我 們的生活從來不缺乏距離的概念，無論是時(shí)間的還是空間的，可以測量的還是不可以測量的。自我們來到這個(gè)世界，就會(huì)用我們還很幼小的眼睛測量著自己和身邊的 人的距離，然后跟著距離自己最近的人學(xué)叫“媽媽”；長大了，我們學(xué)會(huì)了用“距離產(chǎn)生美”這種不知道屬于公理還是定理的命題，提醒自己不要和心儀的mm走得 太近；而垂垂老矣的人們則開始計(jì)算自己到生命終點(diǎn)的距離，盤算著什么時(shí)候該立遺囑了。

什么叫距離呢？隨便翻開一本數(shù)學(xué)教科書，你會(huì)發(fā) 現(xiàn)，這些書會(huì)在這個(gè)或者那個(gè)角落告訴你，所謂距離，就是一個(gè)符合對(duì)稱性和三角不等式的非負(fù)二元函數(shù)。為什么要符合對(duì)稱性和三角不等式呢——大部分的書會(huì)告 訴你，這是規(guī)定——不符合的就不是距離。少部分負(fù)責(zé)任一些的書會(huì)告訴你，不符合這些條件的“距離”會(huì)多麻煩。于是你接受了。

當(dāng)你放下書 本，回到我們多姿多彩的生活中的時(shí)候，這個(gè)呆板的定義似乎不能有效地解決你生活中的問題。你去hiking的時(shí)候，入口處告訴你，從山下到山上的距離是多 少多少里路，按說上山和下山的距離是一樣的，可是當(dāng)你攀到山頂又走回來的時(shí)候，心里可能犯嘀咕，怎么感覺距離不一樣呢？偉大的數(shù)學(xué)家們是不會(huì)錯(cuò)的。這是相 對(duì)論！——那些費(fèi)了半天勁才把洛侖茲變換搞明白的人們，生怕錯(cuò)過了這個(gè)機(jī)會(huì)就沒有機(jī)會(huì)顯示自己深厚的物理底蘊(yùn)了。不過，我只是相信一點(diǎn)，根據(jù)目前人類的進(jìn) 化水平，即使把世界短跑冠軍的運(yùn)動(dòng)速度和地球公轉(zhuǎn)自轉(zhuǎn)速度加起來再乘以10，離光速還遠(yuǎn)著呢。

再說一個(gè)例子，不知道男同胞們是不是發(fā) 現(xiàn)，當(dāng)你想去接近你的夢(mèng)中情人的時(shí)候，距離似乎遙不可及——走出太陽系似乎都沒有那么遠(yuǎn)，反過來，當(dāng)她想接近你的時(shí)候，這個(gè)距離比任何預(yù)先給定的正實(shí)數(shù)都 小——我有點(diǎn)懷疑，牛頓或者萊布尼茨當(dāng)年是不是有過類似體驗(yàn)，才總結(jié)出了微機(jī)分——這告訴我們?yōu)槭裁次C(jī)分不是女生提出的。

為了能讓距 離去解釋上面說到的現(xiàn)象，我們有必要把它的概念推廣一下，把對(duì)稱性去掉——很多情況下，我們甚至把三角不等式也去掉。一個(gè)著名的例子，就是 Kullback-Leibler divergence——用來描述兩個(gè)分布的“距離”。大家注意了，這里定義這個(gè)的人很聰明，為了不和數(shù)學(xué)家作對(duì)，他選擇叫做divergence，而不 是distance。不過，很多信息論和統(tǒng)計(jì)學(xué)的書都猶抱琵琶半遮面地告訴我們，其實(shí)可以把它YY成為某種距離。伴隨著對(duì)稱性的喪失，距離的方向性出現(xiàn) 了。就是說從a到b的距離，和從b到a的距離是不一樣的——恩，這種推廣看起來很適合用來計(jì)算你和你心儀的人的距離，或者山頂和山腳的距離。

小 學(xué)老師告訴我們?cè)趺慈チ慷葍蓚€(gè)點(diǎn)之間的距離，就是拿一把尺子。可是，很多時(shí)候，你沒有機(jī)會(huì)使用直尺的。你所能做的就是從這點(diǎn)走到那點(diǎn)，看看費(fèi)了多少勁—— 這就是我們大多數(shù)人在生活經(jīng)驗(yàn)中的距離。黎曼老先生，作為理論聯(lián)系實(shí)際的代表，第一次從在數(shù)學(xué)上總結(jié)了這種生活上的距離——geodesic distance，中文叫做測地距離。它是怎么算距離的呢？就是從起點(diǎn)出發(fā)，一步步走向目標(biāo)，然后把每一步費(fèi)了多少勁加起來。至于，每一步費(fèi)了多少勁怎么 算，大家都可以有不同的算法——但是，這些都叫Riemann Metric。 為了大家計(jì)算距離時(shí)的身體健康，鼓勵(lì)大家節(jié)省能源，規(guī)定，只有按照最省事的方法到達(dá)目標(biāo)，這樣算出來的才叫距離。 不過，在很多實(shí)際應(yīng)用中，大家只能找到比較省事的方法，未必是“最省的”，也睜一只眼閉一只眼，把算出來的東西追加“距離”的光榮稱號(hào)。

打 破對(duì)稱性的千年枷鎖，扔掉直尺這種陳腐工具，人們獲得了空前的思想解放。男生和女生們開始附庸風(fēng)雅地用曾經(jīng)只存在于象牙塔的概念——距離——去評(píng)價(jià)自己和 她或者他的關(guān)系。如何評(píng)價(jià)，見仁見智——在我看來，很多人的metric里面不外乎寫了多少情書，給電信公司貢獻(xiàn)了多少短信費(fèi)，qq/msn在線了多少時(shí) 間，又或者吃了多少頓麥當(dāng)勞。。。。。。在這個(gè)定義的基礎(chǔ)上，“距離產(chǎn)生美”——這個(gè)掛在多少人口頭的箴言橫空出世了。根據(jù)距離就是費(fèi)了多少勁的意思，這 句話告訴我們，只有費(fèi)了很多功夫，死了無數(shù)腦細(xì)胞，才能得到，或者還得不到的才是美的；信手而獲，不需要追求的，就談不上美了。從這個(gè)意義上說，這句話和 高中的學(xué)到的“勞動(dòng)產(chǎn)生價(jià)值”的道理是一樣的，只不過，“勞動(dòng)產(chǎn)生價(jià)值”是物質(zhì)層次的——太俗了，“距離產(chǎn)生美”是精神層次的，檔次和格調(diào)顯然不一樣。