http://blog.csdn.net/liang5630/article/details/79177021. 概述
RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即區間最值查詢，是指這樣一個問題：對于長度為n的數列A，回答若干詢問RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回數列A中下標在i，j之間的最小/大值。這兩個問題是在實際應用中經常遇到的問題，下面介紹一下解決這兩種問題的比較高效的算法。當然，該問題也可以用線段樹（也叫區間樹）解決，算法復雜度為：O(N)~O(logN)，這里我們暫不介紹。
2.RMQ算法
對于該問題，最容易想到的解決方案是遍歷，復雜度是O(n)。但當數據量非常大且查詢很頻繁時，該算法無法在有效的時間內查詢出正解。
本節介紹了一種比較高效的在線算法（ST算法）解決這個問題。所謂在線算法，是指用戶每輸入一個查詢便馬上處理一個查詢。該算法一般用較長的時間做預處理，待信息充足以后便可以用較少的時間回答每個查詢。ST（Sparse Table）算法是一個非常有名的在線處理RMQ問題的算法，它可以在O(nlogn)時間內進行預處理，然后在O(1)時間內回答每個查詢。
（一）首先是預處理，用動態規劃（DP）解決。
設A[i]是要求區間最值的數列，F[i, j]表示從第i個數起連續2^j個數中的最大值。（DP的狀態）
例如：
A數列為：3 2 4 5 6 8 1 2 9 7
F[1，0]表示第1個數起，長度為2^0=1的最大值，其實就是3這個數。同理 F[1,1] = max(3,2) = 3, F[1，2]=max(3,2,4,5) = 5，F[1，3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;
并且我們可以容易的看出F[i,0]就等于A[i]。（DP的初始值）
這樣，DP的狀態、初值都已經有了，剩下的就是狀態轉移方程。
我們把F[i，j]平均分成兩段（因為f[i，j]一定是偶數個數字），從 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1為一段，i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1為一段(長度都為2 ^ (j - 1))。用上例說明，當i=1，j=3時就是3,2,4,5 和 6,8,1,2這兩段。F[i，j]就是這兩段各自最大值中的最大值。于是我們得到了狀態轉移方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。
代碼如下：
- void RMQ(int num)
- {
- for(int j = 1; j < 20; ++j)
- for(int i = 1; i <= num; ++i)
- if(i + (1 << j) - 1 <= num)
- {
- maxsum[i][j] = max(maxsum[i][j - 1], maxsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
- minsum[i][j] = min(minsum[i][j - 1], minsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
- }
- }
void RMQ(int num) //預處理->O(nlogn)
{
for(int j = 1; j < 20; ++j)
for(int i = 1; i <= num; ++i)
if(i + (1 << j) - 1 <= num)
{
maxsum[i][j] = max(maxsum[i][j - 1], maxsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
minsum[i][j] = min(minsum[i][j - 1], minsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
}
}
這里我們需要注意的是循環的順序，我們發現外層是j，內層所i，這是為什么呢？可以是i在外，j在內嗎？
答案是不可以。因為我們需要理解這個狀態轉移方程的意義。
狀態轉移方程的含義是：先更新所有長度為F[i,0]即1個元素，然后通過2個1個元素的最值，獲得所有長度為F[i,1]即2個元素的最值，然后再通過2個2個元素的最值，獲得所有長度為F[i,2]即4個元素的最值，以此類推更新所有長度的最值。
而如果是i在外，j在內的話，我們更新的順序就是F[1,0],F[1,1],F[1,2],F[1,3],表示更新從1開始1個元素，2個元素，4個元素，8個元素（A[0],A[1],....A[7]）的最值，這里F[1,3] = max(max(A[0],A[1],A[2],A[3]),max(A[4],A[5],A[6],A[7]))的值，但是我們根本沒有計算max(A[0],A[1],A[2],A[3])和max(A[4],A[5],A[6],A[7])，所以這樣的方法肯定是錯誤的。
為了避免這樣的錯誤，一定要好好理解這個狀態轉移方程所代表的含義。
（二）然后是查詢。
假如我們需要查詢的區間為(i,j)，那么我們需要找到覆蓋這個閉區間(左邊界取i，右邊界取j)的最小冪（可以重復，比如查詢5，6，7，8，9，我們可以查詢5678和6789）。
因為這個區間的長度為j - i + 1,所以我們可以取k=log2( j - i + 1)，則有：RMQ(A, i, j)=max{F[i , k], F[ j - 2 ^ k + 1, k]}。
舉例說明，要求區間[2，8]的最大值，k = log2（8 - 2 + 1）= 2，即求max(F[2, 2]，F[8 - 2 ^ 2 + 1, 2]) = max(F[2, 2]，F[5, 2])；
在這里我們也需要注意一個地方，就是<<運算符和+-運算符的優先級。
比如這個表達式：5 - 1 << 2是多少？
答案是：4 * 2 * 2 = 16。所以我們要寫成5 - (1 << 2)才是5-1 * 2 * 2 = 1。