循環冗余校驗 CRC的算法分析和程序實現

西南交通大學計算機與通信工程學院  劉東
摘要   通信的目的是要把信息及時可靠地傳送給對方，因此要求一個通信系統傳輸消息必須可靠與快速，在數字通信系統中可靠與快速往往是一對矛盾。為了解決可靠性，通信系統都采用了差錯控制。本文詳細介紹了循環冗余校驗CRC（Cyclic Redundancy Check）的差錯控制原理及其算法實現。

關鍵字  通信 循環冗余校驗  CRC-32  CRC-16  CRC-4

概述
在數字通信系統中可靠與快速往往是一對矛盾。若要求快速，則必然使得每個數據碼元所占地時間縮短、波形變窄、能量減少，從而在受到干擾后產生錯誤地可能性增加，傳送信息地可靠性下降。若是要求可靠，則使得傳送消息地速率變慢。因此，如何合理地解決可靠性也速度這一對矛盾，是正確設計一個通信系統地關鍵問題之一。為保證傳輸過程的正確性，需要對通信過程進行差錯控制。差錯控制最常用的方法是自動請求重發方式（ARQ）、向前糾錯方式（FEC）和混合糾錯（HEC）。在傳輸過程誤碼率比較低時，用FEC方式比較理想。在傳輸過程誤碼率較高時，采用FEC容易出現“亂糾”現象。HEC方式則式ARQ和FEC的結合。在許多數字通信中，廣泛采用ARQ方式，此時的差錯控制只需要檢錯功能。實現檢錯功能的差錯控制方法很多，傳統的有：奇偶校驗、校驗和檢測、重復碼校驗、恒比碼校驗、行列冗余碼校驗等，這些方法都是增加數據的冗余量，將校驗碼和數據一起發送到接受端。接受端對接受到的數據進行相同校驗，再將得到的校驗碼和接受到的校驗碼比較，如果二者一致則認為傳輸正確。但這些方法都有各自的缺點，誤判的概率比較高。
循環冗余校驗CRC（Cyclic Redundancy Check）是由分組線性碼的分支而來，其主要應用是二元碼組。編碼簡單且誤判概率很低，在通信系統中得到了廣泛的應用。下面重點介紹了CRC校驗的原理及其 算法實現。

