01背包問題總結
一 問題描述：
有N件物品和一個容量為V的背包。第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入背包可使價值總和最大。
所謂01背包，表示每一個物品只有一個，要么裝入，要么不裝入。
二 解決方案：
考慮使用dp問題 求解，定義一個遞歸式 opt[i][v] 表示前i個物品，在背包容量大小為v的情況下，最大的裝載量。
opt[i][v] = max(opt[i-1][v] , opt[i-1][v-c[i]] + w[i])
解釋如下：
opt[i-1][v] 表示第i件物品不裝入背包中，而opt[i-1][v-c[i]] + w[i] 表示第i件物品裝入背包中。
花費如下：
時間復雜度為o(V * T) ，空間復雜度為o(V * T) 。 時間復雜度已經無法優化，但是空間復雜度則可以進行優化。
但必須將V 遞減的方式進行遍歷，即V.......0 的方式進行。
三 初始化：
（1）若要求背包必須放滿，則初始如下：
f[0] = 0 , f[1...V]表示-INF。表示當容積為0時，只接受一個容積為0的物品入包。
（2）若要求背包可以空下，則初始化如下：
f[0...V] = 0 ，表示任意容積的背包都有一個有效解即為0。
具體解釋如下：
初始化的f數組事實上就是在沒有任何物品可以放入背包時的合法狀態。
如果要求背包恰好裝滿，那么此時只有容量為0的背包可能被價值為0的nothing“恰好裝滿”，
其它容量的背包均沒有合法的解，屬于未定義的狀態，它們的值就都應該是-∞了。
如果背包并非必須被裝滿，那么任何容量的背包都有一個合法解“什么都不裝”，
這個解的價值為0，所以初始時狀態的值也就全部為0了。
四 代碼如下：
/**//*
01背包，使用了優化后的存儲空間
建立數組
f[i][v] = max(f[i-1][v] , f[i-1][v-c[i]] + w[i])
將前i件物品，放入容量為v的背包中的最大值。
下面介紹一個優化，使用一維數組，來表示
(1) f[v]表示每一種類型的物品，在容量為v的情況下，最大值。
但是體積循環的時候，需要從v----1循環遞減。
初始化問題：
(1)若要求背包中不允許有剩余空間，則可以將f[0]均初始化為0，其余的f[1
..n]均初始化為-INF 。
表示只有當容積為0 的時候，允許放入質量為0的物品。
而當容積不為0的情況下，不允許放入質量為0的物品，并且把狀態置為未知狀態。
(2)若要求背包中允許有剩余空間 ，則可以將f[1n]，均初始化為0。
這樣，當放不下去的時候，可以空著。
*/
#include <iostream>
using namespace std ;
const int V = 1000 ; //總的體積
const int T = 5 ; //物品的種類
int f[V+1] ;
//#define EMPTY //可以不裝滿
int w[T] = {8 , 10 , 4 , 5 , 5}; //價值
int c[T] = {600 , 400 , 200 , 200 , 300}; //每一個的體積
const int INF = -66536 ;
int package()
{
#ifdef EMPTY
for(int i = 0 ; i <= V ;i++) //條件編譯，表示背包可以不存儲滿
f[i] = 0 ;
#else
f[0] = 0 ;
for(int i = 1 ; i <= V ;i++)//條件編譯，表示背包必須全部存儲滿
f[i] = INF ;
#endif
for(int i = 0 ; i < T ; i++)
{
for(int v = V ; v >= c[i] ;v--) //必須全部從V遞減到0
{
f[v] = max(f[v-c[i]] + w[i] , f[v]) ; //此f[v]實質上是表示的是i-1次之前的值。
}
}
return f[V] ;
}
int main()
{
int temp = package() ;
cout<<temp<<endl ;
system("pause") ;
return 0 ;
}