矩陣相乘問題描述：給定n個(gè)矩陣{A1，A2，...，An}，當(dāng)然A1到An的任意段都是可乘的，求最小相乘次數(shù)。例如有三個(gè)矩陣維數(shù)分別為：10*100，100*2，2*5；若前兩個(gè)相乘，再乘第三個(gè)，總的相乘次數(shù)=10*100*2+10*2*5=2100；若第二個(gè)與第三個(gè)先相乘，在乘第一個(gè)，總相乘次數(shù)=100*2*5+10*100*5=5100；顯然，相乘次序會(huì)對(duì)計(jì)算量有很大影響，如果你在學(xué)線性代數(shù)的時(shí)候，寫了一個(gè)矩陣相乘的程序，結(jié)果跑到同學(xué)那里演示的時(shí)候，半天沒運(yùn)行出來，那就尷尬了！！！
函數(shù)調(diào)用一般會(huì)要傳參，這些參數(shù)都是非常有意義。這個(gè)題目屬于動(dòng)態(tài)規(guī)劃，最重要的一點(diǎn)就是想到一個(gè)二維數(shù)組m[i][j]，代表矩陣i到矩陣j相乘的最優(yōu)解，然后就是怎樣給這個(gè)有意義的數(shù)組置數(shù)了，這種數(shù)組定義和數(shù)組置數(shù)若成，則我們要的答案就在m[1][n]中，代表矩陣1到矩陣n相乘的最優(yōu)解。（如果你很饑渴的想解決這個(gè)問題，就直接看代碼吧！！）有人可能會(huì)問，為什么會(huì)想到這種數(shù)組定義，主要有兩個(gè)方面：一，學(xué)習(xí)（高效），看多了自然會(huì)想到給數(shù)組某種意義，培育一種思想；二、思考與分析，來的緩慢，但是凌駕與學(xué)習(xí)之上，也是學(xué)習(xí)的目的，是終極武器，也是基礎(chǔ)武器。。。。
不扯了，回到主題，很明顯如果只有一個(gè)矩陣，相乘次數(shù)為零；如果有兩個(gè)，直接相乘，若第一個(gè)矩陣維數(shù)q*p，第二個(gè)矩陣維數(shù)p*r，相乘次數(shù)為q*p*r；三個(gè)矩陣相乘，為前兩相乘，再乘第三個(gè)，和后兩個(gè)先相乘，再乘第一個(gè)，取其優(yōu)者；四個(gè)矩陣相乘，設(shè)第三個(gè)矩陣維數(shù)r*t，第四個(gè)矩陣t*k，維數(shù)min{前三個(gè)矩陣最優(yōu)值+q*t*k，前兩個(gè)矩陣最優(yōu)+后兩個(gè)矩陣最優(yōu)+q*r*k，前一個(gè)矩陣最優(yōu)+后三個(gè)矩陣最優(yōu)+q*p*k}；然后。。。
有人可能會(huì)問：我可以算出前一個(gè)，前兩個(gè)，前三個(gè)矩陣相乘的最優(yōu)，但是我怎么算出后一個(gè)，后兩個(gè)，后三個(gè)相乘的最優(yōu)呢？
其實(shí)這個(gè)問題又回到了原點(diǎn)，這就是動(dòng)態(tài)規(guī)劃的妙處，顯然我們先求出A1到An的任意段長度為2矩陣的最優(yōu)（直接相乘），然后可以計(jì)算出任意段長度為3矩陣的最優(yōu)；然后。。。然后我們就想了個(gè)m[i][j]出來，記錄我們求的的結(jié)果；然后再寫代碼，嘗試思想的準(zhǔn)確性，當(dāng)然我們更多的時(shí)候是站在先人的肩膀上做驗(yàn)證工作。。。
代碼如下（參考教科書）：
#include<iostream>
using namespace std;
void chain(int *p,int n,int m[][7],int s[][7])//p維數(shù)數(shù)組，m最優(yōu)乘次數(shù)組，s記錄劃分方案
{
int j;
for(int i=1;i<=n;i++)
m[i][i]=0;
for(int r=2;r<=n;r++)
{
for(i=1;i<=n-r+1;i++)
{
j=i+r-1;
m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
s[i][j]=i;
for(int k=i+1;k<j;k++)
{
int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
if(t<m[i][j])
{
m[i][j]=t;
s[i][j]=k;
}
}
}
}
for(i=1;i<=n;i++) //我把它翻過來輸出。。。
{
for(j=n;j>=i;j--)
{
cout<<m[i][j]<<' ';
}
cout<<endl;
}
}
void Traceback(int i,int j,int s[][7]) //輸出相乘方案
{
if(i==j)
return;
Traceback(i,s[i][j],s);
Traceback(s[i][j]+1,j,s);
cout<<"Multiply A "<<i<<","<<s[i][j];
cout<<" and B "<<(s[i][j]+1)<<","<<j<<endl;
return;
}
int main()
{
int p[7],m[7][7],s[7][7],n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
for(int i=0;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&p[i]);
}
chain(p,n,m,s);
Traceback(1,6,s);
}
return 0;
}
/**//*
p52
測試數(shù)據(jù)：
6
30 35 15 5 10 20 25
*/
運(yùn)行結(jié)果：
posted on 2010-09-04 11:53
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算法設(shè)計(jì)與分析