前面幾篇談了一些對(duì)數(shù)學(xué)的粗淺看法。其實(shí)，如果對(duì)某門數(shù)學(xué)有興趣，最好的方法就是走進(jìn)那個(gè)世界去學(xué)習(xí)和體驗(yàn)。

這里說(shuō)說(shuō)幾本我看過(guò)后覺(jué)得不錯(cuò)的數(shù)學(xué)教科書(shū)。

1. 線性代數(shù) (Linear Algebra)：

我想國(guó)內(nèi)的大學(xué)生都會(huì)學(xué)過(guò)這門課程，但是，未必每一位老師都能貫徹它的精要。這門學(xué)科對(duì)于Learning是必備的基礎(chǔ)，對(duì)它的透徹掌握是必不可少的。我在科大一年級(jí)的時(shí)候就學(xué)習(xí)了這門課，后來(lái)到了香港后，又重新把線性代數(shù)讀了一遍，所讀的是

Introduction to Linear Algebra (3rd Ed.)  by Gilbert Strang.

這本書(shū)是MIT的線性代數(shù)課使用的教材，也是被很多其它大學(xué)選用的經(jīng)典教材。它的難度適中，講解清晰，重要的是對(duì)許多核心的概念討論得比較 透徹。我個(gè)人覺(jué)得，學(xué)習(xí)線性代數(shù)，最重要的不是去熟練矩陣運(yùn)算和解方程的方法——這些在實(shí)際工作中MATLAB可以代勞，關(guān)鍵的是要深入理解幾個(gè)基礎(chǔ)而又 重要的概念：子空間(Subspace)，正交(Orthogonality)，特征值和特征向量(Eigenvalues and eigenvectors)，和線性變換(Linear transform)。從我的角度看來(lái)，一本線代教科書(shū)的質(zhì)量，就在于它能否給這些根本概念以足夠的重視，能否把它們的聯(lián)系講清楚。Strang的這本書(shū) 在這方面是做得很好的。

而且，這本書(shū)有個(gè)得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)。書(shū)的作者長(zhǎng)期在MIT講授線性代數(shù)課(18.06)，課程的video在MIT的Open courseware網(wǎng)站上有提供。有時(shí)間的朋友可以一邊看著名師授課的錄像，一邊對(duì)照課本學(xué)習(xí)或者復(fù)習(xí)。

http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/CourseHome/index.htm

2. 概率和統(tǒng)計(jì) (Probability and Statistics):

概率論和統(tǒng)計(jì)的入門教科書(shū)很多，我目前也沒(méi)有特別的推薦。我在這里想介紹的是一本關(guān)于多元統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)教科書(shū)：

Applied Multivariate Statistical Analysis (5th Ed.)  by Richard A. Johnson and Dean W. Wichern

這本書(shū)是我在剛接觸向量統(tǒng)計(jì)的時(shí)候用于學(xué)習(xí)的，我在香港時(shí)做研究的基礎(chǔ)就是從此打下了。實(shí)驗(yàn)室的一些同學(xué)也借用這本書(shū)學(xué)習(xí)向量統(tǒng)計(jì)。這本書(shū) 沒(méi)有特別追求數(shù)學(xué)上的深度，而是以通俗易懂的方式講述主要的基本概念，讀起來(lái)很舒服，內(nèi)容也很實(shí)用。對(duì)于Linear regression, factor analysis, principal component analysis (PCA), and canonical component analysis (CCA)這些Learning中的基本方法也展開(kāi)了初步的論述。

之后就可以進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)貝葉斯統(tǒng)計(jì)和Graphical models。一本理想的書(shū)是

Introduction to Graphical Models (draft version).  by M. Jordan and C. Bishop.

我不知道這本書(shū)是不是已經(jīng)出版了（不要和Learning in Graphical Models混淆，那是個(gè)論文集，不適合初學(xué)）。這本書(shū)從基本的貝葉斯統(tǒng)計(jì)模型出發(fā)一直深入到復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)網(wǎng)絡(luò)的估計(jì)和推斷，深入淺 出，statistical learning的許多重要方面都在此書(shū)有清楚論述和詳細(xì)講解。MIT內(nèi)部可以access，至于外面，好像也是有電子版的。

3. 分析 (Analysis)：

我想大家基本都在大學(xué)就學(xué)過(guò)微積分或者數(shù)學(xué)分析，深度和廣度則隨各個(gè)學(xué)校而異了。這個(gè)領(lǐng)域是很多學(xué)科的基礎(chǔ)，值得推薦的教科書(shū)莫過(guò)于

Principles of Mathematical Analysis, by Walter Rudin

有點(diǎn)老，但是絕對(duì)經(jīng)典，深入透徹。缺點(diǎn)就是比較艱深——這是Rudin的書(shū)的一貫風(fēng)格，適合于有一定基礎(chǔ)后回頭去看。

在分析這個(gè)方向，接下來(lái)就是泛函分析(Functional Analysis)。

Introductory Functional Analysis with Applications, by Erwin Kreyszig.

