原文：http://www.cnblogs.com/JCSU/articles/1449986.html

?

一、線性代數基本方程組

?

基本方程組：

?

矩陣表示：

?

?

解決問題的視角：

?

1、解聯立方程的視角 (行階梯變換 & ?矩陣運算)

著重研究解x，即研究線性方程組的解法。中學里的解方程和MATLAB的矩陣除法就是這樣。

要點：矩陣的每一行代表一個方程，m行代表m個線性聯立方程。 n列代表n個變量。如果m是獨立方程數，根據m<n、m=n、m>n確定方程是 ‘欠定’、‘適定’ 還是 ‘超定’。對這三種情況都會求解了，研究就完成了。必須剔除非獨立方程。行階梯形式、行列式和秩的概念很大程度上為此目的而建立。

?

2、向量空間中向量的合成的視角 (用向量空間解方程組)

把A各列看成n個m維基本向量，線性方程組看成基向量的線性合成：

要點：解x是這些基向量的系數。它可能是常數(適定方程)，也可能成為其中的一個子空間(欠定方程) 。要建立其幾何概念，并會求解或解空間。

?

3、線性變換或映射的視角 (線性變換及其特征)

把b看成變量y，著重研究把Rn空間的x變換為Rm空間y 的效果，就是研究線性變換系數矩陣A的特征對變換的影響。

?

要點：就是要找到適當的變換，使研究問題的物理意義最為明晰。特征值問題就是一例。

?

?

• Leontief教授把美國的經濟用500個變量的500個線性方程來描述，在1949年利用當時的計算機解出了42×42的簡化模型，使他于1973年獲得諾貝爾經濟獎，從而大大推動了線性代數的發展。

• 把飛行器的外形分成若干大的部件，每個部件沿著其表面又用三維的細網格劃分出許多立方體，這些立方體包括了機身表面以及此表面內外的空氣。對每個立方體列寫出空氣動力學方程，其中包括了與它相鄰的立方體的共同邊界變量，這些方程通常都已經簡化為線性方程。對一個飛行器，小立方體的數目可以多達400,000個，而要解的聯立方程可能多達2,000,000個。

• 飛行器的運動要用三個轉動和三個平移共六個變量來表示（像在第九章中介紹的那樣）。除此以外，為了控制飛行器的三維轉動，需要三個控制面，即方向舵（垂直尾翼）、升降舵（水平尾翼）和副翼，它們的偏轉角又構成了三個變量。描述飛行器的運動就需要12個變量的組合。而且這已經不單是代數方程，而是微分方程了。

• 衛星上用三種可見光和四種紅外光進行攝像，對每一個區域，可以獲得七張遙感圖象。利用多通道的遙感圖可以獲取盡可能多的地面信息，因為各種地貌、作物和氣象特征可能對不同波段的光敏感。而在實用上應該尋找每一個地方的主因素，成為一張實用的圖象。每一個象素上有七個數據，形成一個多元的變量數組，在其中合成并求取主因素的問題，就與線性代數中要討論的特征值問題有關。

• 在全國設立幾十萬個觀察點，把每一點的經度、緯度和高度三個坐標建立起來。現在對于經度緯度的測量精度要求，已經提高到了若干厘米，對于高度的精度要求更高。在一些邊遠地區，對于一些特征點的測量，要耗費很大的人力物力。例如對珠穆朗瑪峰頂高度的測量，要經過多種方法，取得多種數據，并且用最小二乘法進行誤差的處理。

?

?

三、行階梯法解線性方程

?

?

1、線性方程的Matlab表示方法

?

(1) 由n個變量組成的m個聯立線性代數方程組：

?

用MATLAB語言表示為：

其中：

n是未知數個數，m是獨立方程的個數。當m<n時，方程組有無數多個解，稱為欠定方程；當m>n時，方程組無解，稱為超定方程；當m=n時，方程組有唯一解，稱為適定方程；所以不能簡單地看形式上的m和n，還必須剔除其中非獨立方程的虛假成分。將要討論的行階梯形式、行列式和“秩”等概念，很大程度上就是為了找到獨立方程的數目。

?

