德證
明了：一個偶數(shù)是完美數(shù)，當且僅當它具有如下形式：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2^(p-1)(2^p-1)
其中2^p-1是素數(shù)。上面的6和28對應著p=2和3的情況。我們只要找到
了一個形如2^p-1的素數(shù)，也就知道了一個偶完美數(shù)；我們只要找到所
有形如2^p-1的素數(shù)，也就找到了所有偶完美數(shù)。所以哈吉拉特瓦拉先
生不但找到了世界上已知的最大的素數(shù)，還找到了世界上已知的最大
的偶完美數(shù)。嗯，你要問，關于奇完美數(shù)又是怎么樣的情況？回答是：
我們現(xiàn)在連一個奇完美數(shù)也沒有找到過，我們甚至根本不知道是不是
有奇完美數(shù)存在。我們只知道，要是有奇完美數(shù)存在的話，它一定是
非常非常大的！奇完美數(shù)是否存在這個問題，也是一個上面所說的既
簡單又美麗，但是極為困難的著名數(shù)學問題。

? ?有很長一段時間人們以為對于所有素數(shù)p，
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?M_p=2^p-1 ?
都是素數(shù)（注意到要使2^p-1是一個素數(shù)，p本身必須是一個素數(shù)，想
一想為什么？）但是在1536年雷吉烏斯(Hudalricus Regius)指出，
M_11=2^11-1=2047=23*89不是素數(shù)。

? ?皮特羅·卡塔爾迪(Pietro Cataldi)首先對這類數(shù)進行了系統(tǒng)的
研究。他在1603年宣布的結果中說，對于p=17，19，23，29，31和37，
2^p-1是素數(shù)。但是1640年費爾馬使用著名的費爾馬小定理（不要和那
個費爾馬大定理混淆起來）證明了卡塔爾迪關于p=23和37的結果是錯
誤的，歐拉在1738年證明了p=29的結果也是錯的，過后他又證明了關
于p=31的結論是正確的。值得指出的是，卡塔爾迪是用手工一個一個
驗算取得他的結論的；而費爾馬和歐拉則是使用了在他們那時最先進
的數(shù)學知識，避免了許多復雜的計算和因此可能造成的錯誤。

? ?法國神父梅森(Marin Mersenne)在1644年他發(fā)表了他的成果。他
宣稱對于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127和257，2^p-1都是
素數(shù)，而對于其它小于257的素數(shù)p，2^p-1都是合數(shù)。今天我們把形如
M_p=2^p-1的素數(shù)叫做梅森素數(shù)，M_p中的M就是梅森姓氏的第一個字母。

? ?用手工來判斷一個很大的數(shù)是否素數(shù)是相當困難的，梅森神父自
己也承認他的計算并不一定準確。一直要等到一個世紀以后，在1750
年，歐拉宣布說找到了梅森神父的錯誤：M_41和M_47也是素數(shù)。可是
偉大如歐拉也會犯計算錯誤——事實上M_41和M_47都不是素數(shù)。不過
這可不是說梅森神父的結果就是對的。要等到1883年，也就是梅森神
父的結果宣布了兩百多年后，第一個錯誤才被發(fā)現(xiàn)：M_61是一個素數(shù)。
然后其它四個錯誤也被找了出來：M_67和M_257不是素數(shù)，而M_89和
M_107是素數(shù)。直到1947年，對于p<=257的梅森素數(shù)M_p的正確結果才
被確定，也就是當p=2，3，5，7，13，17，19，31，61，89，107和
127時，M_p是素數(shù)。現(xiàn)在這個表已經(jīng)被反復驗證，一定不會有錯誤了。

? ?下面是我們現(xiàn)在知道的所有梅森素數(shù)的列表：（我們注意到梅森
神父的名字不在上面——這種素數(shù)已經(jīng)由他的名字命名了，就把榮譽
分給最后確認者吧。）

