點(diǎn)擊此處下載

習(xí)題一 P：25

1/（1）解：D＝a1A11+a2A12+a3A13＝1×(-1)²M11+2×(-1)³M12+0

＝4+(-2)×4＝-4

(2)解：D＝a1A11+a2A12+a3A13＝1×(-1)²M11+2×(-1)³M12+2×(-1)⁴M13＝-3+（-12）+（-12）＝-27

2/（1）解：D＝a1A11+a2A12+a3A13+a4A14＝0+0+0+4×(-1)⁵M14＝256

（2）解：D＝a1A11+a2A12+a3A13+a4A14＝1×(-1)²M11+2×(-1)³M12+3×(-1)⁴M13+4×(-1)⁵M14＝（-36）+8+12+176＝160

                       r₃+r₂               5 0 4 2

（3）解：D         1 -1 2 1 ＝b2B22

                       r₄＋r₂              5 0 4 1

                                            2 0 3 2

                        ＝（-1）×（-1）⁴M22＝-7

           r₂+r₁       -1 1 1 1

（7）解：D      0 0 2 2 ＝ｂ１B１１

              r₃+r₁    0 2 0 2

              r₄+r₁    0 2 2 0

＝（-１）×（-1）^２M１１＝-16

 

 

5 0 4 2   r₃+r₂      5 0 4 2

４/（１）解：因?yàn)?span twffan="done">D＝ 1 –1 2 1         1 –1 2 1 ＝b2B22

4 1 2 0   r₄+r₂   5 0 4 1

1 1 1 1          2 0 3 2

 

                 ＝（-1）×（-1）⁴M22＝-7≠0

所以方程有惟一的解，再計(jì)算得：

D1＝-7，D2＝7，D3＝7，D4＝-7

因此，根據(jù)克拉默法則，方程組的惟一解是：

X1＝1，X2＝-1，X3＝-1，X4＝1

6．解：由推論知，它的系數(shù)行列式必為零，而

           1     -1     1

D＝ 2     λ   2－λ ＝（λ＋2）（λ－2）

           1    λ＋1   0

      由D＝0，得λ1＝-2，λ2＝1

 

習(xí)題二 P：54

3/（1）     1 0       -2 1        -1 1

 解：＝ 2 0   ＋ -3 -1   ＝ -1 -1

         3 0        1 0        4 0

 

 

（2） 2 -2           6 3      1 0            -3 -5

解：＝ 4 2 － 3 9 ＋ 0   1 ＝ 1 -6

 

（4）    1 0 0       1 0 0

解：＝   0 1 0   ＋ 0 1 0   ＝E₃

         0 0 1       0 0 1

 

 

(6)              4 0 0 0    4 0 0 0

解：＝   0 4 0 0    0 4 0 0    ＝16E₄

         0 0 4 0    0 0 4 0

         0 0 0 4    0 0 0 4

 

 

