一般仿射變換

3x3矩陣僅能表達(dá)3D中的線性變換，不能包含平移。經(jīng)過(guò)4x4矩陣的武裝后，現(xiàn)在我們可以構(gòu)造包含平移在內(nèi)的一般仿射變換矩陣了。例如：

（1）繞不通過(guò)原點(diǎn)的軸旋轉(zhuǎn)。

（2）沿不穿過(guò)原點(diǎn)的平面縮放。

（3）沿不穿過(guò)原點(diǎn)的平面鏡像。

（4）向不穿過(guò)原點(diǎn)的平面正交投影。

它們的基本思想是將變換的"中心點(diǎn)"平移到原點(diǎn)，接著進(jìn)行線性變換，然后再將"中心點(diǎn)"平移回原來(lái)的位置。開始使用平移矩陣T將點(diǎn)P移到原點(diǎn)，接著用線性變換矩陣R進(jìn)行線性變換，最終的仿射變換矩陣M等于矩陣的積，即：TRT-1。T-1是平移矩陣，執(zhí)行和T相反的變換。

觀察這種矩陣的一般形式，它非常有趣。讓我們先用 "分塊"形式寫出前面用到的T、R、T-1。

可以看出，仿射變換中增加的平移部分僅僅改變了4x4矩陣的最后一行，并沒(méi)有影響到上面所包含的線性變換的3x3部分。

 

透視投影

學(xué)習(xí)透視投影最好的方法是將它和平行投影相比較。正交投影也稱作平行投影，因?yàn)橥队熬€都是平行的（投影線是指從原空間中的點(diǎn)到投影點(diǎn)的連線）。正交投影中的平行線如圖9.3所示：

3D中的透視投影仍然是投影到2D平面上，但是投影線不再平行，實(shí)際上，它們相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱作投影中心。如圖9.4所示：

因?yàn)橥队爸行脑谕队捌矫媲懊妫队熬€到達(dá)平面之前已經(jīng)相交，所以投影平面上的圖像是翻轉(zhuǎn)的。當(dāng)物體遠(yuǎn)離投影中心時(shí)，正交投影仍保持不變，但透視投影變小了。如圖9.5所示：

圖9.5中，右邊的茶壺離投影平面更遠(yuǎn)，所以它的投影比離投影平面較近的那個(gè)茶壺小。這是一種非常重要的視覺(jué)現(xiàn)象，稱作透視縮略。

 

小孔成像

透視投影在圖形學(xué)中非常重要，因?yàn)樗侨祟愐曈X(jué)系統(tǒng)的模型。實(shí)際上，人類視覺(jué)系統(tǒng)遠(yuǎn)比這復(fù)雜，因?yàn)槲覀冇袃芍谎劬Γ覍?duì)于每只眼睛，投影表面（視網(wǎng)膜）不是一個(gè)平面。所以，讓我們來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單些的例子----小孔成像。小孔成像系統(tǒng)就是一個(gè)盒子，一側(cè)上有小孔，光線穿過(guò)小孔照射到另一側(cè)的背面，那里就是投影平面。如圖9.6所示：

圖9.6中，盒子左面和右面是透明的，以使你能看見盒子內(nèi)部。注意盒子內(nèi)部的投影是倒著的，這是因?yàn)楣饩€（投影線）已經(jīng)在小孔處（投影中心）相交了。

讓我們探索小孔成像背后的幾何原理。設(shè)想一個(gè)3D坐標(biāo)系，它的原點(diǎn)在投影中心，z軸垂直于投影平面，x和y軸平行于投影平面。如圖9.7所示：

讓我們看看能否計(jì)算出任意點(diǎn)p通過(guò)小孔投影到投影平面上的坐標(biāo)p'。首先，需要知道小孔到投影平面的距離，設(shè)為d。因此，投影平面為z=-d。現(xiàn)在，從另一個(gè)角度來(lái)看問(wèn)題，求出新的y。如圖9.8所示。

由相似三角形得到：

注意小孔成像顛倒了圖像，py和py'的符號(hào)相反。px'的值可通過(guò)類似的方法求得：

所有投影點(diǎn)的z值都是相同的：-d。因此，點(diǎn)p通過(guò)原點(diǎn)向平面z=-d投影的結(jié)果如公式9.11所示：

在實(shí)際應(yīng)用中，負(fù)號(hào)會(huì)帶來(lái)不必要的復(fù)雜性。所以將投影平面移到投影的前面（也就是說(shuō)，平面z=d），如圖 9.9所示：

當(dāng)然，這對(duì)于實(shí)際的小孔成像是不可能的。因?yàn)樵O(shè)置小孔的目的就是使光線只能通過(guò)小孔，但在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)世界中，可以不理會(huì)這些規(guī)定。如你所愿，將投影平面移到投影中心前面，煩人的負(fù)號(hào)消失了，如公式9.12所示：

 

使用4x4矩陣進(jìn)行透視投影

從4D到3D的變換就意味著除法運(yùn)算，因此我們可以利用4x4階矩陣來(lái)編寫代碼，以實(shí)現(xiàn)透視投影。基本思想是提出一個(gè)關(guān)于p'的公式，其中的x、y、z有公分母，然后構(gòu)造一個(gè)4x4矩陣，使w與這個(gè)公分母相等。這里我們假設(shè)初始點(diǎn)處有w=1。

先對(duì)3D形式表達(dá)的p'公式變形，可以得到：

將4D齊次向量變換到3D時(shí)，要用4D向量除以w，反推可知p'的4D形式為：

[x  y   z  z/d]

因此我們需要一個(gè)4x4矩陣，它可接收一個(gè)奇異的齊次向量。該向量的形式為[x, y, z, 1]，然后將其變換為上述形式。這樣的矩陣如公式9.13所示：

這樣就得到了一個(gè)4x4投影矩陣，有幾個(gè)需要注意的地方：

（1）乘以這個(gè)矩陣并沒(méi)有進(jìn)行實(shí)際的透視投影變換，它只是計(jì)算出合適的分母。投影實(shí)際發(fā)生在從4D向3D變換時(shí)。

（2）存在多種變換。例如，將投影平面放在z=0處而投影中心在[0, 0, -d]，這將導(dǎo)致一個(gè)不同的公式。

（3）這里看起來(lái)比較復(fù)雜，似乎只需要簡(jiǎn)單地除以z，不必勞煩矩陣。那么為什么要使用齊次矩陣呢？第一，4x4矩陣提供了一個(gè)方法將投影表達(dá)為變換，這樣就能和其他變換相連接；第二，使得投影到不平行于坐標(biāo)軸的平面變得可行。實(shí)際上，我們不需要齊次坐標(biāo)做任何運(yùn)算，但4x4矩陣提供了一種簡(jiǎn)潔的方法表達(dá)和操縱投影變換。

（4）實(shí)際的圖形幾何管道中的投影矩陣不像這里導(dǎo)出的那樣，還有許多重要的細(xì)節(jié)需要考慮。如用以上矩陣對(duì)向量進(jìn)行變換后，z值實(shí)際上被舍棄了，而很多圖形系統(tǒng)的z緩沖用到了該值。