(2) 解線性方程組及在matlab中的顯示

作圖的matlab代碼：

使用參考：ezplot

?

四個方程組在matlab中的作圖：

?

?

2、初等行變換

?

將系數矩陣A和B組成增廣矩陣：

?

對增廣矩陣的行作以下三種運算不會改變方程組的解，這三種運算組成了矩陣的初等行變換：

(1) 行交換：將增廣矩陣的第 i , j 兩行互換位置。MATLAB語句：c([i,j],:) = c([j,i],:)

(2) 行乘數：將增廣矩陣的第 i 行乘以常數 k 。MATLAB語句：c(i,:) = k*c(i,:)

(3) 行相加：將增廣矩陣的第 i 行乘以常數 k，加到第 j 行。MATLAB語句：c(j,:) = c(j,:) + k*c(i,:)

?

?

3、行階梯矩陣的生成(高斯消元過程)

?

(1) 行階梯矩陣、簡化行階梯矩陣

?

如果線性方程組的左端系數具有以下三個特點：

a) 所有非零行都處在全零行的上方；

b) 各行的第一個非零元素的列號比其上方所有各行的第一非零元素的列號都要大；

c) 所有的第一非零元素所在的列中，其下方的所有元素均為零；

這樣的矩陣稱為行階梯矩陣(或上三角矩陣)，如矩陣C1：

?

?

?

如果行階梯矩陣還滿足以下兩個額外特點，則稱之為簡化行階梯矩陣，如下圖的矩陣C2：

1)?各行的第一個非零元素是所在列中唯一的非零元素

2)?各行的第一個非零元素都等于1

?

(2) 高斯消元過程、實例、matlab消元

步驟1：把主對角線下方第一列元素全變為零。在矩陣的各行中，選擇第1列元素的絕對值最大的行，通過行交換把它放到第1行（這樣做主要是為了提高計算精度，如果不考慮精度，只要第1行第1列元素不為零，可以跳過這個環節）。以第1行為基準，依次把第2行至第n行的第1列的元素消為零。

步驟2：在2~n行中，選擇第2列元素的絕對值最大的行，通過行交換把它放到第2行。以第2行為基準行，依次把第3行至第n行的第2列的元素消為零。

步驟3: 做法同前面的步驟

...

步驟n-1：做法同前面的步驟

?

實例：用行階梯及回代法求解以下方程組(方程組對應的增廣矩陣已給出)：

?

matlab消元程序：

?

?

matlab中的消元過程如下：

?

?

?

4、MATLAB中的行階梯生成函數

MATLAB已經把“簡化行階梯形式(reduced row echelon form)”的計算過程集成為一個子程序rref。它的輸入變元可以是線性方程組的系數矩陣，也可以是其增廣矩陣，輸入U=rref([A,b])，輸出結果就是簡化行階梯矩陣。

?

例：用MATLAB中的rref求解3(2)中的方程組：

?

解得：x1=-0.0236,?? x2=0.7508,?? x3=-0.2828

?

?

5、行階梯法解欠定方程組

上面討論的是方程數m與變量數n相等的情況。普遍情況下，m<n，屬于欠定方程，方程將有無數解，我們必須找出其解的一般形式。即使m=n，也有可能是假象，因為有的方程是相依的，有效方程數也許小于m。要看清它究竟是什么類型，應該看行階梯形式的結果，即有效行的數目，有效行的個數也叫矩陣的“秩”。對于一個矩陣，盡管因變換的次序不同，但“秩”是唯一的。

對增廣矩陣C=[A, b]進行行階梯變換，得到的行階梯矩陣U的下方可能有全零出現。行階梯形式為：

其中，U為方程中左端的系數矩陣，d為方程右端的常數項。當U中某行各變量系數全為零時，d中的對應行也必須為零，否則就構成了等式左右不相等的矛盾方程。因此，矩陣A和增廣矩陣[A,b]的行階梯形式U(或簡化行階梯矩陣)應當有同樣的全零行，也就是兩者有同樣的秩，這是方程組有解的必要條件。

原來的m行中只剩下r個非全零行，意味著m個方程中只有r個有效，也就是它的秩為r，m-r個全零行反映了原方程組中有m-r個是相依方程，最后U中有效的部分是r×n矩陣，就是r個方程和n個未知數。因為r<n，這是一個欠定方程組，n個未知數(變量)中有n-r個可以任意設定，我們稱這些未知數為自由變量，也可把它們稱為任意常數。

?