9、解：    3 1 1   1 1 1                6 2 4

     AB= 2 1 2   2 -1 0 ＝ 6 1 4

           1 2 3   1 0 1      8 -1 4

                1 1 1          3 1 1       6 4 6

BA＝ 2 -1 0    2 1 2   ＝ 4 1 0

       1 0 1    1 2 3       4 3 4

所以：          0 -2 -2

AB－BA＝ 2 0 4

4           -4 0

                                 -1 3 1    4 1         2 -1    82 31

13、解：ABC＝ 0 4 2    2 5   4   2 ＝140 42

                           3 4

              82 140

所以：ABC^T＝ 31   42

                   3 -2 2

15/（1）解：設(shè)A＝ 5 -4 1    則，

1           -1 0

detA＝2×（-4）×1+3×1×（-1）－（-2）×1×1－2×5×（-1）＝1≠0

所以，A^-1＝1/detA ×A^*      A₁₁ A₂₁ A₃₁

                A^*= A₁₂ A₂₂ A₃₂

                           A₁₃ A₂₃ A₃₃

         -4 1

A₁₁=(-1)²  -1 0 =-1;同理得：

A₁₂＝-1；A₁₃＝1；A₂₁＝2；A₂₂＝2；A₂₃＝-1；

A₃₁＝-6；A₃₂＝-7；A₃₃＝2

           -1 2 -6

所以，A^*= -1 2 -7 

1 -1  2                       -1 2 -6

即A^-1＝1/detA ×A^*＝ -1 2 -7

                      1 -1 2

                    2 1         -3 2

16/（2）解：令，A＝ 3 2   ，B＝ 5 -3 

                         2 -1        3 2

根據(jù)上題的解法求得，A^-1= -3 2   ,B^-1= 5 3  

               2 -1   -2 4    3 2     24    13

有題意得: X= -3 2   3 -1    5 3 = -34 -18

 

                        5 2 1

18/(2)解：有題意得：X＝ 0 1 5   ＝1

     2 5 1            4 2 3           2 2 5

Y= 3 0 5   =2                    Z=   3 1 0 = -1

     3 4 3                              3 2 4

所以，X=1,Y=2,Z= -1

習(xí)題三P78

5/(1)解：令A＝ 2 5  

               1 3

2 5 r₁－r₂    1 2   r₂－r₁   1 2   r₁－2r₂        1 0

1 3           1 3          0 1                     0 1

                     1 0 r₁－r₂    1 -1 r₂－r₁ 1 -1 r₁－2r₂ 3 -5

所以A^-1＝ 0 1          0 1         -1 2        -1 2

             4 -6           3 -5   4 -6     2 -23

所以，X＝A^-1 2 1 ＝ -1 2   2   1 ＝ 0   8

 

6.解：由AX=2X+A得，（A－2）X＝A；

        1 -1 0        -1 -1 0

A－2＝ 0 1 -1 －2＝ 0 -1 -1 ＝B

        -1 0 1        -1 0 -1

detB=2≠0

             B₁₁ B₂₁ B₃₁

B^-1＝1/detB   B₁₂ B₂₂ B₃₂

             B₁₃ B₂₃ B₃₃

B₁₁=(-1)² -1 -1 =-1，同理解得：B₁₂＝-1，B₁₃＝1，B₂₁＝1，

        0 -1     B₂₂＝-1，B₂₃＝-1，B₃₁＝-1，B₃₂＝1，B₃₃＝-1。

 

 

           -1 1 -1

B^-1＝1/2    -1 -1 1

           1 -1 -1

                       -1 1 -1       1 -1 0       0 1 -1

所以X＝1/2 -1 -1 1    0 1 -1   ＝ -1 0 1

                       1 -1 -1    -1 0 1       1 -1 0

                           2 0 3 1 4

9.解：令A＝ 3 -5 4 2 7  

             1   5 2 0 1

先把A化為行階梯形。

2 0 3 1 4 r₂－3/2r₁   2   0   3   1   4 

A＝ 3 -5 4 2 7           0   -5 -1/2 1/2 1  

    1   5 2 0 1 r₃－1/2r₁   0 5   1/2 -1/2 -1

r₃+r₂                   2 0   3   1  4 

         0 -5 -1/2 1/2 1

           0   0   0    0 0

因此R（A）＝2.

再求A的一個(gè)最高階非零子式。由R（A）＝2，知A的最高階非零子式為二階子式。從A的行階梯形可知，A的第1、3、5三列所構(gòu)成的矩陣A₁＝（a₁，a₃，a₅）的行階梯形為

 

 

                  2 3 4 r₂－3/2r₁ 2 3   4

A₁＝（a₁，a₃，a₅） 3 4 7            0 -1/2 1

                  1 2 1 r₃－1/2r₁ 0   1 -2

r₃＋2r₂    2 3 4

           0 -1/2 1

           0   0   0

知R（A₁）＝2，故A₁中必有二階非零子式，從中找出一個(gè)非零子式。經(jīng)檢驗(yàn)可知其前二行所構(gòu)成的二階子式

                     2 3   ＝1≠0，

                     3 4

它即是A的一個(gè)最高階非零子式。