一、循環冗余校驗碼（CRC）
CRC校驗采用多項式編碼方法。被處理的數據塊可以看作是一個n階的二進制多項式，由 。如一個8位二進制數10110101可以表示為： 。多項式乘除法運算過程與普通代數多項式的乘除法相同。多項式的加減法運算以2為模，加減時不進，錯位，和邏輯異或運算一致。
采用CRC校驗時，發送方和接收方用同一個生成多項式g（x）,并且g（x）的首位和最后一位的系數必須為1。CRC的處理方法是：發送方以g（x）去除t（x），得到余數作為CRC校驗碼。校驗時，以計算的校正結果是否為0為據，判斷數據幀是否出錯。
CRC校驗可以100％地檢測出所有奇數個隨機錯誤和長度小于等于k（k為g（x）的階數）的突發錯誤。所以CRC的生成多項式的階數越高，那么誤判的概率就越小。CCITT建議：2048 kbit/s的PCM基群設備采用CRC-4方案，使用的CRC校驗碼生成多項式g（x）= 。采用16位CRC校驗，可以保證在  bit碼元中只含有一位未被檢測出的錯誤 。在IBM的同步數據鏈路控制規程SDLC的幀校驗序列FCS中，使用CRC-16，其生成多項式g（x）= ；而在CCITT推薦的高級數據鏈路控制規程HDLC的幀校驗序列FCS中，使用CCITT-16，其生成多項式g（x）= 。CRC-32的生成多項式g（x）= 。CRC-32出錯的概率比CRC-16低 倍 。由于CRC-32的可靠性，把CRC-32用于重要數據傳輸十分合適，所以在通信、計算機等領域運用十分廣泛。在一些UART通信控制芯片（如MC6582、Intel8273和Z80-SIO）內，都采用了CRC校驗碼進行差錯控制；以太網卡芯片、MPEG解碼芯片中，也采用CRC-32進行差錯控制。
二、CRC校驗碼的算法分析
CRC校驗碼的編碼方法是用待發送的二進制數據t（x）除以生成多項式g（x），將最后的余數作為CRC校驗碼。其實現步驟如下：
（1） 設待發送的數據塊是m位的二進制多項式t（x），（2） 生成多項式為r階的g（x）。在數據塊的末尾添加r個0，（3） 數據塊的長度增加到m+r位，（4） 對應的二進制多項式為 。
（5） 用生成多項式g（x）去除 ，（6） 求得余數為階數為r-1的二進制多項式y（x）。此二進制多項式y（x）就是t（x）經過生成多項式g（x）編碼的CRC校驗碼。
（7） 用 以模2的方式減去y（x），（8） 得到二進制多項式 。 就是包含了CRC校驗碼的待發送字符串。
從CRC的編碼規則可以看出，CRC編碼實際上是將代發送的m位二進制多項式t（x）轉換成了可以被g（x）除盡的m+r位二進制多項式 ，所以解碼時可以用接受到的數據去除g（x），如果余數位零，則表示傳輸過程沒有錯誤；如果余數不為零，則在傳輸過程中肯定存在錯誤。許多CRC的硬件解碼電路就是按這種方式進行檢錯的。同時 可以看做是由t（x）和CRC校驗碼的組合，所以解碼時將接收到的二進制數據去掉尾部的r位數據，得到的就是原始數據。
為了更清楚的了解CRC校驗碼的編碼過程，下面用一個簡單的例子來說明CRC校驗碼的編碼過程。由于CRC-32、CRC-16、CCITT和CRC-4的編碼過程基本一致，只有位數和生成多項式不一樣。為了敘述簡單，用一個CRC-4編碼的例子來說明CRC的編碼過程。
設待發送的數據t（x）為12位的二進制數據100100011100；CRC-4的生成多項式為g（x）= ，階數r為4，即10011。首先在t（x）的末尾添加4個0構成 ，數據塊就成了1001000111000000。然后用g（x）去除 ，不用管商是多少，只需要求得余數y（x）。下表為給出了除法過程。
除數次數 被除數/ g（x）/結果     余數
0  1 001000111000000 100111000000
  1 0011  
  0 000100111000000  
1  1 00111000000   1000000
  1 0011  
  0 00001000000  
2  1 000000 1100
  1 0011  
  0 001100  

