題意就是給出個數(shù)n，求
Σgcd(i,n)(1<=i<=n)。感覺好奇葩的題目，數(shù)論的題確實比較難想，沒看出跟歐拉函數(shù)有什么關系。
很糾結，沒心情沒時間繼續(xù)想了。看了discussion，然后又去搜了下答案，發(fā)現(xiàn)有個哥們也得非常不錯，就看了下思路了。
這個題的解法是枚舉i(1<=i<=n)，如果i|n，那么答案加上euler(n/i)*i。其實ans = Σi*euler(n/i)(i<=i<=n而且i|n)。
意思是從1到n的所有數(shù)字i，如果i是n的因子，那么計算i*euler(n/i)，加入答案中，euler是歐拉函數(shù)的意思。
為什么是這樣的了。比如，1到n中有m個數(shù)字和n擁有公共的最大因子i，那么就需要把m*i加入答案中。問題是如何計算m的個數(shù)。
因為gcd(m,n) = i，可以得到gcd(m/i,n/i)=1，那么m/i就是n/i的乘法群中的數(shù)字了，那么一共存在euler(n/i)個m/i了，那么就
可以推出m的個數(shù)就是euler(n/i)。
代碼如下:
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define MAX (6000000)
bool bPrime[MAX];
void InitPrime()
{
int nMax = sqrt((double)MAX) + 1;
bPrime[0] = bPrime[1] = true;
for (int i = 2; i <= nMax; ++i)
{
if (!bPrime[i])
{
for (int j = 2 * i; j < MAX; j += i)
{
bPrime[j] = true;
}
}
}
}
bool IsPrime(long long nN)
{
if (nN < MAX)return !bPrime[nN];
long long nMax = sqrt((double)nN) + 1;
for (int i = 2; i <= nMax; ++i)
{
if (nN % i == 0)
return false;
}
return true;
}
long long Euler(long long nN)
{
long long nAns = 1;
//printf("nN:%I64d,", nN);
if (IsPrime(nN))nAns = nN - 1;
else
for (int i = 2; i <= nN; ++i)
{
if (nN % i == 0)
{
nAns *= i - 1;
nN /= i;
while (nN % i == 0)
{
nAns *= i;
nN /= i;
}
if (IsPrime(nN))
{
nAns *= nN - 1;
break;
}
}
}
//printf("nAns:%I64d\n", nAns);
return nAns;
}
int main()
{
long long nN;
InitPrime();
while (scanf("%I64d", &nN) == 1)
{
long long nAns = 0;
long long nMax = sqrt((double)nN) + 1e-8;
for (long long i = 1; i <= nMax; ++i)
{
if (nN % i == 0)
{
//printf("i:%I64d\n", i);
nAns += i * Euler(nN / i);
if (i * i != nN)
nAns += (nN / i) * Euler(i);
}
}
printf("%I64d\n", nAns);
}
return 0;
}