序號 ? p ? ? ? ? ? M_p的位數(shù) ? ?相對應的 ? 確認 ? ? ?確認人
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 完美數(shù)的 ? 年代
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 位數(shù)
1 ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ?---- ? ? ?----
2 ? ? ? ? ? ?3 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ?2 ? ? ?---- ? ? ?----
3 ? ? ? ? ? ?5 ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ?3 ? ? ?---- ? ? ?----
4 ? ? ? ? ? ?7 ? ? ? ? ? ?3 ? ? ? ? ? ?4 ? ? ?---- ? ? ?----
5 ? ? ? ? ? 13 ? ? ? ? ? ?4 ? ? ? ? ? ?8 ? ? ?1456 ? ? ?佚名
6 ? ? ? ? ? 17 ? ? ? ? ? ?6 ? ? ? ? ? 10 ? ? ?1588 ? ? ?Cataldi
7 ? ? ? ? ? 19 ? ? ? ? ? ?6 ? ? ? ? ? 12 ? ? ?1588 ? ? ?Cataldi
8 ? ? ? ? ? 31 ? ? ? ? ? 10 ? ? ? ? ? 19 ? ? ?1772 ? ? ?Euler
9 ? ? ? ? ? 61 ? ? ? ? ? 19 ? ? ? ? ? 37 ? ? ?1883 ? ? ?Pervushin
10 ? ? ? ? ?89 ? ? ? ? ? 27 ? ? ? ? ? 54 ? ? ?1911 ? ? ?Powers
11 ? ? ? ? 107 ? ? ? ? ? 33 ? ? ? ? ? 65 ? ? ?1914 ? ? ?Powers
12 ? ? ? ? 127 ? ? ? ? ? 39 ? ? ? ? ? 77 ? ? ?1876 ? ? ?Lucas
13 ? ? ? ? 521 ? ? ? ? ?157 ? ? ? ? ?314 ? ? ?1952 ? ? ?Robinson
14 ? ? ? ? 607 ? ? ? ? ?183 ? ? ? ? ?366 ? ? ?1952 ? ? ?Robinson
15 ? ? ? ?1279 ? ? ? ? ?386 ? ? ? ? ?770 ? ? ?1952 ? ? ?Robinson
16 ? ? ? ?2203 ? ? ? ? ?664 ? ? ? ? 1327 ? ? ?1952 ? ? ?Robinson
17 ? ? ? ?2281 ? ? ? ? ?687 ? ? ? ? 1373 ? ? ?1952 ? ? ?Robinson
18 ? ? ? ?3217 ? ? ? ? ?969 ? ? ? ? 1937 ? ? ?1957 ? ? ?Riesel
19 ? ? ? ?4253 ? ? ? ? 1281 ? ? ? ? 2561 ? ? ?1961 ? ? ?Hurwitz
20 ? ? ? ?4423 ? ? ? ? 1332 ? ? ? ? 2663 ? ? ?1961 ? ? ?Hurwitz
21 ? ? ? ?9689 ? ? ? ? 2917 ? ? ? ? 5834 ? ? ?1963 ? ? ?Gillies
22 ? ? ? ?9941 ? ? ? ? 2993 ? ? ? ? 5985 ? ? ?1963 ? ? ?Gillies
23 ? ? ? ?11213 ? ? ? ?3376 ? ? ? ? 6751 ? ? ?1963 ? ? ?Gillies
24 ? ? ? ?19937 ? ? ? ?6002 ? ? ? ?12003 ? ? ?1971 ? ? ?Tuckerman
25 ? ? ? ?21701 ? ? ? ?6533 ? ? ? ?13066 ? ? ?1978 ? ? ?Noll & Nickel
26 ? ? ? ?23209 ? ? ? ?6987 ? ? ? ?13973 ? ? ?1979 ? ? ?Noll
27 ? ? ? ?44497 ? ? ? 13395 ? ? ? ?26790 ? ? ?1979 ? ? ?Nelson & Slowinski
28 ? ? ? ?86243 ? ? ? 25962 ? ? ? ?51924 ? ? ?1982 ? ? ?Slowinski
29 ? ? ? 110503 ? ? ? 33265 ? ? ? ?66530 ? ? ?1988 ? ? ?Colquitt & Welsh
30 ? ? ? 132049 ? ? ? 39751 ? ? ? ?79502 ? ? ?1983 ? ? ?Slowinski
31 ? ? ? 216091 ? ? ? 65050 ? ? ? 130100 ? ? ?1985 ? ? ?Slowinski
32 ? ? ? 756839 ? ? ?227832 ? ? ? 455663 ? ? ?1992 ? ? ?Slowinski & Gage
33 ? ? ? 859433 ? ? ?258716 ? ? ? 517430 ? ? ?1994 ? ? ?Slowinski & Gage
34 ? ? ?1257787 ? ? ?378632 ? ? ? 757263 ? ? ?1996 ? ? ?Slowinski & Gage
35 ? ? ?1398269 ? ? ?420921 ? ? ? 841842 ? ? ?1996 ? ? ?GIMPS
36 ? ? ?2976221 ? ? ?895932 ? ? ?1791864 ? ? ?1997 ? ? ?GIMPS
37 ? ? ?3021377 ? ? ?909526 ? ? ?1819050 ? ? ?1998 ? ? ?GIMPS
38 ? ? 6972593 ? ? 2098960 ? ? ?4197919 ? ? ?1999 ? ? ?GIMPS
39 ? ?13466917 ? 4053947
40 　 20996011 ?6320431
41 ? ?24036583 ?7235734
42 ? ? 25964951 ? 7816230 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2005