從上面表中可以看出，CRC編碼實際上是一個循環移位的模2運算。對CRC-4，我們假設有一個5 bits的寄存器，通過反復的移位和進行CRC的除法，那么最終該寄存器中的值去掉最高一位就是我們所要求的余數。所以可以將上述步驟用下面的流程描述：
//reg是一個5 bits的寄存器
把reg中的值置0.
把原始的數據后添加r個0.
While (數據未處理完)
Begin
If (reg首位是1)
reg = reg XOR 0011.
把reg中的值左移一位，讀入一個新的數據并置于register的0 bit的位置。
End
reg的后四位就是我們所要求的余數。
這種算法簡單，容易實現，對任意長度生成多項式的G（x）都適用。在發送的數據不長的情況下可以使用。但是如果發送的數據塊很長的話，這種方法就不太適合了。它一次只能處理一位數據，效率太低。為了提高處理效率，可以一次處理4位、8位、16位、32位。由于處理器的結構基本上都支持8位數據的處理，所以一次處理8位比較合適。
為了對優化后的算法有一種直觀的了解，先將上面的算法換個角度理解一下。在上面例子中，可以將編碼過程看作如下過程：
由于最后只需要余數，所以我們只看后四位。構造一個四位的寄存器reg，初值為0，數據依次移入reg0（reg的0位），同時reg3的數據移出reg。有上面的算法可以知道，只有當移出的數據為1時，reg才和g（x）進行XOR運算；移出的數據為0時，reg不與g（x）進行XOR運算，相當與和0000進行XOR運算。就是說，reg和什么樣的數據進行XOR移出的數據決定。由于只有一個bit，所以有 種選擇。上述算法可以描述如下，
//reg是一個4 bits的寄存器
初始化t[]={0011,0000}
把reg中的值置0.
把原始的數據后添加r個0.
While (數據未處理完)
Begin
把reg中的值左移一位，讀入一個新的數據并置于register的0 bit的位置。
reg = reg XOR t[移出的位]
End
上面算法是以bit為單位進行處理的，可以將上述算法擴展到8位，即以Byte為單位進行處理，即CRC-32。構造一個四個Byte的寄存器reg，初值為0x00000000，數據依次移入reg0（reg的0字節，以下類似），同時reg3的數據移出reg。用上面的算法類推可知，移出的數據字節決定reg和什么樣的數據進行XOR。由于有8個bit，所以有 種選擇。上述算法可以描述如下：
//reg是一個4 Byte的寄存器
初始化t[]＝{…}//共有 ＝256項
把reg中的值置0.
把原始的數據后添加r/8個0字節.
While (數據未處理完)
Begin
把reg中的值左移一個字節，讀入一個新的字節并置于reg的第0個byte的位置。
reg = reg XOR t[移出的字節]
End
算法的依據和多項式除法性質有關。如果一個m位的多項式t（x）除以一個r階的生成多項式g（x）， ，將每一位 （0=<k<m）提出來，在后面不足r個0后，單獨去除g（x），得到的余式位 。則將 后得到的就是t（x）由生成多項式g（x）得到的余式。對于CRC-32，可以將每個字節在后面補上32個0后與生成多項式進行運算，得到余式和此字節唯一對應，這個余式就是上面算法種t[]中的值，由于一個字節有8位，所以t[]共有 ＝256項。多項式運算性質可以參見參考文獻[1]。這種算法每次處理一個字節，通過查表法進行運算，大大提高了處理速度，故為大多數應用所采用。
三、CRC-32的程序實現。
為了提高編碼效率，在實際運用中大多采用查表法來完成CRC-32校驗，下面是產生CRC-32校驗嗎的子程序。
unsigned long  crc_32_tab[256]={
0x00000000, 0x77073096, 0xee0e612c, 0x990951ba, 0x076dc419, 0x706af48f, 0xe963a535, 0x9e6495a3,0x0edb8832,…, 0x5a05df1b, 0x2d02ef8d
};//事先計算出的參數表，共有256項，未全部列出。

unsigned long GenerateCRC32(char xdata * DataBuf,unsigned long  len)
{
unsigned long oldcrc32;
unsigned long crc32;
unsigned long oldcrc;
unsigned  int charcnt;
        char c,t;
oldcrc32 = 0x00000000; //初值為0
    charcnt=0;
while (len--) {
                t= (oldcrc32 >> 24) & 0xFF;   //要移出的字節的值
oldcrc=crc_32_tab[t];         //根據移出的字節的值查表
                c=DataBuf[charcnt];          //新移進來的字節值
                oldcrc32= (oldcrc32 << 8) | c;   //將新移進來的字節值添在寄存器末字節中
                oldcrc32=oldcrc32^oldcrc;     //將寄存器與查出的值進行xor運算
                charcnt++;
}
        crc32=oldcrc32;
        return crc32;
}
參數表可以先在PC機上算出來，也可在程序初始化時完成。下面是用于計算參數表的c語言子程序，在Visual C++ 6.0下編譯通過。
#include <stdio.h>
unsigned long int crc32_table[256];
unsigned long int ulPolynomial = 0x04c11db7;
unsigned long int Reflect(unsigned long int ref, char ch)
{ unsigned long int value(0);
// 交換bit0和bit7，bit1和bit6，類推
for(int i = 1; i < (ch + 1); i++)
{  if(ref & 1)
   value |= 1 << (ch - i);
      ref >>= 1; }
return value;
}
init_crc32_table()
{ unsigned long int crc,temp;
// 256個值
for(int i = 0; i <= 0xFF; i++)
{   temp=Reflect(i, 8);
  crc32_table= temp<< 24;
  for (int j = 0; j < 8; j++){
      unsigned long int t1,t2;
unsigned long int flag=crc32_table&0x80000000;
   t1=(crc32_table << 1);
   if(flag==0)
     t2=0;
   else
     t2=ulPolynomial;
   crc32_table =t1^t2 ;  }
  crc=crc32_table;
  crc32_table = Reflect(crc32_table, 32);
}
}