(一)巴什博奕(Bash Game):

只有一堆n個物品,兩個人輪流從這堆物品中取物,規定每次至少取一個,最多取m個.最后取光者得勝.

顯然,如果n=m+1,那么由于一次最多只能取m個,所以,無論先取者拿走多少個,后取者都能夠一次拿走剩余的物品,后者取勝.因此我們發現了如何取勝的法則：如果n=(m+1)r+s,(r為任意自然數,s≤m),那么先取者要拿走s個物品,如果后取者拿走k(≤m)個,那么先取者再拿走m+1-k個,結果剩下(m+1)(r-1)個,以后保持這樣的取法,那么先取者肯定獲勝.總之,要保持給對手留下(m+1)的倍數,就能最后獲勝.

這個游戲還可以有一種變相的玩法：兩個人輪流報數,每次至少報一個,最多報十個,誰能報到100者勝.

(二)威佐夫博奕(Wythoff Game):

有兩堆各若干個物品,兩個人輪流從某一堆或同時從兩堆中取同樣多的物品,規定每次至少取一個,多者不限,最后取光者得勝.

這種情況下是頗為復雜的.我們用(ak,bk)(ak ≤ bk ,k=0,1,2,...,n)表示兩堆物品的數量并稱其為局勢,如果甲面對(0,0),那么甲已經輸了,這種局勢我們稱為奇異局勢.前幾個奇異局勢是：(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12,20).

l         可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出現過的最小自然數,而 bk= ak + k,奇異局勢有如下三條性質：

1、任何自然數都包含在一個且僅有一個奇異局勢中.

由于ak是未在前面出現過的最小自然數,所以有ak > ak-1 ,而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 .所以性質1.成立.

2、任意操作都可將奇異局勢變為非奇異局勢.

事實上,若只改變奇異局勢(ak,bk)的某一個分量,那么另一個分量不可能在其他奇異局勢中,所以必然是非奇異局勢.如果使(ak,bk)的兩個分量同時減少,則由于其差不變,且不可能是其他奇異局勢的差,因此也是非奇異局勢.

3、采用適當的方法,可以將非奇異局勢變為奇異局勢.

假設面對的局勢是(a,b),若 b = a,則同時從兩堆中取走 a 個物體,就變為了奇異局勢(0,0)；如果a = ak ,b > bk,那么,取走b - bk個物體,即變為奇異局勢；如果 a = ak , b < bk ,則同時從兩堆中拿走 ak – a[b – ak]個物體,變為奇異局勢( a[b – ak] , a[b – ak]+ b - ak)；如果a > ak ,b= ak + k,則從第一堆中拿走多余的數量a - ak 即可；如果a < ak ,b= ak + k,分兩種情況,第一種,a=aj (j < k),從第二堆里面拿走 b - bj 即可；第二種,a=bj (j < k),從第二堆里面拿走 b - aj 即可.

從如上性質可知,兩個人如果都采用正確操作,那么面對非奇異局勢,先拿者必勝；反之,則后拿者取勝.

l         那么任給一個局勢(a,b),怎樣判斷它是不是奇異局勢呢？我們有如下公式：

ak =[k(1+√5)/2], bk= ak + k (k=0,1,2,...,n 方括號表示取整函數)

奇妙的是其中出現了黃金分割數(1+√5)/2 = 1.618...,因此,由ak,bk組成的矩形近似為黃金矩形,由于2/(1+√5)=(√5-1)/2,可以先求出j=[a(√5-1)/2],若a=[j(1+√5)/2],那么a = a[j],b[j] = a[j] + j,若不等于,那么a = a[j+1],b[j+1] = a[j+1]+ (j + 1),若都不是,那么就不是奇異局勢.然后再按照上述法則進行,一定會遇到奇異局勢.

得勝.

(三)尼姆博奕(Nimm Game):

有三堆各若干個物品,兩個人輪流從某一堆取任意多的物品,規定每次至少取一個,多者不限,最后取光者得勝.

這種情況最有意思,它與二進制有密切關系,我們用(a,b,c)表示某種局勢,首先(0,0,0)顯然是奇異局勢,無論誰面對奇異局勢,都必然失敗.第二種奇異局勢是(0,n,n),只要與對手拿走一樣多的物品,最后都將導致(0,0,0).仔細分析一下,(1,2,3)也是奇異局勢,無論對手如何拿,接下來都可以變為(0,n,n)的情形.

計算機算法里面有一種叫做按位模2加,也叫做異或的運算,我們用符號(+)表示這種運算.這種運算和一般加法不同的一點是1+1=0.先看(1,2,3)的按位模2加的結果：

1 =二進制01

2 =二進制10

3 =二進制11 (+)

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0 =二進制00 (注意不進位)

對于奇異局勢(0,n,n)也一樣,結果也是0.

任何奇異局勢(a,b,c)都有a(+)b(+)c =0.

如果我們面對的是一個非奇異局勢(a,b,c),要如何變為奇異局勢呢？假設 a < b< c,我們只要將 c 變為 a(+)b,即可,因為有如下的運算結果: a(+)b(+)(a(+)b)=(a(+)a)(+)(b(+)b)=0(+)0=0.要將c 變為a(+)b,只要從 c中減去 c-(a(+)b)即可.

可以推廣到：有n堆若干個物品,兩個人輪流從某一堆取任意多的物品,規定每次至少取一個,多者不限,最后取光者得勝.