適合作為泛函的基礎(chǔ)教材，容易切入而不失全面。我特別喜歡它對(duì)于譜論和算子理論的特別關(guān)注，這對(duì)于做learning的研究是特別重要的。 Rudin也有一本關(guān)于functional analysis的書(shū)，那本書(shū)在數(shù)學(xué)上可能更為深刻，但是不易于上手，所講內(nèi)容和learning的切合度不如此書(shū)。

在分析這個(gè)方向，還有一個(gè)重要的學(xué)科是測(cè)度理論(Measure theory)，但是我看過(guò)的書(shū)里面目前還沒(méi)有感覺(jué)有特別值得介紹的。

4. 拓?fù)?(Topology)：

在我讀過(guò)的基本拓?fù)鋾?shū)各有特色，但是綜合而言，我最推崇：

Topology (2nd Ed.)  by James Munkres

這本書(shū)是Munkres教授長(zhǎng)期執(zhí)教MIT拓?fù)湔n的心血所凝。對(duì)于一般拓?fù)鋵W(xué)(General topology)有全面介紹，而對(duì)于代數(shù)拓?fù)?Algebraic topology)也有適度的探討。此書(shū)不需要特別的數(shù)學(xué)知識(shí)就可以開(kāi)始學(xué)習(xí)，由淺入深，從最基本的集合論概念（很多書(shū)不屑講這個(gè)）到Nagata- Smirnov Theorem和Tychonoff theorem等較深的定理（很多書(shū)避開(kāi)了這個(gè)）都覆蓋了。講述方式思想性很強(qiáng)，對(duì)于很多定理，除了給出證明過(guò)程和引導(dǎo)你思考其背后的原理脈絡(luò)，很多令人 贊嘆的亮點(diǎn)——我常讀得忘卻饑餓，不愿釋手。很多習(xí)題很有水平。

5. 流形理論 (Manifold theory)：

對(duì)于拓?fù)浜头治鲇幸欢ò盐諘r(shí)，方可開(kāi)始學(xué)習(xí)流形理論，否則所學(xué)只能流于浮淺。我所使用的書(shū)是

Introduction to Smooth Manifolds.  by John M. Lee

雖然書(shū)名有introduction這個(gè)單詞，但是實(shí)際上此書(shū)涉入很深，除了講授了基本的manifold, tangent space, bundle, sub-manifold等，還探討了諸如綱理論(Category theory)，德拉姆上同調(diào)(De Rham cohomology)和積分流形等一些比較高級(jí)的專題。對(duì)于李群和李代數(shù)也有相當(dāng)多的討論。行文通俗而又不失嚴(yán)謹(jǐn)，不過(guò)對(duì)某些記號(hào)方式需要熟悉一下。

雖然李群論是建基于平滑流形的概念之上，不過(guò)，也可能從矩陣出發(fā)直接學(xué)習(xí)李群和李代數(shù)——這種方法對(duì)于急需使用李群論解決問(wèn)題的朋友可能更加實(shí)用。而且，對(duì)于一個(gè)問(wèn)題從不同角度看待也利于加深理解。下面一本書(shū)就是這個(gè)方向的典范：

Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction.  by Brian C. Hall

此書(shū)從開(kāi)始即從矩陣切入，從代數(shù)而非幾何角度引入矩陣?yán)钊旱母拍睢２⑼ㄟ^(guò)定義運(yùn)算的方式建立exponential mapping，并就此引入李代數(shù)。這種方式比起傳統(tǒng)的通過(guò)“左不變向量場(chǎng)(Left-invariant vector field)“的方式定義李代數(shù)更容易為人所接受，也更容易揭示李代數(shù)的意義。最后，也有專門的論述把這種新的定義方式和傳統(tǒng)方式聯(lián)系起來(lái)。

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無(wú)論是研究Vision, Learning還是其它別的學(xué)科，數(shù)學(xué)終究是根基所在。學(xué)好數(shù)學(xué)是做好研究的基石。學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵歸根結(jié)底是自己的努力，但是選擇一本好的書(shū)還是大有益 處的。不同的人有不同的知識(shí)背景，思維習(xí)慣和研究方向，因此書(shū)的選擇也因人而異，只求適合自己，不必強(qiáng)求一致。上面的書(shū)僅僅是從我個(gè)人角度的出發(fā)介紹的， 我的閱讀經(jīng)歷實(shí)在非常有限，很可能還有比它們更好的書(shū)（不妨也告知我一聲，先說(shuō)聲謝謝了）。