這是在 2006 年 11 月 17 日瀏覽小百合時得到的，當時上不來，就暫存在我的信箱里了。
南京大學小百合站，Algorithm 版，x->18->1 和 x->18-2。
x->18->1:(兩處紅色標記是我個人加上的，懷疑原文有誤
，即若有 10 和 100，則前面不應有 90 和 1800)
令結果為 x
x=log2+log3+...+log9
+90+log1.1+log1.2+...+log9.9
+1800+log1.01+log1.02+...+log9.99
+3
=∫logx dx (從2到10)
+90+10∫logx dx(從1.1到9.9)
+1800+
100∫logx dx (從1.01到9.99)
+3
= ...
后兩次積分上限的不同是考慮到修正
x->18->2:
x=(∫log(x)dx(2--1001)+∫log(x)dx(1--1000))/2
=((x*log(x)-∫xdlog(x))(2--1001)+(x*log(x)-∫xdlog(x))(1---1000))/2
=2567.857000.....
我個人的想法：
經過上述兩個方法，我猜想求解一個數的位數可以求解該數對其基數的對數（此處是以 10 為基數的），找了幾個數寫了寫，發現可以：
一個以 b 為基數的數 N，在以 b 為基數的計數系統中的位數 l，可以通過求 N 對 b 的對數求得。
具體為：l=floor[log b (N) + 1]，即求對數，結果加 1 后向下取整。
例如：
- length(123456789)10=floor[lg(123456789)+1]=floor[8.091514977+1
]=9
- length(100000000)10=floor[lg(100000000)+1]=floor[8+1]=9
- length(10101)2=floor[log 2 (23) + 1]=floor[4.523561956+1]=5 (10101)2=(23)10
再回到求解 1000 的階乘的位數上，則根據上面的說明，有：(設 1000 的階乘結果為 N)
length(N)10=floor[lg(N)+1]
=floor[lg(1*2*3*...*999*1000)+1]
=floor[lg1+lg2+lg3+...+lg999+lg1000+1]
=floor[lg2+lg3+...lg999+lg1000+1] <= lg1=0
這時問題轉到了求解 lg2+lg3+...+lg999+lg1000 的累加上面。
對于這一方面我不是很清楚(高等數學基本都不記得了...)
，不過根據前面兩篇文章，好像有：
∑(N=2..1000)lgN = ∫lgxdx (x=2..1000)
如果成立的話，則根據 lgx = lnx/ln10 有：
∫lgxdx (x=2..1000) = (1/ln10)*∫lnxdx (x=2..1000)
= (1/ln10)*[x*lnx - ∫xd(lnx)] (x=2..1000)
= (1/ln10)*[x*lnx - ∫dx] (x=2..1000)
= (1/ln10)*[x*lnx - x] (x=2..1000)
= x*(lnx - 1)/ln10 (x=2..1000)
然后由牛頓-萊伯尼茨公式可以得到：(也不知道是否能在此處應用...)
∫lgxdx (x=2..1000) = 1000*(ln1000 - 1)/ln10 - 2*(ln2 - 1)/ln10
= [1000*(6.907755279 - 1) - 2*(0.693147181 - 1)]/ln10
= [1000*
5.907755279 - 2*(-0.306852819)]/2.302585093
= [5907.755279 - (-
0.613705639)]/2.302585093
= 5908.368984639/2.302585093
= 2565.97204707
將結果代回前面的式子：
length(N)10 = floor[2565.97204707 + 1] = 2566
原先通過 Python 計算過 1000 的階乘，位數為 2568 位。
考慮前面推算的過程中把 x=1 時 lg1 略掉了，理論上不應產生區別，但若要是不略掉該項時，則結果變成：
∫lgxdx (x=2..1000) = 1000*(ln1000 - 1)/ln10 - 1*(ln1 - 1)/ln10
= [1000*(
6.907755279 - 1) - 1*(0 - 1)]/ln10
= [1000*5.907755279 - 1*(-1)]/2.302585093
= [5907.755279 + 1]/2.302585093
=
5908.755279/2.302585093
= 2566.13981258
length(N)10 = floor[2566.13981258 + 1] = 2567
可見結果略有不同，但都與正確結果有一點小偏差，個人認為思路是正
確的，方法還有待改進。同時看到第二篇引文的結果非常接近，不過我還不理解，還需在琢磨琢磨。
還要再好好看看高等數學...