? ?是不是有無窮多個梅森素數(shù)呢？數(shù)學家們目前還無法回答這個問
題。

三、尋找更大的素數(shù)

? ?為什么要尋找梅森素數(shù)？為什么要打破已知最大素數(shù)的紀錄？這
有什么用處呢？

? ?如果你所說的用處是指能夠直接創(chuàng)造物質(zhì)財富，那么我不得不告
訴你——梅森素數(shù)沒有什么用處，多知道一個非常大的素數(shù)似乎也沒
什么用處。即使我們知道了一個無比巨大的梅森素數(shù)，也不會使我們
的錢包增加一分錢（嗨等一等！如果你只對錢感興趣的話，也請不要
立刻撇下我的文章。我其實是說，我上面說的話要排除我在這篇文章
題目中提到的那十萬美元的獎金——你的錢包也許會因此鼓起來的。
所以請耐心一點）。

? ?但是人類并不只需要物質(zhì)財富。博物館里的鉆石有什么用場呢？
為什么人類要收集它們？因為它們美麗而稀少。作為人類智慧的結晶，
素數(shù)、梅森素數(shù)和與它密切相關的完美數(shù)是非常美麗的。它們的定義
簡單，卻又如此神秘莫測，象歐幾里德、笛卡爾、費爾馬、萊布尼茲、
歐拉這樣的偉大數(shù)學家都因為它們的美麗而對它作過大量研究；大家
也看到，兩千多年來，經(jīng)過無數(shù)代人的辛勤工作，我們一共只收集到
38個梅森素數(shù)，它們是非常稀少的。對于數(shù)學家來說，搜集素數(shù)、梅
森素數(shù)和完美數(shù)是和收集鉆石一樣富有樂趣的事情。

? ?人類還需要榮耀——也許更勝于財富。在體育運動中，能夠跑得
更快一點，跳得更高一點，難道真的有實際物質(zhì)方面的用途嗎？不，
我們喜歡接受挑戰(zhàn)，我們希望能贏。打破一個體育世界記錄，攀登珠
穆朗瑪峰，單身駕船橫穿太平洋……，那是對人類體能極限的挑戰(zhàn)；而尋
找更大的素數(shù)，則是一項對人類智慧的挑戰(zhàn)。當我們完成了一項前所
未有的任務時，我們總會感到無比驕傲。1963年，當?shù)?3個梅森素數(shù)
被找到時，發(fā)現(xiàn)它的美國伊利諾斯大學數(shù)學系是如此地驕傲，以致于
把所有從系里發(fā)出的信件都敲上了“2^11213-1是個素數(shù)”的郵戳。

? ?在歐拉證明M_31是素數(shù)以后，下一個最大素數(shù)的記錄由蘭德里
(Landry)于1867年獲得：M_59/179951=3203431780337。這不是一個梅
森素數(shù)。這個記錄保持了九年。

? ?1876年愛德華·盧卡斯使用了一個比費爾馬和歐拉的方法更先進
的手段，證明了M_127是一個素數(shù)。這個記錄保持了七十五年。直到費
里葉(Ferrier)于1951年使用一部手搖計算機證明了(2^148+1)/17是一
個素數(shù)，它有41位數(shù)。

? ?借助手搖計算機的方法要算作手工計算方法還是要算做計算機方
法，大概是可以探討的問題。不過技術的發(fā)展一下子把這種爭論變得
毫無必要。值得指出的是，在人類尋找大素數(shù)的旅途中，數(shù)學理論的
改善要遠遠比具有強大堅韌的計算能力重要得多。盧卡斯的方法在
1930年被勒梅(Lehmer)簡化后，盧卡斯-勒梅測試成為現(xiàn)在尋找梅森素
數(shù)的標準方法。

