我 們的生活從來不缺乏距離的概念，無論是時間的還是空間的，可以測量的還是不可以測量的。自我們來到這個世界，就會用我們還很幼小的眼睛測量著自己和身邊的 人的距離，然后跟著距離自己最近的人學叫“媽媽”；長大了，我們學會了用“距離產生美”這種不知道屬于公理還是定理的命題，提醒自己不要和心儀的mm走得 太近；而垂垂老矣的人們則開始計算自己到生命終點的距離，盤算著什么時候該立遺囑了。

什么叫距離呢？隨便翻開一本數學教科書，你會發 現，這些書會在這個或者那個角落告訴你，所謂距離，就是一個符合對稱性和三角不等式的非負二元函數。為什么要符合對稱性和三角不等式呢——大部分的書會告 訴你，這是規定——不符合的就不是距離。少部分負責任一些的書會告訴你，不符合這些條件的“距離”會多麻煩。于是你接受了。

當你放下書 本，回到我們多姿多彩的生活中的時候，這個呆板的定義似乎不能有效地解決你生活中的問題。你去hiking的時候，入口處告訴你，從山下到山上的距離是多 少多少里路，按說上山和下山的距離是一樣的，可是當你攀到山頂又走回來的時候，心里可能犯嘀咕，怎么感覺距離不一樣呢？偉大的數學家們是不會錯的。這是相 對論！——那些費了半天勁才把洛侖茲變換搞明白的人們，生怕錯過了這個機會就沒有機會顯示自己深厚的物理底蘊了。不過，我只是相信一點，根據目前人類的進 化水平，即使把世界短跑冠軍的運動速度和地球公轉自轉速度加起來再乘以10，離光速還遠著呢。

再說一個例子，不知道男同胞們是不是發 現，當你想去接近你的夢中情人的時候，距離似乎遙不可及——走出太陽系似乎都沒有那么遠，反過來，當她想接近你的時候，這個距離比任何預先給定的正實數都 小——我有點懷疑，牛頓或者萊布尼茨當年是不是有過類似體驗，才總結出了微機分——這告訴我們為什么微機分不是女生提出的。

為了能讓距 離去解釋上面說到的現象，我們有必要把它的概念推廣一下，把對稱性去掉——很多情況下，我們甚至把三角不等式也去掉。一個著名的例子，就是 Kullback-Leibler divergence——用來描述兩個分布的“距離”。大家注意了，這里定義這個的人很聰明，為了不和數學家作對，他選擇叫做divergence，而不 是distance。不過，很多信息論和統計學的書都猶抱琵琶半遮面地告訴我們，其實可以把它YY成為某種距離。伴隨著對稱性的喪失，距離的方向性出現 了。就是說從a到b的距離，和從b到a的距離是不一樣的——恩，這種推廣看起來很適合用來計算你和你心儀的人的距離，或者山頂和山腳的距離。

小 學老師告訴我們怎么去量度兩個點之間的距離，就是拿一把尺子。可是，很多時候，你沒有機會使用直尺的。你所能做的就是從這點走到那點，看看費了多少勁—— 這就是我們大多數人在生活經驗中的距離。黎曼老先生，作為理論聯系實際的代表，第一次從在數學上總結了這種生活上的距離——geodesic distance，中文叫做測地距離。它是怎么算距離的呢？就是從起點出發，一步步走向目標，然后把每一步費了多少勁加起來。至于，每一步費了多少勁怎么 算，大家都可以有不同的算法——但是，這些都叫Riemann Metric。 為了大家計算距離時的身體健康，鼓勵大家節省能源，規定，只有按照最省事的方法到達目標，這樣算出來的才叫距離。 不過，在很多實際應用中，大家只能找到比較省事的方法，未必是“最省的”，也睜一只眼閉一只眼，把算出來的東西追加“距離”的光榮稱號。

打 破對稱性的千年枷鎖，扔掉直尺這種陳腐工具，人們獲得了空前的思想解放。男生和女生們開始附庸風雅地用曾經只存在于象牙塔的概念——距離——去評價自己和 她或者他的關系。如何評價，見仁見智——在我看來，很多人的metric里面不外乎寫了多少情書，給電信公司貢獻了多少短信費，qq/msn在線了多少時 間，又或者吃了多少頓麥當勞。。。。。。在這個定義的基礎上，“距離產生美”——這個掛在多少人口頭的箴言橫空出世了。根據距離就是費了多少勁的意思，這 句話告訴我們，只有費了很多功夫，死了無數腦細胞，才能得到，或者還得不到的才是美的；信手而獲，不需要追求的，就談不上美了。從這個意義上說，這句話和 高中的學到的“勞動產生價值”的道理是一樣的，只不過，“勞動產生價值”是物質層次的——太俗了，“距離產生美”是精神層次的，檔次和格調顯然不一樣。