這個題是求原根的個數(shù)。所謂原根，意思是給定一個數(shù)n，存在數(shù)g，g^j能夠產(chǎn)生乘法群Zn*中所有的數(shù)字。即g^j = {x|x與n互質(zhì),
1<=x<n}。如果n是奇素數(shù)p(大于2的素數(shù))，那么滿足g^j={1,2,...,p-1}。
這個題目要求求原根的個數(shù)。由費馬定理由,對任意1<=x<p，即Zp*中的數(shù)字，都由x^(p-1) = 1 % p。從費馬定理可以看出，
再往下計算就開始循環(huán)了。那么有,x^i%p(1<=i<p) = {1, 2, 3,...,p-1},意思是能夠生成Zp*中的所有數(shù)字。
根據(jù)上面的那個式子可以得到，x^i%(p-1)(1<=i<p) = {0, 1, 2,...,p-2}。 如果由gcd(x,p-1) = 1,那么必然存在某個x^i，
使得x^i*x = (p-1)%p。
因此可以得到，原根的個數(shù)是p-1的乘法群中元素的個數(shù)，也就是歐拉函數(shù)(p-1)。
代碼如下：
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define MAX (5000000)
bool bPrime[MAX];
void InitPrime()
{
int nMax = sqrt((double)MAX) + 1;
bPrime[0] = bPrime[1] = true;
for (int i = 2; i <= nMax; ++i)
{
if (!bPrime[i])
{
for (int j = 2 * i; j < MAX; j += i)
{
bPrime[j] = true;
}
}
}
}
bool IsPrime(int nN)
{
if (nN < MAX)return !bPrime[nN];
int nMax = sqrt((double)nN) + 1;
for (int i = 2; i <= nMax; ++i)
{
if (nN % i == 0)
return false;
}
return true;
}
int main()
{
int nN;
InitPrime();
while (scanf("%d", &nN) == 1)
{
nN--;
int nAns = 1;
if (IsPrime(nN))
{
nAns = nN - 1;
}
else
{
for (int i = 2; i <= nN; ++i)
{
if (nN % i == 0)
{
nAns *= i - 1;
nN /= i;
while (nN % i == 0)
{
nAns *= i;
nN /= i;
}
if (IsPrime(nN))
{
nAns *= nN - 1;
break;
}
}
}
}
printf("%d\n", nAns);
}
return 0;
}