題目：n個數字（0,1,…,n-1）形成一個圓圈，從數字0開始，每次從這個圓圈中刪除第m個數字（第一個為當前數字本身，第二個為當前數字的下一個數字）。當一個數字刪除后，從被刪除數字的下一個繼續刪除第m個數字。求出在這個圓圈中剩下的最后一個數字。
分析：既然題目有一個數字圓圈，很自然的想法是我們用一個數據結構來模擬這個圓圈。在常用的數據結構中，我們很容易想到用環形列表。我們可以創建一個總共有m個數字的環形列表，然后每次從這個列表中刪除第m個元素。
在參考代碼中，我們用STL中std::list來模擬這個環形列表。由于list并不是一個環形的結構，因此每次跌代器掃描到列表末尾的時候，要記得把跌代器移到列表的頭部。這樣就是按照一個圓圈的順序來遍歷這個列表了。
這種思路需要一個有n個結點的環形列表來模擬這個刪除的過程，因此內存開銷為O(n)。而且這種方法每刪除一個數字需要m步運算，總共有n個數字，因此總的時間復雜度是O(mn)。當m和n都很大的時候，這種方法是很慢的。
接下來我們試著從數學上分析出一些規律。首先定義最初的n個數字（0,1,…,n-1）中最后剩下的數字是關于n和m的方程為f(n,m)。
在這n個數字中，第一個被刪除的數字是m%n-1，為簡單起見記為k。那么刪除k之后的剩下n-1的數字為0,1,…,k-1,k+1,…,n-1，并且下一個開始計數的數字是k+1。相當于在剩下的序列中，k+1排到最前面，從而形成序列k+1,…,n-1,0,…k-1。該序列最后剩下的數字也應該是關于n和m的函數。由于這個序列的規律和前面最初的序列不一樣（最初的序列是從0開始的連續序列），因此該函數不同于前面函數，記為f’(n-1,m)。最初序列最后剩下的數字f(n,m)一定是剩下序列的最后剩下數字f’(n-1,m)，所以f(n,m)=f’(n-1,m)。
接下來我們把剩下的的這n-1個數字的序列k+1,…,n-1,0,…k-1作一個映射，映射的結果是形成一個從0到n-2的序列：
k+1
-> 0
k+2
-> 1
…
n-1
->
n-k-2
0 ->
n-k-1
…
k-1 -> n-2
把映射定義為p，則p(x)=
(x-k-1)%n，即如果映射前的數字是x，則映射后的數字是(x-k-1)%n。對應的逆映射是p-1(x)=(x+k+1)%n。
由于映射之后的序列和最初的序列有同樣的形式，都是從0開始的連續序列，因此仍然可以用函數f來表示，記為f(n-1,m)。根據我們的映射規則，映射之前的序列最后剩下的數字f’(n-1,m)=
p-1 [f(n-1,m)]=[f(n-1,m)+k+1]%n。把k=m%n-1代入得到f(n,m)=f’(n-1,m)=[f(n-1,m)+m]%n。
經過上面復雜的分析，我們終于找到一個遞歸的公式。要得到n個數字的序列的最后剩下的數字，只需要得到n-1個數字的序列的最后剩下的數字，并可以依此類推。當n=1時，也就是序列中開始只有一個數字0，那么很顯然最后剩下的數字就是0。我們把這種關系表示為：
0 n=1
f(n,m)={
[f(n-1,m)+m]%n n>1
盡管得到這個公式的分析過程非常復雜，但它用遞歸或者循環都很容易實現。最重要的是，這是一種時間復雜度為O(n)，空間復雜度為O(1)的方法，因此無論在時間上還是空間上都優于前面的思路。
思路一的參考代碼：
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// n integers (0, 1, 
n - 1) form a circle. Remove the mth from
// the circle at every time. Find the last number remaining
// Input: n - the number of integers in the circle initially
// m - remove the mth number at every time
// Output: the last number remaining when the input is valid,
// otherwise -1
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int LastRemaining_Solution1(unsigned int n, unsigned int m)
{
// invalid input
if(n < 1 || m < 1)
return -1;
unsigned int i = 0;
// initiate a list with n integers (0, 1, n - 1)
list<int> integers;
for(i = 0; i < n; ++ i)
integers.push_back(i);
list<int>::iterator curinteger = integers.begin();
while(integers.size() > 1)
{
// find the mth integer. Note that std::list is not a circle
// so we should handle it manually
for(int i = 1; i < m; ++ i)
{
curinteger ++;
if(curinteger == integers.end())
curinteger = integers.begin();
}
// remove the mth integer. Note that std::list is not a circle
// so we should handle it manually
list<int>::iterator nextinteger = ++ curinteger;
if(nextinteger == integers.end())
nextinteger = integers.begin();
-- curinteger;
integers.erase(curinteger);
curinteger = nextinteger;
}
return *(curinteger);
}
思路二的參考代碼：
void circile(int n, int m)
{
int num = 0;
for(int i = 2; i <= n; i++)
num = (num + m) % i;
num += 1;
cout << num << endl;
}