火車運煤問題（可參見原帖），你是山西煤老板，你開采了3000噸煤需要運送到市場上去賣，從你的礦區到市場有1000公里，你手里有一列燒煤的火車，這個火車最多只能裝1000噸煤，且其能耗比較大——每一公里需要耗一噸煤。請問，作為一個懂編程的煤老板的你，你會怎么運送才能運最多的煤到集市？

這個題的其他形式為，驢子吃蘿卜，駱駝吃香蕉，而我的問題是，如果你想運1000噸煤到集市，最少需要初始多少噸煤？

這個題的解答并不難，有很多網友都給出了答案，但是想說清楚道理還是比較繞彎。如果想做編程做模擬，代碼很簡單，但是有一些邊界條件、約束條件、中間過程也很繞，所以把這個不是編程題的編程題放在這里解答一下，供參考。

根據題意可知有三種運輸方式，分別是往返兩次加一次單程，成本為5；往返一次加一次單程，成本為3；一次單程，成本為1. 下面簡稱T5，T3，T1.  

首先給出最優策略1：用完所有能源，也就是運到終點的能源 + 路上消耗的能源=3000。否則，不論剩余多少能量，我們總可以后退一點，再多裝一些，把剩余能量的中的一部分送到終點。

下面引入運輸能力這個概念：
以T3舉例，從起點向終點方向走2趟，最大可裝載2000，運到距離為delta的某點之后，最大剩余2000-delta，因此稱T3的運輸能力C3 = 2000-delta <= 2000，(delta >= 0)。也就是說，T3最多能運送不超過2000的能量，超過2000就有剩余能量.

同理T5的運輸能力C5 = 3000-delta <= 3000，T1的運輸能力C1 = 1000 - delta <= 1000.

這樣，我們就得出最優策略2：在運輸能力范圍內，選用成本最低的方式。用R表示剩余未被運輸的能量，由策略1和策略2可知，最優的運送方式為：

當2000 <= R <= 3000時, 采用T5方式；

當1000 <= R <= 2000時, 采用T3方式；

當0 <= R <= 1000時, 采用T1方式。

即，先用T5消耗1000，剩余2000之后用T3方式再消耗1000，最后用T1方式運輸余下能量。因此最優解為：

T5: 運輸距離 x = 1000/5 = 200

T3: 運輸距離 y = 1000/3 = 333.333

T1: 運輸距離 z =1000 - x - y = 466.667

運送到終點的最大能量 = 1000 - 466.667 = 533.333

證畢.

近一步推廣：

首先簡化上面的計算過程：  

最大能量 = 1000 - z = 1000 - (1000 - x - y) = x + y = 1000 * (1/3 + 1/5).

因為，最大需要的運輸能力的方式Tmax=X/1000 * 2 - 1

所以，能夠運輸的最大能量 = 1000 * (1/3 + 1/5 + ... + 1/Tmax)

用歸納法很容易證明此結論。

因為1/3+1/5+1/7+...是發散的，所以理論上可以運送任意初始能源X，但是考慮到單程最大能力為1000，只要X比1000多一點，就可以用T3方式先運送一點，再用T1運送剩余，因此，約束條件為X > 1000.

最后提個問題，如果希望能夠賣到集市上1000噸煤，那么最少需要初始有多少噸？


你才山西煤老板！！！