例：解下列方程組

輸入系數矩陣A和常數矩陣b，求增廣矩陣的簡化行階梯形式，MATLAB代碼如下：

?

運行過程如下：

?

從U0可知，下方有兩個全零行，說明原方程中有兩個方程是相依的，只有三個獨立方程，此時各行首非零元素不在對主角線上，列號分別為1，2，4。我們應當把x1, x2, x4看作待求的變量，而把其余的兩個變量x3和x5看作自由變量。

把U恢復成方程形式并移項，使左端只包含待求變量，把x3和x5移到等式右邊：

如果要給出一個具體解，通常取自由變量x3和x5為零，這樣得出的解是x1=x2=x3=x5=0, x4=-1。但這樣來表示方程的解容易造成誤會，以為方程組只有一個解。所以比較嚴格的表示方法是取自由變量x3和x5為c1和c2:

x3=c1,? x5=c2,? x1=-c1+c2,? x2=0,? x4=-c2+1

這樣，選擇不同的c1和c2，就可以得出不同的解，所以其解有無數組。由于它包含兩個自由變量，因此在兩個自由度上都可以在（-∞,+∞）范圍內變化，從幾何上說，它的解占據了一個兩維空間(平面)。

解的最后形式：

?

?

5、應用實例

?

(1) 平板穩態溫度的計算

?

研究一個平板的熱傳導問題，設該平板的周邊溫度已經知道（見下圖），現在要確定板中間4個點a,b,c,d處的溫度。假定其熱傳導過程已經達到穩態，因此在均勻的網格點上，各點的溫度是其上下左右4個點的溫度的平均值。

根據題意列出方程為：

移項整理為標準的矩陣形式為：

輸入MATLAB程度計算為：

?

把它“翻譯”為方程，即有：xa=20℃，xb=27.5℃，xc=22.5℃，xd=30℃

?

?

(2) 化學方程式配平

?

建立一個向量方程組，每個方程分別描述一種原子在反應前后的數目。在上面的方程中，有碳、氫、氧三種元素需要配平，構成了三個方程。而有四種物質，其數量用四個變量x1,x2,x3,x4來表示。將每種物質中的元素原子數按碳、氫、氧順序排列，可以寫出：

要使方程配平，x1,x2,x3,x4必須滿足：

寫成矩陣方程：

對A進行行階梯變換：

?

要注意這四個列對應于四個變量的系數，所以這三行系數對應的方程是：

x₁????????? -0.2500x₄ = 0
??? x₂????? -1.2500x₄ = 0
??????? x₃? -0.7500x₄ = 0

即x4是自由變量。因為化學家們喜歡把方程的系數取為最小整數，此處可取x4=4，則x1,x2,x3均有整數解，x1=1, x2=5, x3=3。?

對于比較復雜的反應過程，為了便于得到最小整數解，在解化學配平的線性方程組時，應該在MATLAB中先規定取有理分式格式，即先輸入format rat，這樣就很容易看出應令x4=4。結果為：

?

?

(3) 交通流量分析

某城市有兩組單行道，構成了一個包含四個節點A,B,C,D的十字路口，如下圖所示。在交通繁忙時段的汽車從外部進出此十字路口的流量（每小時的車流數）標于圖上。現要求計算每兩個節點之間路段上的交通流量x1, x2, x3, x4。

解：

在每個節點上，進入和離開的車數應該相等，這就決定了四個節點的流通方程：