近日來，抽空再讀了一遍點集拓撲(Point Set Topology)，這是我第三次重新學習這個理論了。我看電視劇和小說，極少能有興致看第二遍，但是，對于數學，每看一次都有新的啟發和收獲。

代 數，分析，和拓撲，被稱為是現代數學的三大柱石。最初讀拓撲，是在兩三年前，由于學習流形理論的需要。可是，隨著知識的積累，發現它是很多理論的根基。可 以說，沒有拓撲，就沒有現代意義的分析與幾何。我們在各種數學分支中接觸到的最基本的概念，比如，極限，連續，距離（度量），邊界，路徑，在現代數學中， 都源于拓撲。

拓撲學是一門非常奇妙的學科，它把最直觀的現象和最抽象的概念聯系在一起了。拓撲描述的是普遍使用的概念（比如開集，閉 集，連續），我們對這些概念習以為常，理所當然地使用著，可是，真要定義它，則需要對它們本質的最深刻的洞察。數學家們經過長時間的努力，得到了這些概念 的現代定義。這里面很多第一眼看上去，會感覺驚奇——怎么會定義成這個樣子。

首先是開集。在學習初等數學時，我們都學習開區間 (a, b)。可是，這只是在一條線上的，怎么推廣到二維空間，或者更高維空間，或者別的形體上呢？最直觀的想法，就是“一個不包含邊界的集合”。可是，問題來 了，給一個集合，何謂“邊界”？在拓撲學里面，開集(Open Set)是最根本的概念，它是定義在集合運算的基礎上的。它要求開集符合這樣的條件：開集的任意并集和有限交集仍為開集。

我最初的時 候，對于這樣的定義方式，確實百思不解。不過，讀下去，看了和做了很多證明后，發現，這樣的定義一個很重要的意義在于：它保證了開集中每個點都有一個鄰域 包含在這個集合內——所有點都和外界（補集）保持距離。這樣的理解應該比使用集合運算的定義有更明晰的幾何意義。但是，直觀的東西不容易直接形成嚴謹的定 義，使用集合運算則更為嚴格。而集合運算定義中，任意并集的封閉性是對這個幾何特點的內在保證。

另外一個例子就是“連續函數 ”(Continuous Function)。在學微積分時，一個耳熟能詳的定義是“對任意的epsilon > 0，存在delta > 0，使得 。。。。”，背后最直觀的意思就是“足夠近的點保證映射到任意小的范圍內”。可是，epsilon, delta都依賴于實空間，不在實空間的映射又怎么辦呢？拓撲的定義是“如果一個映射的值域中任何開集的原像都是開集，那么它連續。”這里就沒有 epsilon什么事了。

這里的關鍵在于，在拓撲學中，開集的最重要意義就是要傳遞“鄰域”的意思——開集本身就是所含點的鄰域。這樣連續定義成這樣就順理成章了。稍微把說法調節一下，上面的定義就變成了“對于f(x)的任意領域U，都有x的一個鄰域V，使得V里面的點都映射到U中。”

這里面，我們可以感受到為什么開集在拓撲學中有根本性的意義。既然開集傳達“鄰域”的意思，那么，它最重要的作用就是要表達哪些點靠得比較近。給出一個拓撲結構，就是要指出哪些是開集，從而指出哪些點靠得比較近，這樣就形成了一個聚集結構——這就是拓撲。

可是這也可以通過距離來描述，為什么要用開集呢，反而不直觀了。某種意義上說，拓撲是“定性”的，距離度量是“定量”的。隨著連續變形，距離會不斷變化，但是靠近的點還是靠近，因此本身固有的拓撲特性不會改變。拓撲學研究的就是這種本質特性——連續變化中的不變性。

在 拓撲的基本概念中，最令人費解的，莫過于“緊性”(Compactness)。它描述一個空間或者一個集合“緊不緊”。正式的定義是“如果一個集合的任意 開覆蓋都有有限子覆蓋，那么它是緊的”。乍一看，實在有點莫名其妙。它究竟想描述一個什么東西呢？和“緊”這個形容詞又怎么扯上關系呢？

一 個直觀一點的理解，幾個集合是“緊”的，就是說，無限個點撒進去，不可能充分散開。無論鄰域多么小，必然有一些鄰域里面有無限個點。上面關于 compactness的這個定義的玄機就在有限和無限的轉換中。一個緊的集合，被無限多的小鄰域覆蓋著，但是，總能找到其中的有限個就能蓋全。那么，后 果是什么呢？無限個點撒進去，總有一個鄰域包著無數個點。鄰域們再怎么小都是這樣——這就保證了無限序列中存在極限點。

Compact這個概念雖然有點不那么直觀，可是在分析中有著無比重要的作用。因為它關系到極限的存在性——這是數學分析的基礎。了解泛函分析的朋友都知道，序列是否收斂，很多時候就看它了。微積分中，一個重要的定理——有界數列必然包含收斂子列，就是根源于此。

在 學習拓撲，或者其它現代數學理論之前，我們的數學一直都在有限維歐氏空間之中，那是一個完美的世界，具有一切良好的屬性，Hausdorff, Locally compact, Simply connected，Completed，還有一套線性代數結構，還有良好定義的度量，范數，與內積。可是，隨著研究的加深，終究還是要走出這個圈子。這 個時候，本來理所當然的東西，變得不那么必然了。

       兩個點必然能分開？你要證明空間是Hausdorff的。

       有界數列必然存在極限點？這只在locally compact的空間如此。

       一個連續體內任意兩點必然有路徑連接？這可未必。

一 切看上去有悖常理，而又確實存在。從線性代數到一般的群，從有限維到無限維，從度量空間到拓撲空間，整個認識都需要重新清理。而且，這些絕非僅是數學家的 概念游戲，因為我們的世界不是有限維向量能充分表達的。當我們研究一些不是向量能表達的東西的時候，度量，代數，以及分析的概念，都要重新建立，而起點就 在拓撲。