（盧卡斯-勒梅測試：對于所有大于1的奇數(shù)p，M_p是素數(shù)當且僅當M_p
整除S(p-1)，其中S(n)由S(n+1)=S(n)^2-2，S(1)=4遞歸定義。
4 ?14 194 ?37634 ?1416317954 2005956546822746114
這個測
試尤其適合于計算機運算，因為除以M_p=2^p-1的運算在二進制下可以
簡單地用計算機特別擅長的移位和加法操作來實現(xiàn)。判斷一個梅森數(shù)
是素數(shù)的方法比判斷一個差不多大小的其他類型數(shù)是素數(shù)的方法要簡
單得多，所以在尋找最大素數(shù)的過程中，大部分紀錄都是梅森素數(shù)。）

? ?在1951年米勒和維勒(Miller & Wheeler)借助于EDSAC計算機（這
種計算機還不如我們現(xiàn)在使用的一般計算器，它只有5K的內(nèi)存）發(fā)現(xiàn)
了長達79位的素數(shù)180(M_127)^2+1。這個記錄還是沒能保持多久。次
年羅賓遜應用SWAC計算機，在1952年初發(fā)現(xiàn)了第13和第14號梅森素數(shù)：
M_521和M_607，后面連續(xù)三個梅森素數(shù)也在同一年被陸續(xù)發(fā)現(xiàn)：M_1279，
M_2203和M_2281。

? ?在那以后的年代里，為了打破巨大素數(shù)紀錄而使用的計算機越來
越強大，其中有著名的IBM360型計算機，和超級計算機Cray系列。大
家可以參看上面的梅森素數(shù)表來了解這個競賽過程。在此其間只有一
次一個不是梅森素數(shù)的素數(shù)坐上過“已知最大素數(shù)”的寶座，它是
39158*2^216193-1，在1989年被發(fā)現(xiàn)。1996年發(fā)現(xiàn)的M_1257787是迄今
為止最后一個由超級計算機發(fā)現(xiàn)的梅森素數(shù)，數(shù)學家使用了Cray T94。

? ?然后，GIMPS的時代到來了。

四、GIMPS——互聯(lián)網(wǎng)梅森素數(shù)大搜索

? ?1995年程序設計師喬治·沃特曼(George Woltman)開始收集整理
有關梅森素數(shù)計算的數(shù)據(jù)。他編制了一個梅森素數(shù)尋找程序并把它放
在網(wǎng)頁上供數(shù)學愛好者免費使用。這就是“互聯(lián)網(wǎng)梅森素數(shù)大搜索”
計劃(GIMPS，the Great Internet Mersenne Prime Search)。在這個
計劃中，十幾位數(shù)學專家和幾千名數(shù)學愛好者正在尋找下一個最大的
梅森素數(shù)，并且檢查以前梅森素數(shù)紀錄之間未被探索的空隙。比如上
面的梅森素數(shù)表中，最后那個素數(shù)的序號是未知的，我們不知道第37
號梅森素數(shù)和它之間是否還存在著其他未被發(fā)現(xiàn)的梅森素數(shù)。

1997年斯科特·庫爾沃斯基(Scott Kurowski)和其他人建立了“素數(shù)
網(wǎng)”(PrimeNet)，使分配搜索區(qū)間和向GIMPS發(fā)送報告自動化。現(xiàn)在只
要你去GIMPS的主頁下載那個免費程序，你就可以立刻參加GIMPS計劃
搜尋梅森素數(shù)。幾乎所有的常用計算機平臺都有可用的版本。程序以
最低的優(yōu)先度在你的計算機上運行，所以對你平時正常地使用計算機
幾乎沒有影響。程序也可以隨時被停止，下一次啟動時它將從停止的
地方繼續(xù)進行計算。

? ?從1996年到1998年，GIMPS計劃發(fā)現(xiàn)了三個梅森素數(shù)：M_1398269、
M_2976221和M_3021377，都是使用奔騰型計算機得到的結果。

? ?1999年3月，在互聯(lián)網(wǎng)上活動的一個協(xié)會“電子邊界基金”(EFF，
Electronic Frontier Foundation)宣布了由一位匿名者資助的為尋找
巨大素數(shù)而設立的獎金。它規(guī)定向第一個找到超過一百萬位的素數(shù)的
個人或機構頒發(fā)五萬美元的獎金，這就是我們最一開始說到的哈吉拉
特瓦拉得到的獎金。后面的獎金依次為：超過一千萬位，十萬美元；
超過一億位，十五萬美元；超過十億位，二十五萬美元。

? ?搜尋結果的驗證和獎金的頒發(fā)是非常嚴格的。比如說，得到的結
果必須是顯式的——你不能宣稱你的結果是一個有一百個方程組成的
方程組的解，卻不把它解出來。結果必須由另一臺計算機獨立驗證。
所有這些規(guī)則都在EFF網(wǎng)站上進行了解釋。

? ?應該指出的是，通過參加GIMPS計劃來獲得獎金的希望是相當小的。
哈吉拉特瓦拉使用的計算機是當時21000臺計算機中的一臺。每一個參
與者都在驗證分配給他的不同梅森數(shù)，當然其中絕大多數(shù)都不是素數(shù)
——他只有大約三萬分之一的可能性碰到一個素數(shù)。

? ?下一個十萬美元的獎金將被頒發(fā)給第一個找到超過一千萬位的素
數(shù)的個人或機構。這一次的計算量將大約相當于上一次的125倍。現(xiàn)在
GIMPS得到的計算能力為每秒7000億次浮點運算，和一臺當今最先進的
超級矢量計算機，比如Cray T932的運行能力相當。但是如果GIMPS要
使用這樣的超級計算機，一天就需要支付大約二十萬美元。而現(xiàn)在他
們需要的費用，僅僅是支持網(wǎng)站運行的費用，和總共幾十萬美元的
獎金罷了。

五、網(wǎng)上分布式計算計劃

? ?GIMPS只不過是互聯(lián)網(wǎng)上眾多的分布式計算計劃中的一個，
GIMPS主頁上就有這些計劃的介紹。

? ?分布式計算是一門計算機學科，它研究如何把一個需要非常巨大
的計算能力才能解決的問題分成許多小的部分，然后把這些部分分配
給許多計算機進行處理，最后把這些計算結果綜合起來得到最終的結
果。有時侯計算量是如此之大，需要全世界成千上萬甚至更多臺計算
機一起工作，才能在合乎情理的時間內(nèi)得到結果。GIMPS計劃就是在進
行這樣的分布式計算。

? ?但它并不是最著名的分布式計算計劃。致力于尋找宇宙中智慧生
命的“搜尋地外文明計劃”(SETI計劃)中的SETI@HOME工程，已在全世
界招募了290萬名(!)志愿者，利用屏幕保護程序來處理射電望遠鏡接
受到的大量的宇宙間傳來的無線電信號。如果你參加這個計劃，也許
有一天會在你的計算機上破譯出外星人發(fā)來的問候呢。

? ?你也可以用你的計算機空余的計算能力為人類征服癌癥作出貢獻。
英國科學家設計了類似SETI@HOME工程的分布式計算屏保，它從有關網(wǎng)
站下載數(shù)據(jù)，分析化學物質(zhì)分子的抗癌性能，然后將分析結果通過互
聯(lián)網(wǎng)傳回給研究人員，作為研制新型抗癌藥物的參考。這項工程將于
2001年4月3日在美國加利福尼亞州正式啟動。

? ?計算機硬件的更新令人目不暇接，上半年買的最新式的個人電腦，
在下半年就變成了大路貨。三四年前的CPU，現(xiàn)在變得一錢不值——
也許不能這么說，你根本就買不到它們了——市面上最便宜的CPU也
要比它們強大得多。而一臺普通的家用計算機連續(xù)運轉(zhuǎn)五年也是沒有
問題的。所以，對待計算機的最經(jīng)濟的態(tài)度就是：讓它運轉(zhuǎn)。

? ?而人類還有那么多的東西需要計算，還有那么多的問題需要找到
回答，還有那么多的難關需要克服。我們需要越來越巨大的計算能力，
我們也擁有這樣的計算能力，只是太多太多被白白地閑置浪費掉了。
互聯(lián)網(wǎng)已經(jīng)使大規(guī)模的分布式計算計劃成為可能。現(xiàn)在，我們唯一需
要的，就是這個網(wǎng)每一個結點上計算機用戶的意愿和信心了。

posted on 2006-04-20 17:47 楊粼波閱讀(921) 評論(0) 編輯收藏引用

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